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1、6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,对称性的概念,对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。,几何对称支承对称刚度对称,对称结构,支承不对称,刚度不对称,对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。,6-5 对称性的利用力法简化计算,Strucural Analysis,对称性的概念,对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。,对称荷载：作用在对称结构对
2、称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。,下面这些荷载是对称？反对称荷载？还是一般性荷载?,对称,反对称,反对称,反对称,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,对称性的概念,对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。,对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。,任意荷载均可分解为对
3、称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对称荷载均为原荷载值的一半。,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征,以图示结构为例推导说明。,选取对称基本结构、对称和反对称基本未知量。,利用对称性，可将原高阶方程组解耦降阶，化为两个低阶方程(组),6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征,进一步考虑
4、荷载的对称、反对称性,Mp对称,Mp反对称,对称结构在对称荷载作用下，只产生对称的内力、变形和位移，反对称的内力、变形和位移为零。,对称结构在反对称荷载作用下，只产生反称的内力、变形和位移，对称的内力、变形和位移为零。,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征,【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆。,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Ana
5、lysis,【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆。,【解】利用对称性简化为一次超静定。,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,取半结构计算,根据对称结构的受力特征，在对称或反对称荷载作用下，可以取半结构计算，另外半结构的内力可通过对称或反对称镜像得到。半结构选取的关键在于正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用。判别方法有两种：,根据对称轴上的杆件和截面的变形（或位移）特征判别。根据对称轴上的杆件和截面的内力特征判别。,变形(位移)与约束力是一一对应的；有变形(或位移)，则无
6、约束力，也就没有约束；反之，无变形(或位移)，则有约束力，也就存在约束。,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,取半结构计算,奇数跨对称结构：对称轴上截面的约束既可根据变形特征判别，也可根据内力 特征判别。,对称荷载,半结构,反对称荷载,半结构,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,取半结构计算,偶数跨对称结构：对称轴上有杆件或支座，一般先判别对称轴上杆件的变形特
7、征，再判别对称轴上截面的位移特征。,对称荷载,半结构,反对称荷载,半结构,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,取半结构计算,【练习】利用对称性选择半结构。,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,取半结构计算,【练习】利用对称性选择半结构。,注意,注意,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.
8、,Strucural Analysis,取半结构计算,【练习】利用对称性选择半结构。,注意,结点荷载,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,取半结构计算,【例1】试用力法求作图示结构的弯矩图。,对称无弯矩,反对称,对称无弯矩,反对称,又看到您了！,结点荷载，对称时无弯矩,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,取半结构计算,【例2】试用力法求作图示对称结构的弯矩图。,
9、6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,选用成对的广义未知力简化计算,【例1】试用力法求作图示结构的弯矩图。,求解思路：本结构对称，为了利用对称性简化计算，应尽量选择对称位置上的多余力作为基本未知量，从而使基本结构也对称。2次超静定，可以选择A、C支座约束作为多余约束，对应基本结构如图所示。,为了进一步简化计算，使方程的副系数尽可能为零，将一般多余约束力Y1、Y2重新分解与组合，即 这就形成了两个(两组)新的广义未知力。从数学上看，是Y1、Y2的线性组合，反映出来的物理含义是：将一
10、般多余约束力分解成了一对对称的未知力 和一对反对称的未知力。见上图。,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,选用成对的广义未知力简化计算,【例1】试用力法求作图示结构的弯矩图。,（物理含义？）,第一个方程：A、C两点竖向位移和等于零。第二个方程：A、C两点竖向位移差等于零。,解得,力法方程 的物理含义：左右两个截面剪切变形的和等于零。由于两个截面的剪切变形大小相等，故，等效于两个截面的剪切均等于零。,6-5 对称性的利用力法简化计算,School of Civil Enginee
11、ring,Tongji Univ.,Strucural Analysis,选用成对的广义未知力简化计算,【例2】作图示结构的弯矩图。（本例前面已讲过选择半结构的求解方法）,上下反对称，故，截面弯矩、轴力为零。左右对称，故，两截面剪力大小相等，性质相反。,（后续计算略）,6-6 支座移动和温度改变时的力法计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,可见，与绝对刚度有关,6-6 支座移动和温度改变时的力法计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Ana
12、lysis,多余约束力,最终弯矩图,由于基本结构是静定结构，在支座位移情况下不产生内力，故，最终弯矩图完全由多余约束力产生，即,6-6 支座移动和温度改变时的力法计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,支座移动时的力法计算,支座移动时力法计算的特点,如选有位移的支座作为多余约束，则方程右边不为零，应等于已知的支座位移。方程自由项由基本结构的支座位移产生。（注意：多余约束力对应支座位移不再是基本结构的支座位移）结构的最终内力完全由多余约束力引起。内力与绝对刚度有关。（一般荷载作用下的内力只与相对刚度有关）,6-
13、6 支座移动和温度改变时的力法计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,温度改变时的力法计算,【解】,温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关。,基本结构在温度改变情况下无内力,6-6 支座移动和温度改变时的力法计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,思考题,【1】图示刚架EI=c，B支座发生支座位移。选取不同的基本结构形式如图所示，试写出与基本结构对应的力法方程，并求出自由项。,6-6 支座移动和温度改变时的力法计算,
14、思考题,6-7 超静定结构的位移计算,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,Strucural Analysis,基本原理和方法,变形体的虚功原理及其相应的单位荷载法并不限定于静定结构的位移计算，同样适用于超静定结构的位移计算。如果直接对原始超静定结构应用虚功原理，位移状态和虚力状态的内力都必须经过力法计算才能得到，计算工作量较大，十分繁琐。能否简化呢？怎样简化？,根据力法基本原理知：基本结构在多余约束力和已知外荷载共同作用下与原始超静定结构等效，所以，超静定结构的位移就是基本结构在多余约束力和已知外荷载共同作用下的位移。这样，就将超静定结构的位移计
15、算化成了基本结构（静定结构）的位移计算。按照上述思路，只需在基本结构上建立虚力状态即可，由于基本结构是静定，单位荷载作用下的内力极易求得，这将使计算工作大为简化。基本结构位移状态的内力就是原超静定结构的内力。由于超静定结构的基本结构不唯一，故，位移计算时，虚力状态的建立有多种方式，应尽量选择使内力功计算(图乘)比较方便的基本结构。,6-7 超静定结构的位移计算,Strucural Analysis,一般荷载作用下的位移计算,【例1】图示超静定结构在荷载作用下的弯矩图已知，试求跨中F点的竖向位移 和D点的水平位移。,显然，虚力状态(三)与原结构弯矩图图乘简单。,(真实方向：向上),比较右边三种虚
16、力状态，选择哪个计算简单？,6-7 超静定结构的位移计算,Strucural Analysis,一般荷载作用下的位移计算,【例1】图示超静定结构在荷载作用下的弯矩图已知，试求跨中F点的竖向位移 和D点的水平位移。,(真实方向：向右),School of Civil Engineering,Tongji Univ.,6-7 超静定结构的位移计算,温度变化情况下的位移计算,【解】,多余力引起的位移,温度变化引起的位移,Strucural Analysis,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,6-7 超静定结构的位移计算,支座移动情况下的位移计算,多余力引起的位移,支座移动引起的位移,Strucural Analysis,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,6-8 超静定结构最终内力图的校核,Strucural Analysis,School of Civil Engineering,Tongji Univ.,练习：P.175 习题615,
