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1、函数的周期性与对称性,一、函数的周期性 若存在常数T 0,使对任意xD都有f（x+T）f（x）,则称函数y=f(x)为周期函数，常数T叫做该函数的一个周期。,周期性的几个结论,（1）若f(x+a)f(x+b)(ab）,则f(x)是周 期函数,ba是它的一个周期；（2）若f(x+a)f(x)（a0），则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；（3）若f(x+a)(a0，且f（x）0),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期.,二、函数图像的变换,1、图像的平移：把函数yf（x）的图像沿着轴向左(向右)平移a个单位就得到函数yf（x+a）(a0)的图像 把函数yf（x）的图像沿着向上(向下)平移
2、a个单位就得到函数yf（x）+a的图像,若，则函数 的图象关于点 对称,应用形：,通过点的特征判定,2、函数图像的对称与翻转：（1）若f（x+a）f（bx），则函数f（x）的图象关于直线x 对称，（2）若f（a+x）f（ax），函数f（x）的图象关于直线xa对称；（3）若有f（a+x）f（bx），则函数f(x)的图象关于点（，0）中心对称，（4）若f（a+x）f（ax），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.,(5)函数 yf（x）与 函数yf（x）的图像关 于轴对称(6)函数yf（x）与函数yf（x）的图像关 于原点对称(7)把函数yf（x）的图像在x轴下方的图像沿着x轴翻到x轴上方
3、，x轴上方的图像不变，就得到的函数y f（x）的图像(8)把函数yf（x）的图像在y轴左侧的图像去掉，y右侧的图像沿着y轴对称翻折到y轴左侧、y轴右侧的图像不变方的图像不变，就得到的函数yf(x)的图像,若f（x）的图象有两条对称轴xa和x b（ab），则f（x）必为周期函数，且2ba是它的一个周期；若f（x）图象有两个对称中心（a，0）和（b，0）（ab），则f（x）必为周期函数，且2ba为它的一个周期；若f（x）的图象有一对称轴xa和一个对称中心（b，0）（ab），则f（x）必为周期函数，且4ba是它的一个周期.,【例1】已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中:若f（x2）是偶函数，则
4、函数f（x）的图象关于直线x2对称；若f（x+2）f（x2），则函数f（x）的图象关于原点对称；函数yf（2+x）与函数yf（2x）的图象关于直线x2对称；函数yf（x2）与函数yf（2x）的图象关于直线x2对称.其中正确的命题序号是.,【解析】是错误的，由于f（x2）是偶函数得f（x2）f（x2），所以f（x）的图象关于直线x2对称；是错误的，由f（x+2）f（x2）得f（x+4）f（x），进而得f（x+8）f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数是错误的，在第一个函数中，用x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；是正确的，令x2t，则2xt，函数yf（t)与yf
5、（t）的图象关于直线t0对称，即函数yf（x2）与yf（2x）的图象关于直线x2对称.,【例2】f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）0，则方程f（x）0在区间（0，6）内解的个数的最小值是()A2 B3 C4 D5,【解析】f（x）为奇函数，f（0）0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0，f（5）0，在区间（0，6）内的解有1，2，3，4，5.故选D.,【例3】已知函数f（x）的定义域为xxR且x1，f（x+1）为奇函数，当x1时，f（x）2x2x+1，则当x1时，f（x）的递减区间是（）A，+）B（1，C，+）D（1，,【解
6、析】由f（x+1）为奇函数得f（x+1）f（x+1），f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，又由已知可画出f（x）在（，1）上的图象，再根据中心对称画出f（x）在（1，+）上的图象，由图象易知，f（x）在，+）上单调递减，故应选C.,例4对函数f（x），当x（，）时，f（2x）f（2+x），f（7x）f（7+x），在闭区间0,7上，只有f（1）f（3）0.（1）试判断函数yf（x）的奇偶性；（2）试求方程f（x）0在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.,【解】（1）由已知得f（0）0，f（x）不是奇函数，又由f（2x）f（2+x），得函数yf（x）的对称轴为x2，f（1）f
7、（5）0，f（1）f（1），f（x）不是偶函数.故函数yf（x）是非奇非偶函数；(2)由f（4x）f（14x）f（x）f（x+10），从而知yf（x）的周期是10.又f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）0，故f（x）在0，10和10，0上均有两个解，从而可知函数yf（x）在0，2005上有402个解，在上2005，0有400个解，所以函数yf（x）在2005，2005上有802个解.,例1：已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(-x+3)=f(x)，且f(1)=-1，则 f(5)+f(14)=_.,函数的对称性与周期性,问题一：对于函数f(x)，若满足f(x-1)=f(1-
8、x)则y=f(x)的图象（）关于直线 x=0对称 B.关于直线x=1对称 C 关于直线 x=-1对称 D 以上都不对,函数的对称性与周期性,问题一：对于函数f(x)，若满足f(x-1)=f(1-x)则y=f(x)的图象（）关于直线 x=0对称 B.关于直线x=1对称 C 关于直线 x=-1对称 D 以上都不对,解法一：（图象法）轴对称特征：如果一个函数有对称轴且存在两个不同自变量的对应函数值相等，则对称轴一定在两个自变量的中点位置上。由 f(x-1)=f(1-x)对称轴为 函数的图象关于直线x=0 对称,问题二：对函数y=f(x)在同一坐标系下，函数y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象（
