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1、第二十一章二元一次方程,初中数学（人教版）九年级 上册,1.列一元二次方程解应用题的一般步骤,知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题,2.常见实际问题的数量关系、相等关系,例1(2018江苏盐城中考)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1 200元?,解析(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+23=26件.故答案为26.(2)
2、设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1 200元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1 200,整理,得x2-30 x+200=0,解得x1=10,x2=20.要求每件盈利不少于25元,x=10.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元.易错警示解决此类问题时,要注意售价和销售数量都是变化的.,知识点二典型问题传播问题,例2(2018福建龙岩上杭月考)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染,请用一元二次方程的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑,若病毒得不到有效控制,那么经过三轮感染后,被感染的电脑共有多少台？,
3、解析设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则有1+x+(1+x)x=81,即(1+x)2=81,解得x1=8,x2=-10(不合题意,舍去),所以经过三轮感染后,被感染的电脑共有81+818=729台.答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑.经过三轮感染后,被感染的电脑共有729台.,知识点三典型问题平均增长(或降低)率问题,例3(2019河北保定安国期中)列一元二次方程解应用题.某公司今年1月份的纯利润是20万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的纯利润是22.05万元.假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同.(1)求每个月增长的利润率;(2)请你预测4月份该公司的纯利润是多
4、少.,解析(1)设每个月增长的利润率为x,根据题意得20(1+x)2=22.05,解得x1=0.05=5%,x2=-2.05(不合题意,舍去).答:每个月增长的利润率为5%.(2)22.05(1+5%)=23.152 5(万元).答:预测4月份该公司的纯利润为23.152 5万元.方法归纳在平均增长(或降低)率的问题中,设基数为a,平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)的次数为2,增长(或降低)后的量为b,则表达式为a(1+x)2=b(或a(1-x)2=b).,知识点四典型问题几何图形面积问题,例4(2015湖北襄阳中考)如图21-3-1,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的
5、住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2?图21-3-1,几何图形应用题,关键是将不规则图形分割或补形成规则图形,找出未知量与已知量的内在联系,然后根据面积公式列出方程.,解析设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m,则其邻边长为(26-2x)m.依题意,得x(26-2x)=80.化简,得x2-13x+40=0.解这个方程,得x1=5,x2=8.当x=5时,26-2x=1612(舍去);当x=8时,26-2x=1012.答:所建矩形猪舍的长为10 m,宽为8 m时,猪舍面积为80 m2.
6、,注意解答题目时,由于门不占用建筑材料,故相当于三边的长度和为26 m.,例1(2017山东菏泽中考)某玩具厂生产一种玩具,按照控制成本降价促销的原则,使生产的玩具能够及时售出,据市场调查:每个玩具按480元销售时,每天可销售160个;若销售单价每降低1元,每天可多售出2个,已知每个玩具的固定成本为360元,问这种玩具的销售单价为多少元时,厂家每天可获利润20 000元?,题型一市场营销中的利润问题,解析设这种玩具的销售单价为x元时,厂家每天可获利润20 000元.由题意,得(x-360)160+2(480-x)=20 000,整理,得x2-920 x+211 600=0,解得x1=x2=46
7、0.答:这种玩具的销售单价为460元时,厂家每天可获利润20 000元.解题总结解答销售利润问题,要注意以下两点:(1)每天的总利润=每件产品的利润每天销售产品的件数;(2)若单价降低,则销售量需加上每天增加的量;若单价提高,则销售量需减去每天减少的量.,题型二甬道问题,解析设各通道的宽度为x m,根据题意,得(30-3x)(20-3x)=459,整理,得3x2-50 x+47=0,解得x1=1,x2=,当x=时,3x=3=4720,不合题意,x=舍去,x=1.答:各通道的宽度为1 m.,解题总结解决甬道问题,可以用平移的知识将分散的图形合并在一起,然后利用面积公式列出方程.,素养解读数学建模
8、是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.建立一元二次方程模型解决面积和增长(降低)率问题是常见的实际问题,销售问题也是现实生活中经常遇到的实际问题,同样可建立一元二次方程模型解答.,销售中的一元二次方程,例(2017河南三门峡一模)全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7 500元
