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1、第八章 期权及其二叉树模型,金融期权（financial option）简称为期权是主要的金融衍生产品，它是金融工程的主要工具,也是构成金融工程其它金融衍生产品的基础。,期权合约是买卖双方签定的一种协议，该协议赋予期权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买(或出售）某一资产的权利。但是，那时他可以行使他的权利也可以不行使这个权利。,如果到了规定的时间，而不行使这种权利，则这种权利就失效了。,在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。具有购买权利的期权称为看涨期权，具有出售权利的期权称为看跌期权。,这一章，首先讨论欧式期权及其组合的损益，并以简明
2、的图象表示出来。,第二，介绍期权定价的二叉树模型。,第三，介绍以债券为标的资产的期权。,第四，讨论n期二叉树模型。,最后，讨论存在交易费用条件下的二叉树模型。,第一节(欧式)期权及其组合的损益,一、（欧式）期权交易到期的损益分析,设执行价为X，在期权到期时刻T,股票价格为ST,（一）看涨期权到期日的损益分析,2.看涨期权空头（卖），（承担义务）,1.看跌期权多头(买),(赋予权力),2.看跌期权空头(卖),(承担义务),1.看涨期权多头（买），（赋予权力）,（二）看跌期权到期日损益分析,设股票初始价格为S,期权的执行价格为股票初始价格，,二、在(S,W)平面上欧式看涨期权和看跌期权的 损益表示
3、,W为期权的收益,三、在(S,W)平面上,股票和债券的收益:(为了说明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素）,令,(一)在(S,W)平面上看涨期权多头和看涨期权空头的收益,(二)在(S,W)平面上看跌期权多头和看跌期权空头的收益,(二)债券买卖的收益,1.购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益。,2.卖一份以该股票为标的资产的看涨期权的收益,4.S+P-C损益的数学表达式：,5.直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险 证券组合,(三)无风险证券组合的构造:,(一)股票买卖的收益,购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权和卖一 份看涨期权,3.购入一份股票的收益,(四)其他
4、期权组合的收益,1.牛市价差买卖(bullish vertical spread)：购买一份执行价格为X1的看涨期权，卖出一份执行价格 是X2的看涨期权，其中X2 X1,2.熊市价差买卖（bearish vertical spread）：卖出执行价格为X1的看涨期权，买入一份执行价格是 X2 的看涨期权，其中X2 X1。,3.蝶式价差买卖(butterfly spread）：它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一 份执行价格为 X1和一份执行价格为X2的看涨期权，再卖 出两份执行价格为X3的看涨期权。其中，X2 X3 X1，且,4.底部马鞍式组合（bottom straddle 或买马
5、鞍式）：购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X,5.顶部马鞍组合（top straddle 或卖马鞍式)：卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X,6.底部梯形组合（Bottom vertical combination 或买 入梯形组合)：买入一份看涨期权和一份看跌期权,执行价格分别是 X1和X2，其中X2 X1。,7.顶部梯形组合（Top vertical combination 或卖出梯 形组合)：卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格分别为 X1和X2，其中X2 X1。,8.叠做期权（Straps）：购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与 到期日都相同。,9
6、.逆叠做期权（Strip）：购买两份看跌期权 和一份看涨期权，具有相同的执行价 和到期日。,10.三明治买卖（sandwich）期权：买两份执行价格为 中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为XL的较低价格的看 涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权，即,11.W型,以例子说明该证券组合：,第二节 期权定价的二叉树模型,一、期权定价的一期模型,Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型：设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。下一期的股票价格只取两种可能的值。,先讨论一期模型：,注:条件 u 1+r d 必须成立,否则可能出现套利机会。
