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1、,第十一章 三角形,小结与复习,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,八年级数学上（RJ）教学课件,腰和底不等的等腰三角形,要点梳理,1.三角形的三边关系：,2.三角形的分类,三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.,不等边三角形,等腰三角形,等边三角形,直角三角形,锐角三角形,钝角三角形,3.三角形的高、中线与角平分线,高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线 相交于一点，如图.中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于 一点（重心），如图.角平分线：三条角平分线相交于一点，如图.,4.三角形的内角和与外角,(1)三角形的内角和等于180；,(2)三角形的一个外角等于与它不相
2、邻的两个内 角的和；(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一 个内角.,5.多边形及其内角和,n边形内角和等于(n-2)180(n 3的整数）.,n边形的外角和等于360.,正多边形的每个内角的度数是,正多边形的每个外角的度数是,在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.,例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？,解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得 8-3a8+3,5 a11.又第三边长为奇数,第三条边长为 7cm或9cm.,考点讲练,三角
3、形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.,1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是.,6x12,例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另 两边长.,解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，分两种情况讨论：当6为底边长时，腰长为(16-6)2=5，这时另两边长分别为5,5；当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.综上所述，另两边长为5,5或6,4.,【变式
4、题】已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为()A.16 B.20或16 C.20 D.12,C,等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意三边是否构成三角形.,2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为.,5,例3 如图，CD为ABC的AB边上的中线，BCD的周长比ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长,解：CD为ABC的AB边上的中线，AD=BD，BCD的周长比ACD的周长大3cm，（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，BC-AC=3，BC=8，AC=5,【变式题】在ABC中，AB=AC，DB为ABC的
5、中线，且BD将ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长,解：如图，DB为ABC的中线，AD=CD，设AD=CD=x，则AB=2x，当x+2x=12，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.此时ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，此时ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7,无图时，注意分类讨论,例4 如图，D是ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且ABC的面积为24，求BEF的面积,解：点E是AD的中点，SABE=SABD，SACE=SADC，SABE+SACE=SABC=24=12，SB
6、CE=SABC=24=12，点F是CE的中点，SBEF=SBCE=12=6,3.下列四个图形中，线段BE是ABC的高的是（）,三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.,C,4.如图，AD是ABC的角平分线，则_=_=_，AE是ABC的中线，则_=_=_，AF是ABC的高线，则_=_=90,BAD,CAD,CAB,CE,BE,BC,AFB,AFC,例5 A,B,C是ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求A，B，C中未知角的度数.(1)AB16，C54；(2)A:B:C2:3:4.,解:(1)由C54知AB18054126,又AB16,由解得A71,B55;,(2)设A2x，B3x，C=4x，
7、则2x+3x+4x=180，解得 x=20，A40,B60，C80.,若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思想设未知数列方程求解.,例6 如图，在ABC中，D是BC边上一点，1=2，3=4，BAC=63，求DAC的度数,解：设1=2=x，则4=3=2x因为BAC=63，所以2+4=117，即x+2x=117，所以x=39,所以3=4=78，DAC=180-3-4=24.,5.在ABC中,三个内角A,B,C满足B-A=C-B，则B=.,60,6.如图，在ABC中，CE，BF是两条高，若A=70，BCE=30，则EBF的度数是，FBC的度数是.,7.如图，在ABC中，两条角平分线B
8、D和CE相交于点O，若BOC=132，那么A的度数是.,20,40,84,例7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数.,解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则x+4x=180,解得 x=36.边数n=36036=10.,在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.,例8 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且1=2，3=4求CAD的度数,解：五边形的内角和是540，每个内角为5405=108，E=B=BAE=108，又1=2，3=4，由三角形内角和定理可知1=2=3=4=（180-108）2=36，CAD=BAE-1-3=108-36-3
