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1、第三章 函数,3.1函数的概念及表示法,授课教师:游彦,我们学过哪些函数？,一、复习回顾,设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.,初中函数定义：,请同学们考虑以下两个问题：,在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数,函数,对应法则,自变量,定义域,函数值当x=x0时，函数y=f(x)所对应的值y0=f(x0),值域函数值的集合yy=f(x),xD,一般地，设A,B是两
2、个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y和它 对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数（function）,通常记为,其中,x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；,与x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域（range）.,函数的概念,非空的数集,某种确定的对应关系f,唯,对应,每一,个,一,函数概念的理解1,明确三个关键点（又称三要素）：两个非空集合即定义域（自变量x的取值范围）与值域（与每一个x值对应的所有y值的取值范围）；对应关系.,A,B,f,1,2,2,4,
3、3,6,可以是一对一也可是多对一，关键把握好集合B中元素的唯一性。,4,理解概念2：对对应关系的进一步理解,任务一：能利用函数的定义判断一些对应是否构成函数关系,1.判断下列对应是否为数集A到数集B的一个函数：,(1)A=1,2,3,4,5，B=2,4,6,8，f(x)=2x.,(2)A=1,2,3，B=7,8,9，f(1)=f(2)=7，f(3)=8,是,不是,是,不是,是,2.,任务一：能利用函数的定义判断一些对应是否构成函数关系,3.下列数集之间的对应，哪些不是函数？哪些是函数？,任务一：能利用函数的定义判断一些对应是否构成函数关系,任务一：能利用函数的定义判断一些对应是否构成函数关系,
4、分析如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得代数式有意义的自变量的取值集合,分析本题是求自变量x=x0时对应的函数值，方法是将x0代入到函数表达式中求值.,例3、已知函数f(x)=2x2+3x+1,求f(1),f(f(-2),f(2t)分析：将1,f(-2),2t依次代入函数的解析式中.解：f(1)=212311=6.f(-2)=2(-2)23(-2)1=3 f(f(-2)=f(3)=232331=28.f(2t)=2(2t)2 32t1=8t2 6t1.,.,分析 定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数.,对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，y才是x的函数。,解
5、:1 y是x的函数。2、y是x的函数。3、y不是x的函数。4、y是x的函数.,例6.下列图象中不能作为函数的是().,（A）,（B）,（C）,（D）,B,任意的xA，存在唯一的y与之对应,例7.判断下列对应能否表示y是x的函数,（1）y=|x|（2）|y|=x（3）y=x2（4）y2=x,(1)能,(2)不能,(3)能,(4)不能,例8.已知f(x)=3x2,x0,1,2,3,5，,求f(0),f(3)和函数的值域.,解：,值域为,练习1：下列数集之间的对应，哪些不是函数，哪些是函数？,练习2：,已知集合,下列M到P的各种对应中，不是函数的是（）,练习3：判断下列图象能表示函数图象的是（）,D
6、,练习4：,C,练习5 判断下列函数组表示同一个函数的是(),作业：,1、下列数集之间的对应，哪些不是函数，哪些是函数？,2、下列函数与函数 是同一个函数吗？说明理由。,(a是实数常数),1.某城市2008年8月16日至8月25日的日最高气温统计表：,表示函数的方法是：.它的优点是：.,列表法,不需 计算，自变量的值与函数值一目了然,2.天津市温度自动记录仪记录的气温时段图：,表示函数的方法是：.它的优点是：.,直观形象地表示自变量和函数值变化的趋势,图像法,3.用 S 来表示半径为r的圆的面积，则S=r2这个公式清楚地反映了半径r与圆的面积S之间的函数关系，这里函数的定义域为R+,表示函数的
7、方法是：.他的优点是：.,简明、全面地概括了变量间的关系,解析法,.,下面的表格是某商家销售计算机的统计表，你能从表格中得到哪些信息？,类似的,在生活中你还见过哪些表格？,.,类似的,在生活中你还见过哪些图像？,下面是某商店一年的销售额随季度的变化曲线，你能从表格中得到哪些信息？,.,在匀速直线运动中，位移与时间之间有确定的依赖关系，比如当速度为5m/s时，位移s=5t.,正方形的周长C和边长a之间也有类似的依赖关系，能写出它们的函数关系式吗？,.,解（1）关系式y=0.12 x就是函数的解析式，故函数的解析法表示为 y=0.12 x，x 1,2,3,4,5,6,例 文具店内出售某种铅笔，每支
