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1、当H与t无关时，含时间的薛定谔方程的特解为：其中。方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为能量本征方程。,A.在上述方程中，E实际上是体系的能量。,B.一般而言，上述方程对任何E值都有非零解。但由于对波函数有一定要求（自然条件），以及一些特殊的边界要求（无穷大位势边界处 等）。这样能满足方程的解就只有某些E值。,C.根据态叠加原理是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可表为,(非定态),通常称（其中）为定态波函数。（2）定态：A.定态定义：具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数,1体系在初始时刻（t0）处于一定能量 本征态，则在以后任何时刻
2、，体系都处于这一本征态上，即。它随时间变化仅表现在因子 上。,3几率流密度矢不随时间变化。,4.任何不含 t 的力学量在定态的平均值不随时间变化.,5任何不显含 t 的力学量在定态中取值的几率不随时间变化。,B.定态的性质：,2体系的几率密度不随时间变化。,第三章 一维定态问题 现在从最简单的问题来应用所得的原理和方程：一维，不显含时间的位势且位势有一定性质时，如则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题是解决三维问题的基础。,3.1一般性质 设粒子具有质量m，沿x轴运动，位势为，于是有（1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。简并度（degeneracy）：一个力学量的某个
3、测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波函数中测得，则称这一 测量值是具有n 重简并度。,如某能量本征值有 n 个独立的定态相对应，则称这能量本征值是 n 重简并的。证：假设,是具有同样能量的波函数(1)(2),从而得 于是(c是与 x 无关的常数)对于束缚态（或在有限区域有某值使），所以 c0。从而有,若 不是处处为零，则有注意:.分立能级是不简并的，而对于连续谱时，,若一端，那也不简并。但如两端都不趋于0（如自由粒子），则有简并。当变量在允许值范围内（包括端点），波函数无零点，就可能有简并存在。（因常数c0）。当 V(x)有奇异点，简并可能存在。因这时可能导致 处处为零。,推论：一维束缚
4、态的波函数必为实函数（可 保留一相因子）。证 令（都是实函数）则,但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，因而 Rn 和 In 应是线性相关的，所以 因此，,（2）不同的分立能级的波函数是正交的。（1）（2）,所以 从而证明得。（3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值范围内有n个节点（即有n个x点使，不包括边界点或远）。,1(x),2(x),3(x),4(x),(4）在无穷大位势处的边条件：首先讨论V(x)有有限大小的间断点，由方程即,由于 存在，即 存在，即 的导数存在，所以函数连续，也就是波函数导数连续。而在位势是无穷时又如何呢？设,令,所以，得解
5、,要求波函数有界，所以C0，要求波函数x=0处连续，且导数连续 当E给定，所以，,于是，当,方程有解 这表明，在无穷大的位势处，波函数为0，边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导数的连续性。但，几率密度和几率流密度矢总是连续的。,3.2阶梯位势：-最简单的定态问题,(1)当 令，,由波函数有界,C0 在x0处，波函数连续，波函数导数连续，解得,对E没有限制，任何E都可取，即取连续值。因它不是束缚态（，并不趋于0），但它不简并（因，）。讨论：A.处，经典粒子不能去的地方，但仍有一定的几率发现量子粒子。B 区域，有沿x方向的平面波和沿x反方向的平面波,且振幅相同，构成一驻波。,这一驻波，在处为0
6、。,x,0,C.几率流密度矢：i.透射几率流密度矢（）jT0（因 是实函数）.在区域，有向右的几率流密度，即入射几率流密度矢=iii.在区域，也有左的几率流密度，即反射几率流密度矢=,所以，总几率流密度矢为 0。当，入射粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域 中。定义：1.反射系数，现 R=1;2.透射系数，现 T=0。(2)当,求粒子从左向右方入射的解。,令，,由初条件，粒子由左向右入射，由于在x=0处位势有间断点，所以，区域有入射波，也有反射波；但在 处，位势无间断点，所以，只有入射波，无反射波，因此，C0。由波函数及其导数连续，有,得，结果有 讨论：在 时，区域 有一沿x方向传播的平面
7、波，显然，,=。从而得 反射系数=透射系数=显然,上讲内容,定态,薛定谔方程的特解,不含时间的薛定谔方程，或称为能量本征方程。,态叠加原理,(非定态),定态的性质,最简单的定态问题一维定态问题,1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。,一维束缚态的波函数必为实函数（可保留一相因子）。,2:不同的分立能级的波函数是正交的。,波函数的自然条件：单值，有界、连续,波函数的导数连续吗？,当势场有有限大小的间断时，波函数的导数连续，无穷大位势不要求波函数导数连续。,3.3位垒穿透：（1）EV0：从左向右入射，所以在 区域有解eikx（入射波）；e-ikx（反射波）区域有解eikx（透射波）。,
8、沿x方向的几率流密度为，所以只要求得,即可。对于 有方程,有解 其中 由，处，连续 得,得于是有,从而得代回得,于是有（2）当EV0 这时只要将，并由，得,隧穿效应,从而有,（3）结果讨论：A（EV0 或EV0），即几率流密度矢连续。,当Ka1时，,当EV0时，仍有一定几率流透射过去；,B.当EV0时，仍有一定几率流被反射,但当k1a=n时，T1，即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在 EV0条件下发生）,这时,被称为共振能级。,3.4方位阱穿透：这时只要将 即可。,其中，。当 时，则同样出现，即共振透射。这时，(n 取值应保证 En 大于零),3.5一维无限深方势阱。（1）能量本征值和本
9、征函数：，,有解其中 要求波函数在 处连续（当然，并不要求导数连续），于是有,要求A，B不同时为0，则必须系数行列式为0。即,.代入方程得.代入方程得 所以，,相应的本征能量为（2）结果讨论：,A.根据一定边条件，要求(处，波函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子化。B.一个经典粒子处于无限深位阱中，可以安静地躺着不动。但对量子粒子而言，所以，即 不能精确为0。因此，无限深方位势的粒子最低能量不为0。,C.对基态：而 所以，无零点，即无节点，是偶函数。第一激发态：而,有一零点，即有一节点，是奇函数。第二激发态：而,有二个零点，即有二个节点，是偶函数。,3.6宇称，一维有限深方势阱（1）宇称：前面无限深位势的能量本征函数有两类形式：,