9、6=36,【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等，1=2=60，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样的位置关系？为什么？,解：ABDE，ADBC.理由如下：六边形ABCDEF的内角都相等，六边形ABCDEF的每一个内角都等于120，EDC=FAB=120.1=2=60，EDA=DAB=60，ABDE，C=120，2=60，2+C=180，ADBC.,8.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180，求这个多边形的边数,解：设这个多边形的边数是n，依题意得（n-2）180=3360-180，（n-2）=6-1，解得n=7这个多边形的边数是7,方程思想,例9 如图，在ABC中，
10、C=ABC,BEAC,BDE是等边三角形，求C的度数.,解：设C=x,则ABC=x,因为BDE是等边三角形，所以ABE=60,所以 EBC=x-60.在BCE中，根据三角形内角和定理，得90+x+x-60=180,解得x=75,所以C=75.,在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.,【变式题】如图，ABC中，BD平分ABC,1=2,3=C,求1的度数.,解：设 1=x,根据题意得2=x.因为3=1+2，4=2，所以3=2x,4=x，又因为3=C，所以C=2x.在ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180,解得x=36
11、,所以1=36.,分类讨论思想,例10 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6，则三角形的周长是,【解析】由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.,26或22,【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.,化归思想,如图，AOC与BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：A+C=B+D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.,例11 如图，求ABCDEFG的度数.,解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连
12、接CD便转化为求五边形的内角和问题.,解：连接CD，由“8字型”模型图可知 FCD+GDC=F+G,所以ABCDEFG=（5-2）180=540.,三角形,与三角形有关的线段,三角形内角和：180,三角形外角和：360,三角形的边：三边关系定理,高线,中线：把三角形面积平分,角平分线,与三角形有关的角,内角与外角关系,三角形的分类,多边形,定义,多边形的内外角和,内角和：（n-2)180,外角和：360,对角线,多边形转化为三角形和四边形的重要辅助线,正多边形,内角=;外角=,课堂小结,见章末练习,课后作业,小结与复习,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,第十二章 全等三角形,八年级数学上
13、（RJ）教学课件,能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.,要点梳理,一、全等三角形的性质,B,C,E,F,其中点A和，点B和，点C和_ _是对应顶点.AB和，BC和，AC和 是对应边.A和，B和，C和 是对应角.,A,D,点D,点E,点F,DE,EF,DF,D,E,F,A,B,C,D,E,F,性质：,全等三角形的对应边相等，对应角相等.,如图：ABCDEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF（），A=D，B=E，C=F（）.,全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等,应用格式：,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,ABCDEF.（SAS）,1.两边和
14、它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).,F,E,D,C,B,A,二、三角形全等的判定方法,在ABC和DEF中，,ABCDEF.（ASA）,2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.,用符号语言表达为：,F,E,D,C,B,A,3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.,在ABC和 DEF中，,ABC DEF.（SSS）,用符号语言表达为：,4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.,5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、
15、直角边”或“HL”.,A,B,C,D,E,F,注意：对应相等.“HL”仅适用直角三角形,书写格式应为:在Rt ABC 和Rt DEF中，AB=DE，AC=DF，RtABCRtDEF(HL),角的平分线的性质,OP平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,PD=PE,OP平分AOB,PD=PE,PDOA于D,PEOB于E,角的平分线的判定,三、角平分线的性质与判定,考点讲练,例1 如图，已知ACEDBFCE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2（1）求AC的长度；（2）试说明CEBF,解：（1）ACEDBF，AC=BD，则AB=DC，BC=2，2AB+2=8，AB=3，AC=3+2=5；（2）AC
16、EDBF，ECA=FBD，CEBF,两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.,1.如图所示，ABDACD，BAC=90（1）求B；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由,解：（1）ABDACD，B=C，又BAC=90，B=C=45；（2）ADBC理由：ABDACD，BDA=CDA，BDA+CDA=180，BDA=CDA=90，ADBC,例2 已知，ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCB,ABCDCB(已知），BCCB（公共边），A
