《D97方向导数与梯度课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D97方向导数与梯度课件.pptx（36页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一团火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁首先应沿什么方向爬行才能 最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向爬行,一、问题的提出,的参数方程可为,则射线,问当P 沿着 趋于P0时，,二、方向导数,是否存在？,问当P 沿着 趋于P0时，,即,若存在，,则称此极限为函数f(x,y)在点P0,沿方向,的方向导数，,记作,即,同理可得：当f(x,y)在点P0的偏导数存在时，,f(x,y)在点P0沿着y轴正向，y
2、轴负向的方向导数,分别为,思考题,思考题解答,证明,由于函数可微，则全增量可表示为,证毕.,偏导数存在,沿任意方向的方向导数存在,可微,沿任意方向的方向导数存在,偏导数存在,沿x，y正负半轴方向的方 向导数存在且互为相反数,解,其方向余弦为,例2.求函数,在点P(2,3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,推广可得三元函数方向导数,(其中,例3.设,是曲面,在点 P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,或,.,三、梯度,则,结论,即,实例：一块长方形的金属板，四个顶点
3、的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一团火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁首先应沿什么方向爬行才能 最快到达较凉快的地点？,答：这只蚂蚁首先应沿板上的温度函数在(3,2)处的负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点.,称为函数 f 的等值线或等高线.,则L*上点P 处的法向量为,举例,2.梯度的几何意义,等高线在P处的切线斜率,即梯度为等高线上的法向量,指向函数增大的方向.,结论,即,结论,等高线图举例,这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越
4、大对应曲面上点的位置越高,等高线图,带阴影的等高线图,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,例4.设函数,解:(1)点P处切平面的法向量为,在点 P(1,1,1)处的切平面方程.,故所求切平面方程为,即,(2)求函数 f 在点 P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.,求等值面,(2)函数 f 在点P处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,思考:f 在点P处沿什么方向变化率为0?,注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多,3.梯度的基本运算公式,例5.,证:,试证,四、物理意义,函数,数量场(数性函数
5、),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,(势),如:温度场,电势场等,如:力场,速度场等,(向量场),注意:任意一个向量场不一定是梯度场.,例6.,已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点,试证,证:利用例5的结果,这说明场强:,处所产生的电势为,垂直于等势面,且指向电势减少的方向.,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向 l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l(方向角为,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,方向:f 变化率最大的方向,模:f 的最大变化率之值,梯度的特点,思考与练习
6、,1.设函数,(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,2.P131 题 16,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,1.(1),在点,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M(1,1,1)处切线的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.P131 题 16,备用题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x,y,z 具有轮换对称性,(1992 考研),指向 B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,2.函数,提示:,其单位向量为,(1996考研),
