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1、,第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.（重点）2.能正确表示两个全等三角形，能找准全等三角形的对应边、对应角.（难点）3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.,学习目标,新课导入,观察下列几组图形，他们的形状和大小有什么特点？,新课导入,你能举出一些生活中的形状大小都相同的例子吗？,新课讲解,知识点1 全等形,判断下列两组图形是不是全等形？,不是。形状不同，大小不等,不是。形状相同，大小不等
2、,新课讲解,知识点1 全等形,将ABC沿直线BC平移得到DEF，两个三角形之间有什么关系？,1、ABC与DEF大小相等.2、ABC与DEF形状相同.3、ABC与DEF完全重合.,新课讲解,知识点1 全等形,将ABC沿直线BC翻折180得到DBC，两个三角形之间有什么关系？,1、ABC与DEF大小相等.2、ABC与DEF形状相同.3、ABC与DEF完全重合.,新课讲解,知识点1 全等形,将ABC绕点A旋转，得到ADE，两个三角形之间有什么关系？,1、ABC与DEF大小相等.2、ABC与DEF形状相同.3、ABC与DEF完全重合.,新课讲解,知识点2 全等三角形,对应顶点：点A与点D，点B与点E，
3、点C与点F.对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF.对应角：A与D，B与E，C与F.,全等三角形中的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.,新课讲解,知识点2 全等三角形,全等三角形的表示：全等用符号“”表示，读作“全等于”.ABC与DEF全等，记作ABCDEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”.注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上.,如果两个三角形全等，它们的对应边、对应角有怎样的大小关系？,新课讲解,1 如图，ABNACM，B、C是对应角，AB和AC是对应边，写出其他对应边及对应角.,解：对应边：AN和AM，
4、BN和CM.对应角：ANB和AMC，NAB和MAC.,新课讲解,知识点3 全等三角形的性质,如图，ABCDEF，AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）.A=D，B=E，C=F（全等三角形的对应角相等）.,新课讲解,2 如图，ABDEBC，如果AB=3cm，BC=5cm，D=30，求BE，BD的长和C的度数.,解：ABDEBC，AB=EB，BD=BC（全等三角形对应边相等），D=C（全等三角形对应角相等）.AB=3cm，BC=5cm，D=30，BE=3cm，BD=5cm，C=30.,新课讲解,观察下列3组全等三角形的对应边和对应角，你能得出什么结论？,ABCDCB,ABCA
5、DE,ABCADE,新课讲解,对应边：AB=DC，AC=DB，BC=CB.对应角：A=D，ABC=DCB，ACB=DBC.,对应边：AB=AD，AC=AE，BC=DE.对应角：B=D，C=E，BAC=DAE.,对应边：AB=AD，AC=AE，BC=DE.对应角：A=A，C=E，ABC=ADE.,新课讲解,1、全等三角形中，公共边一定是对应边.2、全等三角形中，公共角一定是对应角.3、全等三角形中，对顶角一定是对应角.4、全等三角形中，最长的边与最长的边是对应边，最短的边与最短的边是对应边，最大的角与最大的角是对应角，最小的角与最小的角是对应角.,知识点3 全等三角形的性质,新课讲解,5、对应角
6、的对边为对应边，对应边的对角为对应角.6、全等三角形中，对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等.（面积相等的三角形不一定是全等三角形，周长相等的三角形也不一定是全等三角形）,知识点3 全等三角形的性质,新课讲解,下列各组图形是全等形的是（）,1,D,新课讲解,有下列说法：只有两个三角形才能完全重合；如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同；两个正方形一定是全等形；边数相同的图形一定能够重合.其中错误说法的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1,2,错.形状大小相同的图形均能完全重合,对,错，形状相同，大小不一定相同,错，形状大小都不一定相同,B,新课讲解,
7、如图，OCAOBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角.,3,解：OCAOBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点，OC=OB，OA=OD，CA=BD，A=D，C=B，COA=BOD.,新课讲解,如图，ABCDEF，若A=100，F=46，则DEF等于（）A.100 B.54 C.46 D.34,4,：ABCDEF，A=D，C=F.A=100，D=100.在DEF中，F=46，D=100，DEF=180-F-D=34.,分析,课堂小结,全等三角形,用全等符号“”表示,表示方法,有关概念,对应顶点、对应边、对应角,性质,对应边相等、对应角相等,定义,能够完全重合的两个