9、购进A型空气净化器和用6 000元购进B型空气净化器的台数相同.(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元;(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强、噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1 800元/台时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3 200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?,典例剖析,解析(1)设每台B型空气净化器为x元,则每台A型空气净化器为(x+300)元,由题意得=
10、,解得x=1 200,经检验x=1 200是原方程的根且符合题意,则x+300=1 500.答:每台B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1 200元、1 500元.(2)设B型空气净化器的售价为x元,根据题意得(x-1 200)=3 200,解得x=1 600.答:商社电器应将B型空气净化器的售价定为1 600元.,素养呈现列方程解决实际问题时,认识方程模型是解题的关键.先审题,明确已知量、未知量,并通过表格、画图等方法寻找和发现数量关系、等量关系,再列出方程求解.(1)“总价已知,求进价”,则为分式方程,关系表如下:,(2)“销量随售价变化,总利润不变”,则为一元二次方程,关系图如
11、下:,1.(2019广东深圳光明新区月考)从一块正方形木板上锯掉3 m宽的长方形木条,剩下的面积是54 m2,则原来这块木板的面积是()A.9 m2B.64 m2C.81 m2D.121 m2,知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题,答案C设原来这块木板的边长为x m,则锯完后剩下的木板是长为x m,宽为(x-3)m的长方形,根据题意得x(x-3)=54,解得x1=9,x2=-6(不合题意,舍去),x2=92=81.故选C.,2.(2018四川宜宾期中)毕业之际,某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品,每两名同学都相互赠送一件礼品,礼品店共售出礼品30件,则该兴趣
12、小组的人数为.,答案6,解析设该兴趣小组的人数为x.由题意得x(x-1)=30,解得x1=6,x2=-5(舍去).,3.(2019湖北武汉武昌期中)有两个人患了流感,经过两轮传染后总共有162人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了个人.,知识点二典型问题传播问题,答案8,解析设每轮传染中平均每人传染x个人,根据题意得2+2x+x(2+2x)=162,整理得x2+2x-80=0,解得x1=8,x2=-10(不合题意,舍去).,4.(2018四川眉山中考)我市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过
13、连续两次下调后,决定以每平方米4 860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是()A.8%B.9%C.10%D.11%,知识点三典型问题平均增长(或降低)率问题,答案C设平均每次下调的百分率为x,由题意,得6 000(1-x)2=4 860,解得x1=0.1,x2=1.9(舍去).即平均每次下调的百分率为10%.故选C.,5.(2018辽宁大连中考)如图21-3-1,有一张矩形纸片,长10 cm,宽6 cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是x cm,根据题意可列
14、方程为()图21-3-1A.106-46x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.106-4x2=32,知识点四典型问题几何图形面积问题,答案B因为剪去的小正方形的边长是x cm,所以纸盒的底面的长为(10-2x)cm,宽为(6-2x)cm,根据题意得(10-2x)(6-2x)=32.故选B.,答案1,解析设小道的宽为x米,根据题意得(20-2x)(15-x)=252,整理得x2-25x+24=0,解得x1=1,x2=24(不合题意,舍去),即小道的宽为1米.,1.(2019江苏无锡滨湖期中)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的
15、产品一天能生产95件,每件利润为6元,每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.若生产的产品某天的总利润为1 120元,且同一天所生产的产品为同一档次,则该天生产的产品的质量档次是()A.6B.8C.10D.12,答案A设该天生产的产品的质量档次是x,则该天的产量为95-5(x-1)件,每件的利润是6+2(x-1)元,根据题意得6+2(x-1)95-5(x-1)=1 120,整理得x2-18x+72=0,解得x1=6,x2=12(不合题意,舍去).故选A.,2.(2017江苏无锡滨湖期中)商场将进价为2 000元/台的冰箱以2 400元/台售出,平均每天能售出8台.为了促销,商场决
16、定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每台每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元,同时又要使消费者得到更多实惠,每台冰箱应降价()A.100元B.200元C.300元D.400元,答案B设每台冰箱应降价x元,每台冰箱的利润是(2 400-2 000-x)元,每天卖台,列方程得(2 400-2 000-x)=4 800,整理得x2-300 x+20 000=0,解得x1=200,x2=100.因为要使消费者得到更多实惠,所以x=200.故选B.,3.如图是一张月历表,在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出22个位置相邻的数(如2,3,9,10).
