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1、1,曲线积分,第十一章,与曲面积分,山东建筑大学高等数学下册第十一章 2013.6.7,2,1.物理意义,对弧长的曲线积分非均匀曲线形构件的质量,对坐标的曲线积分变力沿曲线做功,2.,对坐标的曲线积分特有的性质:,一.曲线积分,3,二.曲面积分,1.物理意义,对面积的曲面积分,曲面型构件的质量,3.对坐标的曲面积分特有的性质:,曲面面积,2.几何意义,4,3.计算方法,参数化化成定积分，下限小于上限,参数化化成定积分，下限起点，上限终点,格林公式（平面上）,斯托克斯公式(空间),与方向无关,投影法变成二重积分,(投影时看是否含z，注意dS与dxdy(dydz,dzdx)关系）,投影变成二重积分
2、,添加正负号,高斯公式,连续性、封闭性、方向性,连续性、封闭性 方向性,5,4.两类曲线积分之间的关系:,6,5.二元函数的全微分求积,6.五个等价命题,方法3 凑微分法.,方法2 利用,求积分.,方法1 利用积分与路径无关的条件.,怎样求该函数,7,五个等价命题：,1、积分 的值与路径无关，,是单连通区域,、在 内有一阶连续偏导数,3、在 内,2、对于 内任一封闭曲线，,4、存在 内的可微函数,8,6.两类曲面积分之间的关系:,9,三.例题,例1.计算下列曲线积分,解,解,课本P190 3（8）,总习题十一 3(2),10,其中,为曲线,解,解,11,解,12,其中,为正向星形线,解,由格林
3、公式得,13,解,作辅助线,方向如图所示。,即该积分与积分路径无关。,作业纸P44（3）另法,14,（2）它的重心.,解,（1）,（2）,课本P190 5,15,16,例3.一力场由沿横轴正方向的常力,所构成.试求当一质量为,的,场力所做的功.,解,课本P201 5,17,证,是单连通区域,且,总习题十一 5,18,证 把,例5 设在上半平面,内函数,具有,连续偏导数,且对任意 t 0 都有,证明,对D内任意分段光滑的闭曲线L,都有,两边对t求导,得:,因此结论成立.,(2006考研),19,例6.计算下列曲面积分,中的部分；,解,课本习题10-4 6（2）,20,所截得的部分；,解,在xOy
4、面的投影区域为,课本习题10-4 5（2）,21,例7.计算,其中,为球面,的外侧.,解:,补充,22,例11.15（090110）,的外,侧,计算曲面积分,解,设椭球面,围成的区域为,在内作小球面,取其外侧.记,所围区域为,学习指导,应用高斯公式，得,2011-2012-2考题,23,.,24,解:,由Gauss公式:,补充,25,解,添加平面,并取上侧。,由高斯公式得,总习题十一 4（2）,26,思 考 题,1)二重积分是哪一类积分?,答:第一类曲面积分的特例.,2)设曲面,问下列等式是否成立?,不对!对坐标的积分与 的侧有关,27,备用题 1.已知平面区域,L为D 的边界,试证,证(1)
5、根据格林公式,所以相等,从而,左端相等,即(1)成立.,(2003 考研),因、两式右端积分具有轮换对称性,28,(2)由式,由轮换对称性,29,(1)在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是,2.地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机,能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为 H=0.25 R,卫星绕地球一周的时间为 T,试求,(2)在,解 如图建立坐标系.,的时间内,卫星监视的地球,表面积是多少?,多少?,设卫星绕 y 轴旋转,30,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为,(2)在,时间内监视的地球表面积为,点击图片任意处播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中S0 为盲区面积,31,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为,(2)在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,32,斯托克斯(Stokes)公式,