8、三角形,当堂小练,1.判断题：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.（）(2)全等三角形的周长相等，面积也相等.（）(3)面积相等的三角形是全等三角形.（）(4)周长相等的三角形是全等三角形.（）,当堂小练,（2）如图，ABCADE，则AB=_，E=_若BAE=120，BAD=40，则BAC=_.,AD,C,80,分析：ABCADE，BAC=DAE DAE=BAE-BAD DAE=120-40=80 BAC=80,当堂小练,（3）在ABC中，B=C，与ABC全等的三角形有一个角是100，那么在ABC中与100角对应相等的角是（）A.AB.B C.CD.B或C,分析：ABC为等腰三角形，等腰
9、三角形的底角不可能为钝角。所以A=100,A,D,拓展与延伸,解：（1）BADACE，BD=AE，AD=CE.AE=AD+DE，BD=AD+DE=DE+CE.（2）当BAD满足ADB=90时，BD/CE.理由如下：BADACE，ADB=CEA.若ADB=90，则CEA=90，BDE=90.BDE=CEA，BD/CE.,如图，点A、D、E在同一条直线上，且BADACE.（1）试说明BD=DE+CE；（2）BAD满足什么条件时，BD/CE？并说明理由.,第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时一 用“边边边”判定三角形全等,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新
10、课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.理解并掌握三角形全等判定“边边边”条件的内容.（重点）2.熟练利用“边边边”条件证明两个三角形全等.（难点）3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.,学习目标,新课讲解,画出ABC和ABC，使得满足仅有一条边相等或者仅有一个角相等，此时的ABC和ABC全等吗？,1、只有一条边相等的情况：,2、只有一个角相等的情况：,新课讲解,画出ABC和ABC，使得满足有两个相等条件，此时的ABC和ABC全等吗？,1、有2条边相等的情况：,新课讲解,画出ABC和ABC，使得满足有两个相等条件，此时的ABC和ABC全等
11、吗？,2、有两个角对应相等的情况：,新课讲解,画出ABC和ABC，使得满足有两个相等条件，此时的ABC和ABC全等吗？,3、有一条边和一个角分别对应相等的情况：,新课讲解,画出ABC和ABC，使得满足有3个相等条件，此时的ABC和ABC全等吗？,1、有三条边对应相等的情况.2、有两条边和一个角对应相等的情况.3、有一条边和两个角对应相等的情况.4、有三个角对应相等的情况.,新课讲解,先画出一个ABC，再画出一个ABC，使得AB=AB，BC=BC，CA=CA，此时的ABC和ABC全等吗？,画法：（1）画线段BC=BC；（2）分别以BC为圆心，BA，BC为半径画弧，两弧交点为A；（3）连接线段AB
12、，AC.,通过画图，你能得出什么样的结论？,新课讲解,知识点1 全等形的判定1,新课讲解,1 在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.求证ABCABC.,证明：点D是BC的中点，BD=CD.在ABC和ABC中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，ABCABC（SSS）.,AD 称为公共边.,新课讲解,如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证ACDCBE.,1,新课讲解,知识点2 作一个角等于已知角,新课讲解,知识点2 作一个角等于已知角,（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；,（3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第（
13、2）步中所画的弧相交于点D；,新课讲解,知识点2 作一个角等于已知角,新课讲解,工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别截取OM=ON.移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线，为什么？,新课讲解,如图，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？试说明理由.,其中BC是两个三角形的公共边.,新课讲解,如图，点D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，利用“SSS”判定，要使ABFECD，还需要增加条件（）.,BF=CD 或 BD=CF,方法2 解：BD=CF，BD+DF=CF+DF.