17、CBDBC（已知），,证明：,在ABC和DCB中，,ABCDCB（ASA）.,【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定,2.已知ABC和DEF,下列条件中,不能保证ABC和DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B.A=D,B=E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,A=D D.AB=DE,BC=EF,C=F,D,3.如图所示，AB与CD相交于点O,A=B，OA=OB 添加条件，所以 AOCBOD 理由是.,C=D,或AOC=BOD,AAS,或ASA,例3 如图，在ABC中，AD平分BAC,CEAD于点G,交AB于点E,EFBC交AC于点F,求证：DE
18、C=FEC.,【分析】,欲证DEC=FEC,由平行线的性质转化为证明DEC=DCE,只需要证明DEG DCG.,证明：CEAD,AGE=AGC=90.,在AGE和AGC中，,AGE AGC(ASA)，,GE=GC.,AD平分BAC,EAG=CAG，.,在DGE和DGC中，,DGE DGC(SAS).,DEG=DCG.,EF/BC,FEC=ECD，,DEG=FEC.,利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.,4.如图，OBAB,OCAC,垂足为B,C,
19、OB=OC，BAO=CAO吗？为什么？,解：BAO=CAO，,理由：OBAB,OCAC，B=C=90.在RtABO和RtACO中，OB=OC，AO=AO，RtABORtACO，（HL）BAO=CAO.,例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？,【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，ADBC.,解：相等，理由如下：,ADBC，,ADB=ADC=90.,在RtADB和RtADC中，,RtADB RtADC(HL).,BD=CD.,利用全等三角形可以测量一些不易测
20、量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.,5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？,解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，ACB=ECD，CB=CD，ABC=EDC，EDCABC（ASA）DE=BA答：测出DE的长就是A、B之间的距离,C,D,E,例5 如图,1=2,点P为B
21、N上的一点，PCB+BAP=180，求证:PA=PC.,【分析】由角平分线的性质易想到过点P向ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.,【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,PE=PF,PEA=PFC=90.,PCB+BAP=180,又BAP+EAP=180.,EAP=PCB.,在APE和CPF中，,APE CPF(AAS)，,AP=CP.,【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有PABPDB,再证PDC是等腰
22、三角形即可获证.,B,证明过程请同学们自行完成！,D,【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.,6.如图,1=2,点P为BN上的一点，PA=PC，求证:PCB+BAP=180.,【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,PE=PF,PEA=PFC=90.,在RtAPE和RtCPF中，,RtPAE RtPCF(HL).,EAP=FCP.,BAP+EAP=180，,PCB+BAP=180.,想一想：本题如果不给图
23、，条件不变，请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢？,全等三角形,性质,基本性质和其他重要性质,判定,判定方法基本思路,作用,是证明两条线段相等和角相等的常用方法,寻找现有条件（包括图中隐含条件）,选定判定方法证明准备条件,角的平分线的性质定理,角的平分线的判定定理,证明两条线段相等,证明角相等,辅助线添加方法,课堂小结,见章末练习,课后作业,小结与复习,第十三章 轴对称,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,八年级数学上（RJ）教学课件,要点梳理,一、轴对称相关定义和性质,(1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作_，这条直线就是它的_.,(2)如果一个图形
24、沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴.,轴对称图形,对称轴,1.定义,(3)轴对称图形的_，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.,2.性质,(1)关于某直线对称的两个图形是全等图形;,(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_；,垂直平分线,对称轴,三、平面直角坐标系中轴对称,(x,-y),点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为.,点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为.,(-x,y),四、等腰三角形的性质及判定,1.性质,(1)两腰相等;,二、垂直平分线的性质和判定,性质：线段垂直平分线上的点与这
25、条线段两个端点的距离_.,相等,判定：与线段两个_距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,端点,(4)_、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”,顶角平分线,2.判定,(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;,(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“_”）.,等角对等边,(3)两个_相等，简称“等边对等角”;,底角,(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;,五、等边三角形的性质及判定,1.性质,等边三角形的三边都相等;,等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于_;,是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;,任意角平分线、角对
