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1、球体积公式的发现与证明,怎样计算球的体积,发现球体积公式的过程和方法,证明球体积公式的思路和方法,图1 用祖暅原理证明球体积公式,图2 用切割法证明球体积公式,图3 用定积分计算球体积,数学是人类文化的重要组成部分。运用数学史材料进行数学教育是国际数学教育界共同关注的问题。球体积公式的发现和证明，是度量几何发展进程中具有标志意义的成果。,祖冲之（公元429-500）,刘徽（生于公元250左右）,中国数学史,阿基米德（Archimedes.约公元前287212年）,西方数学史,阿基米德突破希腊古典时期几何定性研究的传统，重视定量研究，发现了球、球缺、椭球体体积公式及抛物线弓形面积公式，并给予严格
2、证明。,阿基米德这一成果，被古代传记作家普鲁塔克说：“几何学中不可能找到更难做的问题，也不可能找到更简练、更清楚的陈述和证明。”,研究中算史的日本专家三上义夫指出，从刘徽到祖冲之父子通过“合盖”（即牟合方盖）得出球体积“可谓中算史上几何处理方法之最高发达，荀与希腊阿基米德之积分方法及其所言与外接圆柱之关系，一比较研究之，亦一趣事也”,思考问题：刘徽、祖冲之父子、阿基米德都是蜚声中外的数学家，他们如何解决球体的计算问题呢？,一、刘徽的“牟合方盖”与祖暅的“幂势既同，则积不容异”中算家对球体积的探求 二、阿基米德的“力学原理”与“穷竭法”古希腊学者对球体积公式的发现与证明三、异曲同工、弹奏千古名篇 球体积公式与古代数学研究传统,牟合方盖,开立圆术的分解,(1)正方体内切正交圆柱图,()牟合方盖图,（）牟合方盖,（）牟合方盖内切半球图,（）正方形内切圆,牟合方盖“内棋”图,合盖“外棋”分解图,合盖“外棋”截面图,倒立阳马图,（）等轴圆柱及内切球,（）球体切割图,力学原理与球体积计算,数学研究中的算法倾向与演绎倾向2.“以棋验术”的直觉方法与“数学物理”方法 3.“截面原理”与“有限迭加”4.问题求解与因果论证 5.几何代数化与微积分的应用,
