直线平面垂直的判定及其性质ppt课件.ppt

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1、直线、平面垂直的判定及其性质,2.3,主要内容,2.3.2 平面与平面垂直的判定,2.3.3 直线与平面垂直的性质,2.3.1 直线与平面垂直的判定,2.3.4 平面与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定,2.3.1,直线和平面的位置关系,复习1,直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行,旗杆与地面的位置关系,观察,线面垂直,大桥的桥柱与水面的位置关系,思考1,直线和平面垂直,旗杆与地面中的直线的位置关系如何?,将一本书打开直立在桌面上,观察书脊(想象成一条直线)与桌面的位置关系呈什么状态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何?,思考2,思考3,一条直线与一平面垂直的特征是什么?,特

2、征:直线垂直于平面内的任意一条直线,直线和平面垂直,如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平面 互相垂直.,定义,平面 的垂线,垂足,平面内任意一条直线,如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?,思考4,l,如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:,过ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接触)(1)折痕AD与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直,探究,当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时,AD 所在直线与桌面所在平面垂直,(1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面

3、 上的一条直线垂直,就可以判断AD 垂直平面,你同意他的说法吗?,(2)如图,由折痕,翻折之后垂直关系不变,由此你能得到什么结论?,思考5,线面垂直的判定,判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,例1.如图,已知,求证,根据直线与平面垂直的定义知,因为直线,,例2 已知:正方体中,AC是面对角线,BD是与AC 异面的体对角线.求证:ACBD,证明:连接BD因为正方体ABCD-ABCD所以DD平面ABCD又因为所以因为AC、BD 为对角线所以ACBD因为DDBD=D所以AC平面DDB所以ACBD,A,B,D,C,A,B,C,D,例3 在三棱锥P-ABC中,PA平

4、面ABC,ABBC,PA=AB,D为PB的中点,求证:ADPC.,如图,直四棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形 满足什么条件时,?,答:底面四边形ABCD对角线相互垂直,探究,直线与平面垂直的判定定理可简述为,“线线垂直,则线面垂直”,小结,通过直线间的垂直,推证直线与平面垂直,即将直线与平面的垂直关系(空间问题)转化为直线间的垂直关系(平面问题).,思想方法,前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢?,问题提出,直线与平面所成的角,第2课时,线面角相关概念,P,斜线PA与平面所成的角为PAB,l,A,1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影

5、所成的角,2.平面的垂线与平面所成的角为直角,3.一条直线与平面平行或在平面内,则这条直线与平面所成的角的00角,一条直线与平面所成的角的取值范围是,例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求直线A1B和平面ABCD所成的角;(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.,例2 如图,AB为平面的一条斜线,B为斜足,AO平面,垂足为O,直线BC在平面内,已知ABC=60,OBC=45,求斜线AB和平面所成的角.,如图,BAD为斜线AB与平面所成的角,AC为平面内的一条直线,那么BAD与BAC的大小关系如何?,BAD BAC,E,解:作BOAD于O,BEAC于E,则 BDBEsinBA

6、DsinBAC,思考1,o,两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何?反之成立吗?一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何?,思考2,1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?,2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?,3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?,思考3,小结,1.直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量.线面垂直和线面平行是特殊情况.2.斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角.3.求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影.,作业,P67练习1,2,3,平面与平面垂直的判定,2.3.2,卫星轨

7、道面,地球赤道面,概念,直线上的一点将直线分割成两部分,每一部分都叫做射线.平面上的一条直线将平面分割成两部分,每一部分叫半平面.,概念,从一点出发的两条射线,构成平面角.,同样,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.,m,记为:二面角-m-,记作AOB,A,B,O,二面角的图示,二面角的记号,(1)以直线 为棱,以 为半平面的二面角记为:,(2)以直线AB为棱,以 为半平面的二面角记为:,A,B,思考3,两个相交平面有几个二面角?,如何用平面角来表示二面角的大小?,探究,二面角-l-,二面角的平面角,以二面角的棱上任意一点为顶点