14、在ABF和ECD中，AB=CE，AF=ED，BF=CD，ABFECD（SSS）.,方法1 解：在ABF和ECD中，AB=CE，AF=ED，BF=CD，ABFECD（SSS）.,课堂小结,三角形全等的判定,三边分别相等的两个三角形全等,SSS,尺规作图,作一个角等于已知角,应用,利用“SSS”解决实际问题,分类探讨,只满足一个条件或者两个条件时不能判定三角形全等,当堂小练,已知：如图，AC=FE，AD=FB，BC=DE.求证：AC/EF，DE/BC.,当堂小练,如图，AB=AD，DC=BC，求证B=D.,解：在ABC和ADC中，AB=AD，BC=DC，AC=AC，ABCADC（SSS）.B=D.
15、,当堂小练,如图，ABC中，AB=AC，EB=EC，则由SSS可以判定（）A.ABDACDB.ABEACEC.BDECDED.以上答案都不对,B,D,拓展与延伸,解：作图如图所示：作法：（1）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点 D，E；（2）以点 C 为圆心，OD 长为半径画弧，交OB 于点 F；（3）以点 F 为圆心，DE 长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点 P；（4）过C，P 两点作直线，直线 CP 即为要求作的直线.,已知AOB，点C是OB边上的一点，用尺规作图，画出经过点C与OA平行的直线.,第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时二 用“边角
16、边”判定三角形全等,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.理解并掌握三角形全等判定“边角边”条件的内容.（重点）2.熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等.（难点）3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.,学习目标,新课讲解,画出ABC和ABC，使得满足有两条边和一个角对应相等的条件，此时的ABC和ABC全等吗？,1、角夹在两条边的中间，形成两边夹一角的情况.2、角不夹在两条边的中间，形成两边及其中一边对角的情况.,两种情况是否都能判定两个三角形全等？你能具体说明吗？,新课讲解
17、,先画出一个ABC，再画出一个ABC，使得AB=AB，A=A，AC=AC（即两边及其夹角分别相等），此时的ABC和ABC全等吗？,画法：（1）画DAEA；（2）在射线AD上截取ABAB，在射线AE上截取ACAC；（3）连接BC.,通过画图，你能得出什么样的结论？,D,新课讲解,知识点1 全等形的判定2,新课讲解,1 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使得CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？,新课讲解,新课讲解,如图，两车从南北方向的路段A
18、B的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？,新课讲解,先画出一个ABC，再画出一个ABC，使得AB=AB，B=B，AC=AC（即两边及其中一边的对角分别相等），此时的ABC和ABC全等吗？,新课讲解,判断下列结论的对错.（1）有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等.（2）如图，AD=BC，要根据“SAS”判定ABDBAC，还需要添加的条件是（D=C）.（3）“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.,错，两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.,错，需要添加DAB=CBA,对,新课讲解,新课讲解,如图，已知AC平分BAD，
19、AB=AD.求证：ABCADC.,课堂小结,两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,SAS,应用,利用“SAS”解决实际问题,分类探讨,两边及其夹角分别相等两边及其中一边的对角分别相等,三角形全等的判定,当堂小练,如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C.求证：A=D.,当堂小练,如图，AB=AC，利用“SAS”判定ADCAEB，需要添加什么条件，请证明你的结论.,当堂小练,如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB/DE，AB=DE，AF=DC.求证：BC/EF.,D,拓展与延伸,解：DE=BF，DE/BF.在ADC和CBA中，CD=AB，DA=BC，AC=CA，ADCCBA（
20、SSS）.DAC=BCA.,如图，已知AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AE=CF，写出DE和BF之间的关系，并证明你的结论.,第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时三 用“两角一边”判定三角形全等,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.理解并掌握三角形全等判定“角边角、角角边”条件的内容.（重点）2.熟练利用“角边角、角角边”条件证明两个三角形全等.（难点）3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.,学习目标,新课讲解,先任意画出一个ABC，再画一个
