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1、1,第五章 弯曲应力,材料力学,5 纯弯曲,1、弯曲构件横截面上的（内力）应力,平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t 横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况),2、研究方法,纵向对称面,P1,P2,例如：,某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。,P,P,a,a,A,B,纯弯曲(Pure Bending):,5,a,F,纯弯曲梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪力（）。,横力弯曲梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力（）。,例:火车轮轴,6,1、研究对象：等直细长对称截面梁,2、前提:,(a)小变形在弹性变形范围内，,(b)满足平
2、面弯曲条件，,（c）纯弯曲。,3、实验观察:,凹边缩短,凸边伸长,横截面上只有正应力无剪应力,纵向纤维间无挤压作用,7,中性层杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。,中性轴中性层与横截面的交线。,4、平面截面假设横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。,8,（1）变形分布规律,y,y任意纵向纤维至中性层的距离,中性层 的曲率半径，,纵向纤维ab:,变形前,变形后,5-2 梁的弯曲正应力,o曲率中心，,9,所以纵向纤维ab的应变为:,横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。,曲率,则,曲率,则,当,(a),10,（2）应力分布规律,在线弹性范围内，应用胡克定律,(b),对
3、一定材料，,E=C；,对一定截面，,横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。,当,11,（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式,y(对称轴),由 得,=0,将(b)式代入，得,因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。,(c),12,考虑平衡条件,为截面对中性轴的惯性矩。,(e),13,可得挠曲线的曲率方程：,为常数，挠曲线是一条圆弧线,抗弯刚度。,正应力的计算公式为,横截面上最大正应力为,截面的抗弯截面模量，反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。,14,简单截面的惯性矩,矩形截面,园形截面,15,矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：,竖放：
4、,b,h,h,b,平放：,若hb,则。,16,17,注意：,（1）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大。,（3）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。,（2）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来 确定。,18,梁的弯矩图如图5-8b 所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为,例 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。,（
5、1）作弯矩图，求最大弯矩,19,因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为,在截面的下端受最大压应力，其值为,（2）求最大应力,20,1.C 截面上K点正应力,2.C 截面上最大正应力,3.全梁上最大正应力,4.C 截面的曲率半径(已知E=200GPa),1.求支反力,（压应力）,例 题,解,求:,21,2.C 截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,解,22,3.全梁最大正应力,最大弯矩,截面惯性矩,解,23,4.C 截面曲率半径,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,解,(已知E=200GPa),24,梁的最大正应力,梁的危险截面,梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上,危险截面位
6、于梁中部,危险截面位于梁根部,梁的最大正应力,梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处,5-3 梁弯曲时的强度条件,25,弯曲正应力强度条件：,可解决三方面问题：,（1）强度校核，即已知 检验梁是否安全；,（2）设计截面，即已知 可由 确定 截面的尺寸；,（3）求许可载荷，即已知 可由 确定。,Mmax,梁内最大弯矩,WZ,危险截面抗弯截面模量,材料的许用应力,26,注意：,27,作弯矩图，寻找需要校核的截面,要同时满足,分析：,非对称截面，要寻找中性轴位置,T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。,试校核梁的强度。,例题,MPa,160,MPa,30,=,=,c,t,s,s,28,（2）求截面对
7、中性轴z的惯性矩,（1）求截面形心,解：,29,（4）B截面校核,（3）作弯矩图,30,（5）C截面要不要校核？,（4）B截面校核,（3）作弯矩图,31,5-4 弯曲时的切应力,1.矩形截面梁,2.工字形截面梁,32,3.圆形、圆环形截面梁,33,梁的剪应力强度条件是：,下列情况须进行剪应力强度校核：若梁较短或载荷很靠近支座，梁的最大弯矩Mmax可能很小而最大剪力Fs,max却相对较大，如果据此时的Mmax选择截面尺寸,就不一定能满足剪应力强度条件。对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度b相对于截面高度很小时，横截面上可能产生较大的剪应力。对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由剪应力互等定理，
8、在中性层上也同时有max作用，因而可能沿中性层发生剪切破坏，所以需要校核其剪应力强度条件。,34,解：画内力图求危面内力,例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。,A,B,L=3m,35,求最大应力并校核强度,应力之比,36,5-6 梁的优化设计,弯曲正应力强度条件：,在一定时，提高弯曲强度的主要途径：,（一）、选择合理截面,（1）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截 面更合理。,1、根据应力分布的规律选择：,37,（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。,38,2、根据截面模量选择：,为了比
9、较各种截面的合理性，以 来衡量。越大，截面越合理。,(d=h),39,3、根据材料特性选择：,塑性材料：,宜采用中性轴为对称轴的截面。,脆性材料：,宜采用中性轴为非对称轴的截面，,例如T字形截面：,即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。,40,（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低 值。,1、载荷尽量靠近支座：,41,42,2、将集中力分解为分力或均布力。,43,3、合理安排支座位置及增加支座减小跨度，减小。,44,（三）、选用合理结构,1、等强度梁,设计思想：按M(x)的变化来设计截面，采用变截面梁横截面沿着梁轴线变化的梁。,增加支座,45,例如矩形截面悬臂梁，设h=const,b=b(x),则,x=0时，b=0,但要有足够的面积承受剪力。,因此,而,（沿梁轴线呈线性分布）,46,本章结束,
