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1、第二章 扭 转,主讲教师：鞠彦忠,2023年1月14日星期六,第三章 扭 转,1 概 述,变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。,受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。,扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。,2 薄壁圆筒的扭转,1、各圆周线绕轴有相对转动，但形状、大小及两圆周线间的距离不变。,2、各纵向线仍为直线，但都倾斜了同一角度，原来的小矩形变成平行四边形。,横截面上没有正应力。,横截面上必有存在，其方向垂直于圆筒半径。,每个小矩形的切应变都等于纵向线倾斜的角度，故圆筒表面上每个小矩形侧面上的均相等。,:切应变,直角的改变量,Me,T,
2、G,剪切胡克定律,G:切变模量,3 传动轴的外力偶矩.扭矩及扭矩图,外加力偶矩与功率和转速的关系:,m,n,m,n,A,B,(a),扭矩 扭矩图,n,x,n,T,T+,右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。,扭矩符号规定：,图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm，mB10kNm,mC6kN m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。,例题 3.1,6KNm,4KNm,一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A输入的功率为NA400KW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NBNC120KW，
3、ND160KW。试画出此圆轴的扭距图。,例题3.2,3.82kNm,7.64kNm,5.10kNm,平衡吗？,切应力互等定理,根据力偶平衡理论,在相互垂直的两个平面上，切应力必成对出现，两切应力的数值相等，方向均垂直于该平面的交线，且同时指向或背离其交线。,不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。,因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的。,若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪切状态。,试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。,例题3.3,4 等直圆杆扭转时的应力.强
4、度条件,Me,Me,变形几何特征,平面假定,Ip,截面的极惯性矩,Ip,截面的极惯性矩,扭转截面系数,截面的极惯性矩与扭转截面系数,实心圆截面,空心圆截面,由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。,例题3.4,解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。
5、因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）,因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计,薄壁圆筒设计,设平均半径 R0=(d+)/2,空心圆轴设计,当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒,一内径d=100mm的空心圆轴
6、如图示，已知圆轴受扭矩T=5kNm，许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。,例题3.5,圆轴扭转时斜截面的应力,A,A,e,f,e,f,讨论:,强度条件,强度计算的三类问题：,(1)、强度校核,(2)、截面设计,(3)、确定许用荷载,已知：P7.5kW,n=100r/min,许用切应力40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。,例 题3.6,4 等直圆杆扭转时的变形.刚度条件,当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形。,当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时,刚度条件,如图所示阶梯
7、轴。外力偶矩M10.8KNm，M22.3KNm，M31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC段的直径d27cm。已知材料的剪切弹性模量G80GPa，试计算AB和AC。,0.8kNm,1.5kNm,例题3.7,图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M19KNm，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M24KNm，M33.5KNm，M41.5KNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角24。G80GPa，60MPa。,5kN,1.5kN,4kN,例题3.8,已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min
8、，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。,例题3.9,单位长度阻力矩,一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。,例题3.10,因两杆扭转变形时无相对转动,6 等直圆杆扭转时的应变能
9、,单元体外力作功,应变能密度,等直圆杆扭转时的应变能,7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,自由扭转：,非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。,约束扭转：,横截面可以自由翘曲。,横截面的翘曲受到限制。,横截面上只有切应力而无正应力,横截面上既有切应力又有正应力,矩形截面轴扭转时切应力的分布特点,角点切应力等于零,边缘各点切应力沿切线方向,最大切应力 发生在长边中点,（长边中点处,（短边中点处,角点切应力等于零,边缘各点切 应力沿切线方向,最大切应力 发生在长边 中点,分别计算两种截面杆最大切应力,圆杆：,矩形杆：,查表：0.801,分别计算两杆截面面积,圆杆：,矩形杆：,矩形截面面积
10、与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。,例题：一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。,对狭长矩形截面：,解:(1)计算开口薄壁杆件的应力和变形时,可把环形展直作为狭长矩形.此时矩形的长边为,宽为.,(2)闭口薄壁杆件截面的 和 分别是，其应力和变形是:,（3）通过比较发现:开口薄壁杆件的应力和变形都远大于同样情况下的闭口薄壁杆件。,比较开口、闭口薄壁杆件应力和变形。设两杆具有相同的平均半径r和壁厚。,8 开口薄壁杆件自由扭转横截面上最大剪应力,闭口薄壁截面杆,轴力FN,扭矩T,正应力均匀分布,切应力与距圆心距离成正比分布,截点或截面的线位移,截面的角位移,本章作业,21，,25，,27，,28,26，,22，,谢谢大家,