21、ABC，使得AB=AB，A=A，B=B（即两角和它们的夹边分别相等）.此时的ABC和ABC全等吗？,画法：1、画AB=AB.2、在AB的同旁画DAB=A EBA=B，AD，BE相交于点C.3、ABC即为所作三角形.,通过画图，你能得出什么样的结论？,新课讲解,如图，ABC就是所求作的三角形.将原来的ABC和ABC叠加在一起，能否完全重合？,新课讲解,知识点1 全等形的判定3,新课讲解,1 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，B=C.求证：AD=AE.,新课讲解,2 如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF.求证：ABCDEF.,你是不是这样证明的，错在哪里？,新课讲解,2
22、 如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF.求证：ABCDEF.,分析：BC，EF不是已知两对角的夹边，在三角形中，知道两个角的关系，利用三角形内角和定理可以求得第三个角之间的关系.通过转化来构造“ASA”的判定条件.,新课讲解,如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF.求证：ABCDEF.,新课讲解,如图，ABBC，ADDC，垂足分别为点B，点D，1=2.求证：AB=AD.,分析：图中的两个三角形有公共边AC，有一对角相等可以选择“SAS”或者“ASA”.根据题意，有ABBC，ADDC，则构成ABC=ADC=90.可以选择“ASA”，需要将已知角转化成两角及其夹边，即
23、可求证.,新课讲解,如图，ABBC，ADDC，垂足分别为点B，点D，1=2.求证：AB=AD.,新课讲解,如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？,分析：根据题意构造出两个直角三角形，利用全等三角形的性质得出对应边相等.注意题目中隐藏一对对顶角，根据“ASA”证明两个三角形全等即可得出题目要求的结论.,新课讲解,如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与
24、A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？,新课讲解,如下图，已知B=D，DC=BC，还需要给出什么条件，即可用学过的判定得出ABCEDC.根据哪个判定？,（1）条件（），根据（）.（2）条件（），根据（）.,AB=ED,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,ACB=ECD,两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,新课讲解,两角分别相等且其中一组等角的对边相等，这样的两个三角形全等吗？,在ABC和ABC中，使得AB=AB，C=C，B=B.此时的ABC和ABC全等吗？,请选用已经学过的全等三角形的判定来证明ABC和ABC全等.,新课讲解,已知，在ABC和ABC中，AB=AB，C=C
25、，B=B.证明ABCABC.？,新课讲解,知识点1 全等形的判定4,要按照”角角边“的顺序书写.,新课讲解,1 如图，在ABC和ADC中，B=D=90，BAC=DAC.求证：ABCADC.,新课讲解,如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？,分析：利用三角形全等的性质说明AB=AC.AB，AC分别在AEB和ADC中，则需要证明AEBADC.题目中已有一边和两角相等，可以考虑选择“ASA”或者“AAS”，将1=2转化成AEB 和ADC中相等的角即可.,新课讲解,如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？,新课讲解,有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？,“ASA
26、”和“AAS”之间有什么关系？,你能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？,新课讲解,新课讲解,如图，点O是AB的中点，C=D，则AOC和BOD全等吗？请用两种方法证明.,新课讲解,如图，点O是AB的中点，C=D，则AOC和BOD全等吗？请用两种方法证明.,新课讲解,已知，如图，点E是AC上一点，AB=CE，AB/CD，ACB=D.求证：BC=ED.,课堂小结,两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,ASA,应用,利用“ASA、AAS”解决实际问题,分类探讨,两角及其夹边分别相等两角及其中一角的对边分别相等,三角形全等的判定,AAS,两角和其中一组角的对边分别相等的两个三角形全等,对
27、比探究,对比“ASA”和“AAS”的区别和联系,当堂小练,如图，已知1=2，C=D.求证：AC=AD.,当堂小练,如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE/AB，B=DAE.求证：ABCDAE.,为你支招：有平行线就可以转化出相等的角.,当堂小练,如图，在RtABC中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（）cm.,分析：题目中已经给出一对边相等，可以选择“SSS”，“SAS”或者“ASA”.根据题意的垂直关系可以转化出相等的角，所以本题选择“ASA”.利用好垂直关系和余角定理是解决本题的关键
28、.,当堂小练,如图，在RtABC中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（）cm.,3,当堂小练,如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，A=D，AC/DF.求证：（1）ABCDEF.（2）BE=CF.,（2）ABCDEF，BC=EF.BC-EC=EF-EC，即BE=CF.,等边加（减）等边，其和（差）还是等边，等角加（减）等角，其和（差）还是等角.,D,拓展与延伸,如图，已知1=2，E=C，AC=AE.求证：AB=AD，B=D.,分析：等角加等角，其和仍然是等角；同理，等角减等角，