17、如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128,故这4个数中最小的数是.,解析设这4个数中最小的数是x,则最大的数为x+8,根据题意可得x(x+8)=128,整理得x2+8x-128=0,(x-8)(x+16)=0,解得x1=8,x2=-16(舍去),故这4个数中最小的数是8.,答案8,1.近年来某市不断加大对城市绿化的经济投入,使全市绿地面积不断增加,从2017年年底到2019年年底的城市绿地面积变化如图21-3-3所示,则这两年绿地面积的年平均增长率是()图21-3-3A.10%B.15%C.20%D.25%,答案A设这两年绿地面积的年平均增长率是x,根据题意得300(1+x)2=363,解
18、得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).故选A.,2.(2017湖北黄冈蕲春月考)有一个两位数,它的各数位上的数字和等于8,交换数字位置后,得到的新的两位数与原两位数之积为1 612,则原来的两位数为()A.26B.62 C.26或62D.以上均不对,答案C设原两位数的个位数字为x,则十位数字为8-x,由题意得10(8-x)+x(10 x+8-x)=1 612,解得x1=6,x2=2.当x=6时,8-x=2;当x=2时,8-x=6,则原来的两位数为62或26,故选C.,3.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系是
19、:若每件商品售价a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.若商店计划要获利400元,则每件商品的售价应定为元.,答案22,解析设每件商品的售价定为x元,则(x-18)(320-10 x)=400,整理得x2-50 x+616=0,解得x1=22,x2=28.18(1+25%)=22.5,而2822.5,x=22.故商店要获利400元,每件商品的售价应定为22元.,解析设小路的宽度为x米,则小正方形的边长为4x米,依题意得(30+4x+24+4x)x=80,整理得4x2+27x-40=0,解得x1=-8(不合题意,舍去),x2=.,答案,1.如图所示,
20、点阵M的层数用n表示,点数总和用S表示,当S=66时,n的值为()A.10B.11C.12D.13,答案B规律总结得S=n(n+1).S=66,n(n+1)=66,解得n1=11,n2=-12(不合题意,舍去).故选B.,2.(2017陕西宝鸡渭滨期中)如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2 cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、B同时出发,其中一点到终点,另一点也随之停止.过了秒钟后,PBQ的面积等于8 cm2.,解析设经过x秒,PBQ的面积等于8 cm2,当0 x3时,Q点在BC上运动,P在
21、AB上运动,PB=(6-x)cm,BQ=2x cm,所以SPBQ=PBBQ=(6-x)2x=8,解得x=2或4.又0 x3,故x=2;当3x6秒时,Q点在CD上运动,P在AB上运动,SPBQ=(6-x)6=8,解得x=.综上,x的值为2或.,答案2或,3.(2018重庆巫山期末)如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=8 cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3 cm/s的速度向B移动,一直到达点B为止;点Q以2 cm/s的速度向D移动.当P、Q两点从出发开始到秒时,点P和点Q的距离是10 cm.,解析设当P、Q两点从出发开始到x秒时,点P和点Q的距离是10 cm
22、,此时AP=3x cm,DQ=(16-2x)cm,根据题意得(16-2x-3x)2+82=102,解得x1=2,x2=,即当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时,点P和点Q的距离是10 cm.,答案2或,1.(2019湖北武汉黄陂期中,8,)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是57,设每个支干长出x个小分支,根据题意列出方程为()A.1+x+x(1+x)=57B.1+x+x2=57C.x+x(1+x)=57 D.1+2x2=57,一、选择题,答案B由主干、支干和小分支的总数为57可列出方程1+x+xx=1+x+x2=57.故选B.,2.(20
23、17宁夏中卫海原期中,22,)如图21-3-5,在宽为20 m、长为30 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551 m2,则修建的道路的宽应为多少?图21-3-5,解析设修建的道路宽为x m.根据题意列方程为2030-(30 x+20 x-x2)=551,即x2-50 x+49=0,解得x1=49(不合题意,舍去),x2=1.答:修建的道路宽应为1 m.,二、解答题,1.(2019山东济宁微山期中,9,)某工艺品进价为100元/件,标价130元/件售出,每天平均可售出100件.根据销售统计,该工艺品每降价1元出售,则每天可多售出5件,某店为减少库存量,同时使每
