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1、基本不等式,均值不等式及应用,一、均值不等式,均值定理：,当且仅当a=b时，式中等号成立。,两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值,或,称为它们的几何平均数,称为正数a、b的算术平均数,证明：,上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想,问题：,均值不等式给出了两个正实数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？(前述称为基本均值不等式也称二元均值不等式),类比思想应用,定理3 三元均值不等式：,a、b、cN*当且仅当a=b=c时，式中等号成立。,语言表述：三个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值,同理三元均值不等式也可由 换元
2、得到，只要证明以下不等式成立：,证明：,（证明需要用到的公式）,求差法证明：求差法是不等式证明常用的方法,二、均值不等式的推广,1、四个均值不等式链,平方平均数 算数平均数 几何平均数 调和平均数,3、常见变式,三、均值不等式的应用 用不等式证明不等式,当两项之积为一个常数直接用均值不等式，用a、b代换两数（有积定直接用均值不等式）,当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不等式a、b代换每项内两数，再用不等式两边相乘的基本定理来解（积积定值直接用）,直接用三元均值不等式来解,练习4：已知:a,b,c均为正数,求证:,二项之积为一个常数直接用均值不等式a、b代换即可.,技巧（构造法
3、），当不等式左边含有元数时，我们采用构造不等式来证明，再不等式两边相乘或相加原理求解。由基本不等式推出的几个常用构造不等式：,带常数不等式两边乘上a或b都可以构造带元数的不等式,证明：因为,所以：两边相加,利用带元数的构造不等式，构造出不等式左边各项所带元数，再利用不等式两边相乘或相加求解。,不等式分母和右边交换，构造不等式相加,二边Xa,二边Xb,二边Xc,分子分母Xa,分子分母Xb,分子分母Xc,用求差法证明例4：,求差法常用来证明不等式，一般需配项化为平方差的连加形式，因为abc都大于0，这种式子最终都大于0的。,四、均值不等式的应用 求最值,两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个
4、正数的和为常数时，它们的积有最大值。,均值不等式,即：积定和最小，和定积最大，可用于最值求解。,在求最值时必须强调的三个条件：一正，二定，三相等，缺一不可,注意：”一正二定三相等”是指利用均值不等式 证明或求最值必 须强调的三个特殊要求：,（1）一正：各项都为正数（a、b0，由ab做成的两项也需0）,（2）二定：两项积为定值，和有最小值 两项和为定值，积有最大值,（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是 否能取“”，取的值是否在已知的区间内，否则会出现错误,注：用不等式证明和求最值是必须每步验证是否符合,ab9,a+b6,解：,例6、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少
5、时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长宽各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？,解：设矩形长为a,宽为b 则S=ab=100，L=2（a+b）因为a+b=20 当且仅当a=b=10,a+b=20 所以L 40，当a=10,b=10时L最短，为40.,解：设矩形长为a,宽为b 则S=ab，L=2（a+b）=36 因为a+b=18 当且仅当a=b=9,axb=81 所以S 81，当a=9,b=9时S最大，为81.,例6解：,利用均值不等式求函数最值的步骤:,练习1)若x0,f(x)=的最小值为_;此时x=_.,解:因为x0,若x0,f(x)=的最大值为
6、_;此时x=_.,即当x=2时函数的最小值为12.,12,2,-12,-2,当且仅当 时取等号,一正,二定,三相等,二项相乘为定值,二项相等时求出的x值是否在已知的区间内，在取等号；如不在不能取等号,未知数X，均0,注意:各项必须为正数,二边乘-1不等式要变号,解：函数看不出二项相乘为定值，需要变形使它二项相乘为定值（凑积定）,解：（取值需要判别ab正负，x0是对对数函数的，不是对a和b的）,例9.函数y=(x 0)的最小值 为_,此时x=_.,x=0,1,0,添项加数（变换、凑系数）使它二项相乘为定值（凑积定）,最大值 4(a=b=2),最大值 2(a=1 b=2),最大值8(a=2 b=4
7、),练习:1.函数 求函数f(x)的最小值.,换元法凑积定：从高次到低次逐步用x+1代入分子的x中，边代入边配项，目的使得有二项相乘为定值，不管常数。,练习2 函数 求该函数的最大值,并求出相 应x的值.,a/4(x=a/8),（凑和定）：二乘积凑x的系数，使得原乘积的二项x前的系数相同，二项相加时能取消x变为定值,练习3,最小值 4，当2a=b时有最小值(a=1/2 b=1),凑和定：二个都凑系数,例11.求函数 的最小值.,利用对勾函数(t0)的单调性.,5/2(x=0),三不等，改用“单调性”,变形:,2？,验证：一正ab二项0；二定二项之积为1；三相等x+4=1，x=-3无效。所以该题
8、不能用不等式求最小值,练习1解答,练习2解答,例 1:,解:,构造三个数相 加等于定值.,用三元均值不等式求最值,C,例13 求函数 的最小值,小结：利用均值不等式求最值时注意：,2、不能直接利用定理时，注意拆项、配项凑定值的技巧,1、一正、二定、三相等；,缺一不可,（拆项时常拆成两个相同项）。,阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。,五、错题辨析,因为三不等,因为二不定,正解,即此时,因为二不定,a、b R+一正,二定,三相等符合已知条件,2、求函数 的最小值下面甲、乙、丙三为同学解法谁对？试说明理由,甲：由 知，则,(错解原因是1/x=2/x无法解等号取不到),(错解原因是
9、不满足积定),丙：,构造三个数相 乘等于定值.注：拆项时一般拆成二个相同的项,一正,二定,三相等,2.若x0,当x=时,函数 有最 值.,3.若x4,函数 当x=时,函数有最 值是.,1.若x0,当x=时,函数 的最小值是.,2/3,小,12,5,大,-6,练习题,4.已知,则 的 最大值为,此时x=.,5.若,当x=时,y=x(5 2x)有最大值.,6.若x0,则 最大值为.,3/4,1/2,5/4,25/8,变换为3x(3-3x)*1/3,变换为2x(5-2x)*1/2,六、一题多解,七.不等式万能K法求最值,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,完,