29、其差仍然是等角.利用题目中已经给出的角转化出新的相等的角，从而证明三角形全等，利用全等的性质得出对应角相等，对应边相等.,D,拓展与延伸,如图，已知1=2，E=C，AC=AE.求证：AB=AD，B=D.,D,拓展与延伸,如图，已知AD是BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要AEDAFD，可添加一个什么条件？并给予证明.,已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“SAS”.,D,拓展与延伸,如图，已知AD是BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要AEDAFD，可添加一个什么条件？并给予证明.,已有一边和一角分别相等，可以构造一角相等选择“ASA”.,D,拓展与延伸,如图，已知A
30、D是BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要AEDAFD，可添加一个什么条件？并给予证明.,已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“AAS”.,第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时四用“斜边、直角边”判定直角三角形全等,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.理解并掌握直角三角形全等判定“斜边、直角边”条件的内容（重点）2.熟练利用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等.（难点）3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.,学习目标,新课讲解,两个直角
31、三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就可以说明两个三角形全等？,由已经学过的三角形全等的判定可知，满足“一边一锐角分别相等”或者“两直角边分别相等”就可以借助“ASA”，“AAS”或者“SAS”证明.,如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？,新课讲解,任意画出一个RtABC，使C=90.再画一个RtABC，使得C=90，BC=BC，AB=AB.试问RtABC和RtABC全等吗？,画法：（1）画MCN=90；（2）在射线CM上截取BC=BC；（3）以点B为圆心，AB为半径画弧，交射线CN于点A；（4）连接AB.,新课讲解,知识点1 全等形的判定5,要按照”角角边
32、“的顺序书写.,新课讲解,新课讲解,1 如图，ACBC，BDAD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证：BC=AD.,新课讲解,如图，AB=CD，AEBC，DFBC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证：AE=DF.,等边加（减）等边，其和（差）还是等边，等角加（减）等角，其和（差）还是等角.,新课讲解,已知，在RtABC和RtABC中，C=C=90，有如下几个条件：AC=AC，A=A；AC=AC，AB=AB；AC=AC，BC=BC；AB=AB，A=A.其中，能判定RtABCRtABC的条件的个数为（）.A.1 B.2 C.3 D.4,根据已经学过的5种判定方法：“SSS”“SAS”、“ASA”、
33、“AAS”、“HL”，并结合题目中的已知条件进行判断.,新课讲解,在RtABC和RtABC中，A=A，AC=AC，C=C，RtABCRtABC（ASA）.AB=AB，AC=AC，RtABCRtABC（HL）.,新课讲解,在RtABC和RtABC中，AC=AC，C=C，BC=BC，RtABCRtABC（SAS）.A=A，C=C，AB=AB，RtABCRtABC（AAS）.,课堂小结,根据已知条件选择适合证明两个直角三角形全等的方法,对比探究,应用,利用“HL”解决实际问题,HL,斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,三角形全等的判定,当堂小练,如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，
34、以相同的速度分别沿着两条直线行走，并同时到达D，E两地.DAAB，EBAB.D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？,当堂小练,如图，在ABC中，AB=CB，ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.求证：ABECBF.,当堂小练,如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AEBC，DFBC，AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.,D,拓展与延伸,如图，在RtABC中，C=90，AC=10cm，BC=5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直AC的射线AM上运动，且PQ=AB.当点P运动到AC上什么位置时，ABC与QPA全等？,分析：ABC和QPA是直角
35、三角形，题目中已经有一边相等.因为AB，PQ分别为RtABC和RtQAP的斜边，可以令“BC=AP”，选择“HL”.因为AB，PQ分别为RtABC和RtQAP的斜边，可以令“AC=AP”，选择“HL”.,D,拓展与延伸,D,拓展与延伸,第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 课时一 角平分线的性质,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点）2.探究并证明角平分线的性质.（难点）3.会用角平分线的性质解决实际问题.,学习目标,新课讲解,如图是