26、边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.,60,2.判定,三条边都相等的三角形是等边三角形.,三个角都相等的三角形是等边三角形.,有一个角是60的_是等边三角形.,等腰三角形,六、有关作图,1.过已知直线外的一点作该直线的垂线,2.作线段的垂直平分线,3.最短路径：(1)牧人饮马问题；(2)造桥选址马问题,考点讲练,例1 下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（）,B,D,2.如图，3=30，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证1的度数为_.,60,例2 按要求完成作图：(1)作ABC关于y轴对称的A1B
27、1C1；(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标：,解析：(1)先找出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连线即可.(2)找出点A关于x轴的对称点A，连接AC，AC与x轴的交点即是点P的位置.,A1,B1,C1,A1,P,C,坐标轴中作轴对称图形，一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征，找出对称点，而后连线即可.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).,例3 在ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.求证：E点在线段AC的垂直平分线上,解析：要证明点E在线段AC的垂直平分线上，即要证明AE
28、=EC.根据题意及线段垂直平分线的定义，得出AB=AE.而后根据AB+BD=DC，进行等量变换，可到AE=EC.,证明：AD是高，ADBC，又BD=DE，AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，AB=AE，AB+BD=AE+DE，又AB+BD=DC，DC=AE+DE，DE+EC=AE+DEEC=AE，点E在线段AC的垂直平分线上,16cm,线段的垂直平分线一般会与中点、90角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化.,例4 如图所示，在ABC中，AB=AC,BDAC于D.求证：BAC=2DBC.,解析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可
29、作顶角BAC的平分线，来获取角的数量关系.,解：作BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则,AB=AC,AEBC.,2+ACB=90.,BDAC,DBC+ACB=90.,2=DBC.,BAC=2DBC.,在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的方法是作顶角的角平分线，而后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现线段或角之间的相互转化.,例5 等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数.,解：设该等腰三角形中，小角的度数为x,则大角的度数为2x.,当x为底角时，x+x+2x=180 解得 x=45，则2x=90.,当x为顶角时，x+2x+2x=180 解得
30、x=36.,故该等腰三角形顶角的度数为90或36.,在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况：(1)在求角度时，未指明底角和顶角；(2)在求三角形周长时，未指明底边和腰；(3)未给定图形时，有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.,5.如图，ABC中，A=36，AB=AC,BD平分ABC交AC于点D,则图中的等腰三角形共有 个.,3,6.如图，已知等边ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1,EB1分别交边AC于M、H点，若ADM=50,则EHC的度数为.,70,7.如图,在ABC中,AD是角平分线,AC=AB+BD.求证B=2
31、C.,证明：在AC上截取AE=AB，连结DE.,E,AD是角平分线，EAD=BAD.,又AD=AD，EADBAD，DE=DB，AED=B.,AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC，CE=ED.,AED=C+CDE=2C，即B=2C.,想一想：还有别的证明方法吗？,提示：延长AB至F，使BF=BD，连结DF,8.如图所示，ABC中，AB=AC，BAC=120，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F求证：BF=2CF,证明：连接AF，AB=AC，BAC=120，B=C=30，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，CF=AF，FAC=C=30，BAF=BAC-FAC=120-30
32、=90，在RtABF中，B=30，BF=2AF，BF=2CF,课堂小结,轴对称,等腰三角形,轴对称图形,垂直平分线,等腰三角形,等边三角形,轴对称的性质,关于坐标轴对称的点的坐标,轴对称作图,性质和判定,性质,判定,性质,判定,含30角的直角三角形的性质,轴对称,见章末练习,课后作业,小结与复习,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,第十四章 整式的乘法与因式分解,八年级数学上（RJ）教学课件,要点梳理,一、幂的乘法运算,1.同底数幂的乘法：底数_,指数_.,am+n,不变,相加,2.幂的乘方：底数_,指数_.,不变,相乘,3.积的乘方：积的每一个因式分别_，再把所得的幂_.,乘方,相乘,(
