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1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质,一、新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,杨辉三角,九章算术,杨辉,杨辉三角,详解九章算法中记载的表,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,杨辉三角,点击图片可以演示“杨辉三角”课件,第5行 1 5 5 1,第0行1,杨辉三角,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3
2、 3 1,第4行 1 4 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都
3、等于前两个数的和;,这就是著名的斐波那契数列。,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,
4、3,4,4,6,5,5,10,10,6,6,15,20,15,7,21,21,35,35,0行,1行,2行,3行,4行,5行,6行,7行,n行,1,1,1,1,n-1行,杨辉三角的主要性质,7,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由：,二
5、项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当 时，,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于，上式还可以写成：,这是组合总数公式,一般地，展开式的二项式系数 有如下性质：,（1）,（2）,（3）当 时，,（4）,当 时，,例题分析:,例1证明：（1）(a+b)n 的展开式中,各二项式系数 的和,启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法。,令a=b=
6、1，则,1答案,2答案,继续思考1:（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,证明：在展开式 中 令a=1，b=1得,小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。,赋值法,例2,小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解,思考：,例4.设 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992,求展开式中二项式系数最大的项.求展开式中系数最大的项.,1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二
7、项式系数问题.,课外思考:1.求证：,2.(1x)13 的展开式中系数最小的项是()(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项,C,思考3,2答案,思考2求证:,略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由 得,思考:求证：,证明：,倒序相加法,思考3.在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;,（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）r=5.,即 3(r+1)2(20-r)得 2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为,课堂练习：1）已知，
8、那么=；2）的展开式中，二项式系数的最大值是；3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；,例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。,变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项2、若 展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210 B.120 C.461 D.416,例4、若 展开式中前三项系数成等差 数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项；（3）展开
9、式中系数最大的项。,1、已知 的展开式中x3的系数 为，则常数a的值是_,2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（）A.-297 B.-252 C.297 D.207,3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是_,课堂练习,4.已知(1+)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,小结,