7、,（一）股票价格的一期变化规律,（二）以股票为标的期权价格,设以该股票为标的看涨期权的价格为C,执行价格为22,则,对此期权如何定价是合理的?为了解决此问题,构造一个无风险套期保值的证券组合：,购买一份股票，卖掉m份期权，这个证券组合的价值：,由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期末时它在各状态的收益是一样的。由无风险的证券组合条件，我们有：,由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有：,（1+r)(S-mC）=uS-mCU,将m的值代入时,有(m称为套期保值率hedge ratio),令,p称为套期保值概率。,事实上,若投资者是风险中性，则有,由此得,p=q,所以通常也称p为风险中性概
8、率,例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22，求C。,注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资,在期末所得到的无风险收益为22.,注2.此套期保值的证券组合为,买一份股票,卖一份 看涨期权.,注3.投资的回报率 22/19.13=1.15=1+r.,注4.由上面推导期权定价的过程可知,期权的价值依赖 于存在一个套期保值的证券组合,以及期权的定价 是要使此套期保值组合获得无风险回报率,即债券 的回报率.,如果期权价格高了(或者低了),则套期保值证券组合的收益率比无风险收益率高(或低)的回报,无风险套利机会就存在.,期权定价公式三个有趣的性质：,期权的价格不依赖于股票
9、价格上升的概率。尽管投资 者对股票上升的概率有不同的判断,但他仍然只能接受 与u，d，X，S，r相关联的期权价值，而股票本身是 引起投资者对q的不同判断的根源。,2.投资者对风险的态度与期权定价公式无关,所得的结 果只假设人们偏好更多的财富。,3.股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。,二、期权定价的二期模型,为了得到多期期权价格公式,首先讨论二期模型,设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投资到二期后有(1+r)2元，设股票的初始价格为S，,与一期模型一样,为了得到期权的价格，构造无风险套期保值证券组合,从而得到：,由一期模型得到的Cu,Cd,代入上式有:,从另一个角度看,上式表明:
10、期权价值等于在风险中性概率下二期收益的期望值折现。,第三节 以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,1.就债券支付状态的变化规律而言,与股票支付状态的变化规律相反.股票支付状态随着时间的推移逐渐地分叉，如:图 8-35,3.设利率也是取二值的过程：如:图 8-38,一、债券价格的二叉树模型,概述,2.债券支付(收益)在到期日收敛于它的面值,此外多数债券有票息支付,如:图 8-36 及 图 8-37,4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,2n，若把此债券看成面值与票息分离的债券，则债券的现金流相当于2n份面值为Ci和一份面值为D的零息债券。,(一)风险中性方法,债券价格树的构造,1.
11、一年期债券的价格树 图 8-39,2.一年半期债券的价格树 图 3-40,（二）利率期限结构模型方法,在（一）中介绍了给定利率期限结构以及半年期利率变化规律寻找风险中性概率序列并且应用该序列给债券定价的方法。另一种债券定价的方法，称为利率期限结构模型方法：先固定半年期利率在下一期以同样的概率分别取两个值，然后利用利率期限结构模型计算半年期利率值，从而构成一个利率树。用所得到的利率树对债券未来的价值折现就可得到债券的价格。如 图 8-45,8-46,例 8-8 设初始利率为r=10%,在第二期以q=0.5的概率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同时假设债券的面值D=100在一年期半
12、内每半年支付的红利10,而每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券的价格。如图 8-47,t 期债券价格:,二、以债券为标的资产的期权定价,设以例8-8中的债券 为标的资产、执行价X=100的看涨期权,在t时期市场上价格为Ct，它的收益如下：图 8-48,若是无风险套期保值，此债券组合在到期时的支付（收益）是一样的。设看涨期权在t期执行，则此债券组合在t+1期时两个状态的收益相等。,为了达到期权定价的目的。与以股票为标的看涨期权定价理论一样,构造一个无风险套期保值债券组合；购买一份债券，出售m份看涨期权（以该债券为标的的看涨期权）。,Bd,t+1+票息-mCd,t+1=B u,t+1+
13、票息-mCu,t+1,由于是无风险债券组合，故有,（Bt-mCt）（1+rt/2）=Bd t+1+票息-mCdt+1,其中rt为无风险利率，将m的值代入上式，我们有：,一、二项式及二项分布,二项式试验(Binomial trials)：称试验结果只有两个的试验为二项式试验。如在抛硬币试验中，可能出现的结果只有两个：正面和反面。硬币可以是均匀的，也可以不是均匀的。设抛硬币时出现正面的概率为p，出现反面的概率为1-p.二项分布告诉我们在n次试验中,出现k次正面的概率为,第四节 n期欧式期权的定价模型,记为Pr(k|n)。例如，试验次数为3，则出现两次正面的概率为Pr（2|3）。当试验次数不多时，P