9、）A.关于直线x=0 对称 B.关于直线x=1 对称 C.关于直线x=-1对称 D.以上都不对,问题二：对函数y=f(x)在同一坐标系下，函数y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象（）A.关于直线x=0 对称 B.关于直线x=1 对称 C.关于直线x=-1对称 D.以上都不对,分析：用特例法或图象法易求对称轴为 x=1 题型2：对函数y=f(x)在同一坐标系下，求函数y=f(x-a)与y=f(b-x)(a,b R)的对称轴 解法：a=b时换元,解法二（特例法）由 f(1-x)=f(x-1)令 x=0 有 f(-1)=f(1)则函数的对称轴为,课上练习,1，已知函数f(x)图象如图所示，则f
10、(x)=()A,B,x2-2|x|+1 C,|x2-1|D,答案A,2、已知函数y=|x+1|-|x-2|画出其图象，说明它关于哪个点对称（不必证明），并指出函数的最值。,3、已知定义在（-，+）上的函数f(x)的图象关于原点及x=1对称。求f(0);若0 x1时，f(x)=x,求x-1,3时，f(x)的解析式,1、关于直线x=a的对称特征,y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)，反之也成立,练习：已知定义在实数集上的函数f(x)满足f(5-x)=f(5+x),若f(x)在（5，+）上单调增，则f(x)在（-，5）上的单调性如何？由此你得到什么结论？,单调减,关于x
11、=a对称的图形在对称轴两侧对称区间上单调性相反,求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析式,解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y)在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而,x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为所求,结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称,2、关于直线y=b对称,函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是,y=-f(x),求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式,解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(
12、x)而,y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x),结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则f(x)+g(x)=2b反之也成立,3、关于点(a,0)对称,练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析式,答案：y=-f(2a-x),结论：-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0,已知对于任意x、yR，都有4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)恒成立，且f(1)=1/4，求f(2010)的值是多少？,函数周期性解题的一道经典试题,试题说明：本题
13、是一道2010年重庆理科数学高考的一道填空试题(分值5分)，十分压轴题，属于拔高题和拉分题，要想在短时间内得到正确的答案，这务必要求学生平时对“函数的周期性”的具体应用要有所熟练！,试题分析：面对抽象函数的题型，喜欢钻研的同学一定会有似曾相似的感觉，但在没有给出具体函数f(x)的解析式的前提下，就要我们求f(2010)的值，这道试题确实有点偏难。那怎么办呢？自变量x=1如何与x=2010联系起来呢？此题的玄机和突破口究竟在何处？我们不妨先从特殊值x=0入手，令x=y=0，代入函数关系式，我们不难得到f(0)=0或f(0)=1/2两种情况。那么到底取哪一种呢？不妨在令x=y=1代入函数关系式，得
14、到：1/4=f(2)+f(0)；令x=2，y=0代入函数关系式，显然f(0)不能等于0，由此得出：f(0)=1/2。但自变量x=1如何与x=2010联系起来呢？在已知f(1)的情况下，要想求出f(2010)的值，数学能力较强的学生一般很容易想到起f(x)的“函数的周期性”，因此能否求出函数f(x)的周期性，是解答本题的关键所在。那么如何通过已知的函数关系式，求出函数的周期呢？这是本题中的另一个困难所在，我们知道，周期函数的一般表达式一般是：f(x+T)=f(x)或f(x)=f(x+T)，要想由“4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)”得到或变成“f(x)=f(x+T)”，我们唯一的办法
15、就是通过对x、y进行特殊的赋值和恒等变形，并且要经过不断的尝试。,第一步、求出f(0)的函数值：令x=y=0，则4f(0)f(0)=f(0+0)+f(0-0)，则f(0)=0或f(0)=1/2 令x=y=1，且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)f(2)=1/4-f(0)令x=2，y=0且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)4f(2)f(0)=f(2)+f(2)f(2)=1/4-f(0)，4f(2)f(0)=f(2)+f(2)且f(0)=0或f(0)=1/2 f(0)=1/2,第二步、求出f(x)的周期：对于任意x、yR，都有4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)恒
16、成立对于任意x、yR，都有f(x+y)=4f(x)f(y)-f(x-y)恒成立令x=t,y=1，则f(t+1)=4f(1)f(t)-f(t-1)即f(t+1)=f(t)-f(t-1)令x=t+2,y=1，则f(t+1)+1=4f(1)f(t+1)-f(t)，即f(t+2)=f(t+1)-f(t)f(t+1)=f(t)-f(t-1)且f(t+2)=f(t+1)-f(t)f(t+2)=-f(t-1)即：f(t+2)+f(t-1)=0f(t+2)+f(t-1)=0 f(t+5)+f(t+2)=0 f(t+2)+f(t-1)=0且f(t+5)+f(t+2)=0-得：f(t+5)=f(t-1)即：f(t)=f(t+6),原函数f(x)是以6为周期的周期函数 2010=6335且f(x)是以“6”为周期的函数 f(2010)=f(3356)=f(0)=1/2,