33、1)将_相乘作为积的系数；,二、整式的乘法,1.单项式乘单项式：,单项式的系数,(2)相同字母的因式，利用_的乘法，作为积的一个因式；,同底数幂,(3)单独出现的字母，连同它的_，作为积 的一个因式；,指数,注：单项式乘单项式，积为_.,单项式,(1)单项式分别_多项式的每一项；,2.单项式乘多项式：,(2)将所得的积_.,注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数_.,乘以,相加,相同,3.多项式乘多项式：,先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的_，再把所得的积_.,每一项,相加,三、整式的除法,同底数幂相除，底数_,指数_.,1.同底数幂的除法：,am-n,不变,相减,任何不
34、等于0的数的0次幂都等于_.,1,1,2.单项式除以单项式：,单项式相除,把_、_分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的_一起作为商的一个因式.,系数,同底数的幂,指数,3.多项式除以单项式：,多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个，再把所得的商.,单项式,每一项,相加,四、乘法公式,1.平方差公式,两数_与这两数_的积,等于这两数的_.,和,差,平方和,(a+b)(a-b)=_,2.完全平方公式,两个数的和（或差）的平方，等于它们的_，加上（或减去）它们的_的2倍.,平方和,积,五、因式分解,把一个多项式化为几个_的_的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分
35、解，也叫做把这个多项式分解因式.,1.因式分解的定定义,整式,乘积,2.因式分解的方法,(1)提公因式法,(2)公式法,平方差公式：_,完全平方公式：_,a2-b2=(a+b)(a-b),a22ab+b2=(ab)2,考点讲练,例1 下列计算正确的是()A(a2)3a5 B2aa2 C(2a)24a Daa3a4,D,例2 计算：(2a)3(b3)24a3b4.,解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.,解：原式=8a3b6 4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.,幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可以使
36、一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.,1.下列计算不正确的是（）A.2a3 a=2a2 B.(-a3)2=a6 C.a4 a3=a7 D.a2 a4=a82.计算：0.252015（-4）2015-8100 0.5301.,D,解：原式=0.25（-4）2015-（23）100 0.5300 0.5,=-1-（2 0.5）300 0.5=-1-0.5=-1.5；,3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值.(2)比较大小：420与1510.,(2)420=（42）10=1610，,16101510,4201510.,32m-4n=32m34n=(3m
37、)2(32n)2=(3m)2(9n)2=6222=9.,解：(1)3m=6,9n=2,3m+2n=3m32n=3m(32)n=3m9n=62=12.,例3 计算：x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)3x2y,其中x=1,y=3.,解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.,解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)3x2y,=(2x3y2-2x2y)3x2y,当x=1,y=3时，,原式=,整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基
38、础，必须熟练掌握它们的运算法则.整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.,4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为；5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,则这个多项式是.,a-2b+1,6.计算：(1)(2xy2)23x2y(x3y4)(2)x(x23)x2(x3)3x(x2x1)(3)(2a2)(3ab25ab3)8a3b2；(4)(2x5y)(3x2y)2x(x3y)；(5)x(x2y2xy)y(x2x3y)x2y；,解：（1）原式12x7y9,（2）原式x36x,（3）原式2a3b2
39、10a3b3,（4）原式4x217xy10y2,（5）原式2xy2,例4 先化简再求值：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x,其中 x=3,y=1.5.,解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.,原式=3-1.5=1.5.,解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)2x,=(2x2-2xy)2x,=x-y.,当x=3,y=1.5时，,整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.,7下列计算中，正确的是()A(ab)2a22abb2 B(ab)2a2b2C(ab)(a
40、b)b2a2 D(ab)(ab)a2b28已知(xm)2x2nx36，则n的值为()A6 B12 C18 D729若ab5，ab3，则2a22b2_,C,B,38,10计算：,(1)(x2y)(x24y2)(x2y)；(2)(ab3)(ab3)；(3)(3x2y)2(3x2y)2.,解：(1)原式(x2y)(x2y)(x24y2),(2)原式a(b3)(a(b-3),=(x24y2)2=x48x2y216y4；,=a2(b3)2=a2b26b9.,(3)原式(3x2y)(3x2y)2,=(9x24y2)2=81x472x2y216y4,11.用简便方法计算,(1)20024001991992；
41、(2)9991 001.,解：(1)原式(200199)2=1;,(2)原式(10001)(1000+1),999999.,100021,例5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()Aa(xy)axay Bx21(x1)(x1)C(x1)(x3)x24x3 Dx22x1x(x2)1,B,点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；(2)判断过程要从左到右保持恒等变形.,例6 把多项式2x28分解因式，结果正确的是()A2(x28)B2(x2)2 C2(x2)(x2)D2x
