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1、1,第三章 平均数、标准差与变异系数,次数分布表和次数分布图，可以形象、直观地表示出资料的两个特征集中性和离散性。为了更简单、精确地描述资料的特征，本章介绍三个统计量平均数、标准差和变异系数。平均数反应资料的集中性，标准差和变异系数反应资料的离散性。,2,第一节 平均数第二节 标准差第三节 变异系数,3,第一节 平均数(Mean),平均数的意义 平均数用来描述资料的集中性，即指出资料中数据集中较多的中心位置。平均数的作用 平均数是资料的代表数 常用于同类性质资料间的相互比较,4,平均数的种类 算术平均数(Arithmetic mean)（应用最为普遍）几何平均数(Geometric mean)
2、中数（median）众数（Mode）调和平均数(Harmonic Mean),5,一、算术平均数,（一）算术平均数的定义 资料中各观察值的总和除以观察值的个数所得的商，称为算术平均数。在统计学中，简称为平均数或均数。用符号 表示。（二）计算方法 1、直接法 对样本含量较小，未分组的资料适用。,6,其中，（Sigma）为总和符号，表示从第一个观察值 x1 累加到第n个观察值 xn，若在意义上已明确时，简记为。,7,关于总和符号的几个性质,常数的总和等于该常数的n倍，即代数和的总和等于总和的代数和，即总和符号内的常数因子可以提取到总和符号之外，即,其中C为常数；注意：在后面一些章节经常会遇到C代表
3、一个为常量的式子,（a为常数）,8,2、加权法,适用于已分组的资料,各组的次数 fi 是权衡各组中值 xi 在资料中所占比重大小的数量，因此f被称为是x的“权”（right）,加权法也由此而得名。,xi 各组组中值 fi 各组次数 k 分组数,9,(三)平均数的基本性质,1、样本各个观察值与平均数之差的和为零，即离均差之和为零；2、样本各观察值与平均数之差的平方和为最小，即离均差的平方和最小。,10,11,3、统计学已证明，样本平均数 是总体平均数 的无偏估计值。对总体而言，用 表示平均数。对于有限总体 无偏估计：当一个统计量的数学期望值等于相应总体参数时，称该统计量为其总体参数的无偏估计。,
4、N有限总体所包含的个体数目,12,二、几何平均数,（一）定义 n个观察值乘积的n次方根。即（二）适用条件 主要应用于数据呈倍数关系或不对称分布的资料，算术平均数对这类资料的代表性差。（三）计算,13,1、应用公式计算（实际应用时常取对数）,14,2、当资料编成次数分布表时，,各组组中值；各组次数；,15,三、中 数,（一）定义 将资料中所有观察值从小到大依次排列，处于中间位置的数。以 表示。（二）适用条件 资料呈偏态分布或次数分布类型不明，以及一端或两端无确定数值,这种资料用中位数作为代表值比用算术平均数为好。,16,（三）计算方法 先将各观察值由小到大排列 当n为奇数时，第 位置的观察值即为
5、中数，即 当n为偶数时，和 位置的两个观察值之和的二分之一即为中数，即：,17,（一）众数 资料中出现次数最多的那个数或次数最多一组的组中值，记为Mo。（二）调和平均数 指资料中各观察值倒数的平均数的倒数，用H表示。主要用于求一个过程中各部分速率的平均速率。,四、众数和调和平均数,18,对同一资料，几种主要的平均数之间的关系 算术平均数几何平均数调和平均数,19,第二节 标准差(Standard deviation),平均数是资料的代表数，其代表性强弱受资料中各观察值变异程度的影响。因此还应引入一个能说明资料各观察值变异程度大小的统计量。极差 标准差和方差 变异系数等，其中以方差与标准差应用最
6、广。,20,一、标准差的引入 1、全距（极差）：只利用了资料中最大值和最小值，不能准确表达资料中各个观察值的变异程度。2、方差与标准差的定义,21,它不能表示整个资料中所有观察值的总偏离程度,使用不方便，在统计学中未被采用,消除离均差的负号,离均差的平方之和（简称平方和，记为SS）,称为均方（缩写为MS），又称为样本方差，记为S2,标准差,22,样本方差（S2）/样本均方（MS）,样本标准差（S）,对样本而言,对有限总体而言,总体方差（2）,总体标准差（）,23,24,样本方差的分母（n-1）为样本方差的自由度，记为df自由度（df）：样本含量减去独立约束条件的个数,25,二、标准差的计算,（
7、一）直接法,（二）加权法,26,三、标准差的特性（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响;（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变;（三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。,27,（四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差（S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（2S）范围内；约有99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差（3S）范围内。即全距近似地等于6倍标准差，可用 来粗略估计标准差。,28,第三节 变异系数（Coefficient of variation）,（1）变异系数的定义 变异系数是标准差相对于平均数的百分数，记为CV。变异系数同标准差一样是衡量资料变异程度的统计量。变异系数消除了不同单位和平均数的影响，可以用来比较不同资料的相对变异程度。（2）计算公式,29,（3）特点和作用 变异系数是一个无单位的相对数，用表示；变异系数同时受到平均数和标准差的影响。变异系数不受单位不同或平均数不同的影响，对于单位不同和平均数不同的资料，都可以用变异系数来比较其变异程度。,30,本章涉及的一些重要符号,