8、,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,平面角,AOB即为二面角-AB-的,注意:二面角的平面角必须满足:,(1)角的顶点在棱上.(2)角的两边分别在两个面内.(3)角的边都要垂直于二面角的棱.,二面角的取值范围,0度角,180度角,001800,例1.在正方体中,找出二面角C1-AB-C的平面角,并指出大小.,端点,例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B1-AC-B的正切值.,例3 如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角为300,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB的夹角为450,沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处,此时人升高了

9、多少m?,小结二面角的平面角的作法:,1.定义法:根据定义作出来.,2.作垂面:作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到.,3.应用三垂线定理:应用三垂线定理或其逆定理作出来.,o,平面与平面垂直的判定,第2课时,平面与平面垂直的判定,定义,一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.,a,A,b,记为,判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直,a,A,例1 如图,O在平面内,AB是O的直径,PA,C为圆周上不同于A、B的任意一点,求证:平面PAC平面PBC.,证明:,例2 在四面体ABCD中,已知ACBD,BAC=CAD=45,BAD=60,

10、求证:平面ABC平面ACD.,例3 如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证:平面PMC平面PCD.,请问哪些平面互相垂直的,为什么?,探究:,小结,1.知识小结 1)二面角及其平面角 2)两个平面互相垂直 2.思想方法,面面垂直,线线垂直,线面垂直,作业,P69练习P73习题2.3 A,1,2,3,4.,直线与平面垂直的性质,2.3.3,直线与平面垂直的判定定理是什么?,复习,直线与平面垂直的定义是什么?,a,a,思考1,如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何?它们彼此之间具

11、有什么位置关系?,思考2,如果直线a,b都垂直于同一条直线l,那么直线a,b的位置关系如何?,相交,平行,异面,思考3,如果直线a,b都垂直于平面,那么a与b一定平行吗?,垂直于同一个平面的两条直线平行,直线与平面垂直的性质定理,直线与平面垂直,c,性质定理的证明,反证法证明:,例1 如图,已知 于点A,于点B,求证:.,小结,直线与平面垂直的性质定理可简述为,“线面垂直,则线线平行”,思想方法,线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方法,也提供了作平行线的一种方法.,“线面垂直,则线线垂直”,作业,P71练习1,2P73习题2.3 A组,5,6.B组1,2,平面与平面垂直的性

12、质,2.3.4,复习1,l,l,两个平面相互垂直,三个平面两两垂直,两个平面垂直的判定,判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直,复习2,1.黑板所在平面与地面所在平面垂直,在黑板上是否存在直线与地面垂直?若存在,怎样画线?,思考?,思考?,2.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,平面A1ADD1与平面ABCD垂直,其交线为AD,直线A1A,D1D都在平面A1ADD1内,且都与交线AD垂直,这两条直线与平面ABCD垂直吗?,思考?,两个平面垂直的性质,性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.,面面垂直线面垂直,a,A,l,若,过平面内

13、一点A作平面的垂线a,那么垂线a与平面具有什么样的位置关系?,思考?,反证法证明点B在两个平面的交线上,注意:过一点只能作一条直线垂直于已知平面.,结论,如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线,必在这个平面内.,例1.如图,已知,a,a,试判断直线l与平面的位置关系,并说明理由.,A,b,a,l,例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,AB=2,,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB底面ABCD.(1)证明:侧面PAB侧面PBC;(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.,对于三个平面、,如果,=l,那么直线l与平面 的位置关系如何?为什么?,探究,解答:在内分别作平面的垂线a、b,则a l,b l,a与b必相交.所以l,小结,知识小结 几个结论和性质的应用思想方法,线面垂直或线线垂直,面面垂直,P73练习:1,2.P73习题2.3A组:7,8,9 P74习题2.3B组:3,4,作业,

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