14、r(k|n）的系数可以借助帕斯卡三角形（Pascals triangle）。每一行的数据都是由前行相邻的两数之和。,二、n 期欧式看涨期权的定价公式,试验次数 帕斯卡三角形 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1,出现正面次数 n，n-1，.n-n,n 期欧式看涨期权取值的结果:,对应概率,Cnn pn Cnn-1 pn-1(1-p),Cnn-K pn-K（1-p）K.Cn0 p0(1-p）n,故,分析结果.,知看涨期权的价值随着股票的价格上涨，而当执行价格升高时,它的价值随之降低。而且，无风险利率、期权到期期限n、二项分布的方差 2=np(1-p)都影
15、响期权的价值.,1.由,3.增加到期期限同样提高了看涨期权的价格。我们知道 看涨期权的价值等于最终收益的折现乘上套期保值的概 率。而时间期限的数值不改变套期保值的概率但他增加 的正收益的项数,且二项分布收益的期望值也随 着 np 的增加而增加。,4.看涨期权价值随着二项分布方差 np(1-p)增加而增加.,第五节 存在交易费用条件下期权定价的二叉树模型,期权定价的基本思想是构造一个证券组合，使得他在期权执行时刻的收益与期权的收益相同，而这个证券组合的初始值就是该期权的合理价格。更加严格地说，使得在执行时，证券组合价值等于期权价值的所有证券组合中，初始价值最小的那个证券组合，就是套期保值证券组合
16、，其价值就是期权的价格。下面讨论另一类二叉树模型不可重合的二叉树模型以及存在交易费用条件下,这一类模型定价问题。,一、不存在交易费用的期权二叉树定价问题,设股票在0时刻的价格为S(0)=S0，在t=1 时刻价格为S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12(S12 S11)，在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21S22 S23 S24,假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为R（=1+r），同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样.为了排除套利机会，下列条件必须满足：,S11 R S0 S12,S23 R S12 S24,S21 R S11 S22,如果对
17、每一个k，下式成立：,RB(k)+N(k)S(K+1)=B(k+1)+N(k+1)S(K+1),交易前 交易后,则称市场为自融资，即从开始投资后，再不增加资金，也不从中抽取资金。,设期权到期价值为：,hi=h(S0，S11，S2i),i=1,2,hj=h(S0,S12,S2j),j=3,4,B11,N11(B12 N12)表示证券组合在 t=1时刻的分解,S(1)=S11(或=S12).则对于完全复制期权的证券组合有：（二期末）,由此得,式中:,21=S22-S21,22=S24-S23,在 t=1 时刻证券组合的价值,F12=B12+N12S12,或,F11=B11+N11S11,F12=B
18、12+N12S12,令,q12=1-P12,则,且有,即在条件S(1)=S12下S(2)的折现 S(2)/R 的期望值为S12，符合鞅的性质，故称p12、q12为鞅测度。,同理可得：,E（1/R(S(2)|S(1)=S11)=S11,上面导出了由S(2)确定F11 F12的价值。下面推导出由F11，F12确定F0 的价值，即期权的初始价格。由自融资的性质：,RB0+N0S(1)=B1+N1S(1),其中 S(1)=S11 或S12，(B1=B11 或B12)。,由此可以得：,RB0+N0S11=F11，RB0+N0S12=F12,此处F11，F12为己知，由上式可确定,故,记,P0=1 11(
19、R S0-S12),则,F0=(P0 F11+q0 F12),且有,同样得到(p0,q0)为鞅测度。,二、存在交易费用的二叉树模型,分别表示股票数和银行的存款，Nij 表示不存在交易费用模型中所对应的量，其中 为交易费用的比例（买入和卖出金融产品的交易费用都一样），而且在k=2时结算，即兑换出证券组合（支付费用），且支付期权的价值 h(S(2)。当k=2时，设,考虑,（一）当 S(1)=S11时证券组合的确定,则,（二）当 S(1)=S12 时，证券组合的确定,式中，,为了得到价值为,则必须有,要构造这个证券组合需要资金,F0是这个期权购买者所需要的值。,本章小结,期权是主要的金融衍生产品，是
20、金融工程的主要工具，是构成金融工程其它产品的基础。本章较为详细地介绍了几种主要的期权及其执行价格的表达形式，这些期权分别是欧式期权、美式期权、二值期权、复合期权、选择期权、亚式期权、回看期权。一个期权协议的内容包括标的资产、执行时间和为执行价格等要素，本章以欧式期权为例详细介绍了各证券组合的收益图，读者可以从中分析出投资的结果。,这一章的另一个重要内容是讨论标的资产价值为离散的期权定价二叉树模型；还讨论了以债券为标的资产的期权及其定价理论、讨论了n期二叉树模型。最后，讨论一类更加切合实际的期权定价问题。它的标的资产在二期取值不相交，即在第一期是上升；第二期是下降和在第一期是下降；第二期是上升这两种状态的标的资产价格不相等，同时，还存在交易费用。,本章思考题,欧式期权、美式期权、二值期权、复合期权、选择期权、亚式期权、回看期权有那些区别?2.根据欧式期权的各种组合的损益分析结果,试给出经济 解释.3.标的资产价格为离散(本教材主要指二值)的期权定价的 根据是什么?4.如何从二叉树二期模型到n期模型的扩展，并由此导 出Black-Scholes期权定价公式。5.以股票为标的资产的欧式期权定价方法与以债券为标的 期权定价方法有什么不同?,