42、(x),C,因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.,12.分解因式：x2y22xy1的结果是_13.已知x2y5，xy2，则2x2y4xy2_14.已知ab3，则a(a2b)b2的值为_15.已知x22(m3)x9是一个完全平方式，则m_,(xy1)2,20,9,6或0,16.如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 _.,a2-b2=(a+b)(a-b).,17把下列各式因式分解：,(1)
43、2m(ab)3n(ba)；(2)16x264；(3)4a224a36.,解：(1)原式(ab)(2m3n),(2)原式16(x2)(x2),(3)原式4(a3)2,课堂小结,幂的运算性质,整式的乘法,整式的除法,互逆运算,乘法公式（平方差、完全平方公式）,特殊形式,相反变形,因式分解（提公因式、公式法）,相反变形,见章末练习,课后作业,第十五章 分 式,小结与复习,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,八年级数学上（RJ）教学课件,要点梳理,一、分式,1.分式的概念：,一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.,2.分式有意义的条件：
44、,对于分式：,当_时分式有意义；当_时无意义.,B0,B=0,3.分式值为零的条件：,当_时，分式 的值为零.,A=0且 B0,4.分式的基本性质：,5.分式的约分：,约分的定义,根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分,最简分式的定义,分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式,注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.,约分的基本步骤,(1)若分子分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；(2)若分子分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子分母所有的公因式,6.分式的通分：,分式的通分的
45、定义,根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.,最简公分母,为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.,二、分式的运算,1.分式的乘除法则：,2.分式的乘方法则：,3.分式的加减法则：,(1)同分母分式的加减法则：,(2)异分母分式的加减法则：,4.分式的混合运算：,先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.,计算结果要化为最简分式或整式,三、分式方程,1.分式方程的定义,分母中含未知数的方程叫做分式方程.,2.分式方程的解法,(1)在方程的两边都
46、乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.,3.分式方程的应用,列分式方程解应用题的一般步骤,(1)审:清题意，并设未知数；(2)找:相等关系；(3)列:出方程；(4)解:这个分式方程；(5)验:根（包括两方面:是否是分式方程的根；是否符合题意）；写:答案.,例1 如果分式 的值为0，那么x的值为.,【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0,解得x=1.当x=
47、-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 0.,【答案】1,考点讲练,分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.,2.如果分式 的值为零，则a的值为.,2,1.若分式 无意义，则a的值.,-3,B,例2 如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（）,A.扩大为原来的3倍 B.不变C.缩小为原来的 D.缩小为原来的,C,3.下列变形正确的是(),例3 已知x=,y=，求 值.,【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.,把x=,y=代入得,解：原式=,原式=,对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们
48、可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.,4.有一道题：“先化简，再求值:,其中”.小玲做题时把 错抄成,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?,解:,所以结果与x的符号无关,例4,解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显然现在解不出a的值，如果将 的分子、分母颠倒过来，即求 的值，再利用公式变形求值就简单多了,利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁,5.已知x
49、2-5x+1=0,求出 的值.,解：因为x2-5x+1=0,得 即,所以,例5 解下列分式方程：【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解解：（1）去分母得x+1+x1=0，解得x=0，经检验x=0是分式方程的解；（2）去分母得x4=2x+23，解得x=3，经检验x=3是分式方程的解,解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根,解：最简公分母为（x+2）（x2），去分母得（x2）2（x+2）（x2）=16，整理得4x+8=16，解得x=2，经检验x=2是增根，故原分式方程无解,例6 从广州到某市
50、，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍(1)求普通列车的行驶路程；,解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；,解：(1)根据题意得4001.3520(千米)答：普通列车的行驶路程是520千米；,(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度,解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可,解：设普通列车的