36、一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？,理由如下：如图构成了ADC和ABC，在ADC和ABC中，AD=AB，AC=AC，DC=BC，ADCABC（SSS），DAC=BAC.点C在射线AE上，AE是这个角的平分线.,新课讲解,知识点1 作已知角的平分线,如图，已知：AOB.求作：AOB 的平分线.,作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M.（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC，射线O
37、C即为所求.,新课讲解,知识点1 作已知角的平分线,如图，已知：AOB.求作：AOB 的平分线.,（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.（2）“以大于 MN的长为半径画弧”是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于 MN的长为半径画弧时不容易操作.,新课讲解,知识点1 作已知角的平分线,如图，已知：AOB.求作：AOB 的平分线.,（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.（4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.,新课讲解,如图，任意作一个角AOB，作出AO
38、B的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.,经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论.,新课讲解,知识点2 角平分线的性质,（1）“点”是指角的平分线上任意位置的点；（2）“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度.,几何表示：如图，OC是AOB的平分线，点P是OC上一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E.PD=PE.,新课讲解,如图，AOC=BOC，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E.求证：PD=PE.,新课讲解,证明几何命题的一般
39、步骤.（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程.,（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等.,新课讲解,1 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等.,需要先将命题改写成”如果那么“的形式，然后确定已知和求证.,新课讲解,已知，如图所示，AD为ABC的中线，且CFAD于点F，BEAD交AD的延长线于点E.求证：BE=C
40、F.,证明：AD为ABC的中线，BD=CD.CFAD，BEAD交AD的延长线于点E，BED=CFD=90.在BED和CFD中，BED=CFD，BDE=CDF，BD=CD，BEDCFD（AAS），BE=CF.,新课讲解,填空：下列结论一定成立的是（）如图1，OC平分AOB，点P在OC上，D，E分别为OA、OB上的点，则PD=PE.如图2，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，则PD=PE.如图3，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3.,新课讲解,如图1，OC平分AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE（PD
41、、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）.如图2，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，则PD=PE（OC不是AOB的平分线）.如图3，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3（PD是AOB平分线OC上的点到OA的距离）.,新课讲解,如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC.,证明：AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DE=DF.在RtBDE和RtCDF中，BD=CD，DE=DF，RtBDERtCDF（HL）.EB=FC.,课堂小结,角的平分线上的点到角的两边
42、的距离相等,性质,应用,利用角平分线的性质解决实际问题,角平分线的做法,会用尺规作图法画出一个已知角的平分线,角平分线的性质,当堂小练,如图，OP为AOB 的平分线，PCOA，PDOB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（）A.PC=PD B.CPO=DOP C.CPO=DPO D.OC=OD,B,当堂小练,如图，在ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB，垂足为E，若AB=8cm，则DEB 的周长为（）A.10cm B.7cm C.8cm D.不能确定,C,D,拓展与延伸,如图，点D、B分别在MAN的两边上，C是MAN内一点，AB=AD，BC=CD，CEAM于
43、E，CFAN于F.求证：CE=CF.,第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 课时二 角平分线的判定,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.探究并证明角的平分线的判定.（重点）2.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.,学习目标,新课讲解,如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？,作出公路和铁路相交的角的平分线，按照比例尺的比例在该平分线上选取离交叉口处500