24、天平均获得的利润为3 000元,每件需降价()A.12元B.10元C.8元D.5元,答案B设每件工艺品降价x元,则每天的销售量为(100+5x)件,根据题意得(130-100-x)(100+5x)=3 000,整理得x2-10 x=0,解得x1=0,x2=10.要减少库存量,x=10.故选B.,2.(2019江苏扬州高邮月考,21,)如图,矩形花圃ABCD一面靠墙(墙足够长),另外三面用总长度是24 m的篱笆围成,当矩形花圃的面积是40 m2时,BC的长为.,解析设BC的长度为x m,则AB的长度为m.由题意得x=40,整理得x2-24x+80=0,即(x-4)(x-20)=0,解得x1=4,
25、x2=20,即BC长为4 m或20 m.,答案4 m或20 m,3.(2019山东青岛城阳月考,12,)如图,在ABC中,AB=10 cm,BC=16 cm,B=90,点P从点A开始沿着AB边向点B以1 cm/s的速度移动(到B停止),点Q从点B开始沿着BC边向点C以2 cm/s的速度移动(到C停止).如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒,PBQ的面积是ABC面积的?,解析设经过x秒,PBQ的面积是ABC面积的.当0 x8时,根据题意得2x(10-x)=1016,整理得x2-10 x+24=0,解得x1=4,x2=6.当8x10时,16(10-x)=1016,整理得16x=112,解得x=
26、7(不合题意,舍去).答:经过4秒或6秒,PBQ的面积是ABC面积的.,(2018黑龙江龙东中考,15,)某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个班级参赛?()A.4B.5C.6D.7,选择题,答案C设共有x个班级参赛,根据题意得=15,解得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去),则共有6个班级参赛.故选C.,1.(2018新疆乌鲁木齐中考,9,)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,
27、宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有()A.(180+x-20)=10 890B.(x-20)=10 890C.x-5020=10 890D.(x+180)-5020=10 890,答案B因为房价定为x元,所以根据“利润=房价的净利润入住的房间数”得(x-20)=10 890.故选B.,2.(2016台湾中考,15,)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成的,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和.若丙的一股长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的一股长为何?()A.B.C.2-D.4-2,答案D设丁的一股长为a,且a2,不合题意,4-22,符合题意,a=
28、4-2.故选D.,3.(2018贵州遵义中考,25,)在水果销售旺季,某水果店购进一批优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.,(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量;(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?,1.从前有一个醉汉拿着竹竿进城,横拿竖拿都进不去,横着比城门宽 m,竖着比城门高 m,一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?设竹竿的长度为x
29、 m,则可列出方程为.,答案+=x2,解析因为竹竿的长为x m,由题意得城门的宽为m,城门的高为m.由勾股定理列方程得+=x2.,2.(2019山东菏泽东明期中)十一黄金周期间,海洋中学决定组织部分优秀老师去北京旅游,天马旅行社推出如图21-3-6所示的收费标准.图21-3-6(1)学校规定,人均旅游费用高于700元,但又想低于1 000元,求该校所派人数应在什么范围内;(2)已知学校已付旅游费用27 000元,求该校安排了多少名老师去北京旅游.,解析(1)设该校所派人数为x,人均旅游费用低于1 000元,x25.又人均旅游费用高于700元,1 000-20(x-25)700,解得x40,即x
30、的取值范围为25x40.答:该校所派人数应多于25,且少于40.,(2)若该校所派人数为25,则总旅游费用为251 000=25 00027 000,安排的老师人数多于25,设该校所派人数为a,根据题意得a1 000-20(a-25)=27 000,整理得a2-75a+1 350=0,解得a1=30,a2=45(不合题意,舍去).答:该校安排了30名老师去北京旅游.,1.如图,在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分),余下的部分为草坪,要使草坪的面积为510平方米,则道路的宽为()A.1米B.2米C.3米D.4米,答案C设道路的宽为x米,根据题意得20 x+33x-x2=2033-510,整理得x2-53x+150=0,解得x=50(舍去)或x=3,所以道路宽为3米.故选C.,2.(2018湖南邵阳模拟)中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首牧童王小良的民歌还包含着一个数学问题:牧童王小良,放牧一群羊.问他羊几只,请你仔细想.头数加只数,只数减头数.只数乘头数,只数除头数.四数连加起,正好一百数.如果设羊的只数为x,那么根据民歌的大意,你能列出的方程是.,解析羊的只数为x,头数加只数为2x,只数减头数为0,只数乘头数为x2,只数除头数为1,可列方程为x2+2x+1=100.,答案x2+2x+1=100,