44、m的位置即可建集贸市场.,到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？,新课讲解,知识点1 角平分线的判定定理,（1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部；（2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.,几何表示：如图，点P是AOB内的一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，且PD=PE，点P在AOB的平分线OC上.,新课讲解,知识点1 角平分线的判定定理,如图，点P是AOB内的一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：点P在AOB的平分线OC上.,证明：PDOA，PEOB，PEO=PDO=90.在RtPEO和RtPDO中，PE=PD，PO=PO，RtPE
45、ORtPDO（HL）.AOC=BOC.点P在AOB的平分线OC上.,新课讲解,知识点2,正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.,新课讲解,知识点3,分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？,三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.,新课讲解,知识点3,过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什么结论？,新课讲解,知识点3,如图，ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证：点P 到ABC 三边AB，BC，CA的距离相等.,证明：
46、过点P作PMBC，PNAC，POAB，垂足分别为点M，N，O.,AD为ABC的角平分线，PN=PO.BE为ABC的角平分线，PM=PO.CF为ABC的角平分线，PM=PN.PM=PN=PO，即点P到ABC三边AB、BC、CA的距离相等.,新课讲解,知识点3,三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点.,新课讲解,1、判断题：（1）如图1，若QM=QN，则OQ平分AOB.（）（2）如图2，若QMOA于点M，QNOB于点N，则OQ平分AOB.（）,新课讲解,如图，P是ABC外部一点，PDAB，交AB的延长线于
47、点D，PEAC，交AC的延长线于点E，PFBC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：点P在DBC的平分线上；点P在BCE 的平分线上；点P在BAC 的平分线上.其中说法正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3,D,新课讲解,如图，BE=CF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F且DB=DC.求证：AD是BAC的平分线.,新课讲解,如图，BE=CF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F且DB=DC.求证：AD是BAC的平分线.,证明：DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，BED=CFD=90.在RtBDE和RtCDF中，BE=CF，DB=DC，RtBDERtCDF（HL
48、）.DE=DF.点D在BAC的平分线上，即AD是BAC的平分线.,课堂小结,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,判定定理,应用,综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题,学会用添加辅助线的方法解题,角平分线的判定,当堂小练,如图，O是ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若BAC=70，则BOC=（）.,当堂小练,如图，O是ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若BAC=70，则BOC=（）.,证明：OF=OD=OE，OB、OC分别平分ABC和ACB.BAC=70，ABC+ACB
49、=180-BAC=110.OBC+OCB=（ABC+ACB）=55.BOC=180-（OBC+OCB）=125.,125,当堂小练,如图，在四边形ABCD中，ADC+ABC=180，BC=DC，CEAD，交AD的延长线于点E，CFAB于点F.求证：AC平分BAD.,当堂小练,如图，在四边形ABCD中，ADC+ABC=180，BC=DC，CEAD，交AD的延长线于点E，CFAB于点F.求证：AC平分BAD.,证明：ADC+ABC=180，ADC+EDC=180，ABC=EDC.CEAD，CFAB，CED=CFB=90.在BCF和DCE中，CFB=CED，FBC=EDC，BC=DC，BCFDCE（AAS）.CF=CE，即AC平分BAD.,D,拓展与延伸,如图，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC.求证：AE是DAB的平分线.,D,拓展与延伸,如图，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC.求证：AE是DAB 的平分线.,证明：过点E作EFAD于点F，B=C=90，DCEC，EBAB.DE平分ADC，EC=EF.E是BC的中点，EC=EB.又EFAD，EBAB，点E在BAD的平分线上，即AE是DAB的平分线.,F,