8、售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数,.,例 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数,解（2）依照售价，分别计算出购买1-6支铅笔所需款数，列成下面的表格，即为函数的列表法表示,.,解:（3）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12）、（2，0.24）（3，0.36）、（4，0.48）、（5，0.6）、（6，0.72），则函数的图像法表示如图所示,例 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，
9、应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数,.,分析 按照“描点法”的步骤进行,.,P49/A组 4、作出各函数的图像：（1）y=2x+1，x-1,0,1,2,3解：x、y的函数关系列表如下：画函数图像如下：y 7 6 5 4 3 2 1-1 0 1 2 3 4 x-1,习题解答,习题解答,(2)y=2-x,x0,2解：列表 画图 y 2 1 0 1 2 x,P50/A组（3）一根弹簧不挂重物是长12CM，挂重物后伸长的长度与所管重物的质量成正比的函数。解：设弹簧总长为y（单位：cm），所挂重物x（单位：kg），弹簧的弹性系数为k，则变化的函数解析式
10、为：y=kx+12，（k为任意正数，xx/0 x限重）y(cm)12 0 限重 x(kg),弹簧挂重物不能超过弹性限度！,P50/B组 A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡、从A城往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？（提示：可以把调运总费用看成运往某地肥料数量的函数）,解：设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200 x）吨，则B城运往C的肥料量为（240 x）吨，B城运往D乡的肥料量260（20
11、0 x）=（60+x）吨 由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间的函数关系为：y=20 x+25（200 x）+15（240 x）+24（60+x）化简得y=4x+10040（0 x200）由解析式和图象可看出：当x=0时，y的最小值10040 即：从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元,1解析法,数学表达式,y10 x，x1,2,3,4,用_表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式练习 1：某种钢笔的单价是 10 元，买 x(x1,2,3,4)支钢笔需要 y 元，
12、则 y 关于 x 的函数表达式为_,_.,57,习题,2图象法,横坐标,纵坐标,图象,以自变量x的取值为_，对应的函数值y为_，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数yf(x)的图象，这种用_表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法,【问题探究】1已知 f(x)x2x1，则 f(x1)_.2已知 f(x1)x2x1，则 f(x)_.,x2x1,x23x3,x1,题型 1,作函数的图象,【例 1】作出下列函数的图象：(1)y2x1(xZ)；(2)yx22x2(0 x3)；(3)y|x1|；,(4)y,x,.,思维突破：作函数的图象，首先应分析函数定义域，在定义域内对解析式进行化简作函数
13、的图象一般有两种思路：一是利用描点法；二是转化为基本函数，利用基本函数图象作复杂函数的图象,解：(1)函数定义域为 xZ，这个函数的图象是直线,y2x1 上的所有整点如图 D8(1),(2)0 x3，这个函数的图象是抛物线 yx22x2,在 0 x3 之间的一段曲线如图 D8(2),图 D8,先观察函数的定义域，在定义域内化简函数式，转化为熟悉的函数，然后利用列表描点法或利用基本函数图象去作复杂函数的图象,【变式与拓展】1(2013 年湖北)小明骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.,),与以上事件吻合得最好的图象是(A,B,C,D,解析：时间越
14、长，离学校越远，A 显然错误；途中因交通堵塞停留了一段时间，距离不变，D 错误；开始时匀速行驶，后为了赶时间加快速度行驶，后面的直线应该陡一些故选 C.答案：C,题型 2,待定系数法求函数的解析式,【例 2】已知二次函数 yf(x)的最大值为 13，且 f(3)f(1)5，求 f(x)的解析式解：方法一：利用二次函数的一般式求解设 f(x)ax2bxc(a0)由条件知，点(3,5)，(1,5)，(1,13)在 f(x)的图象上，,f(x)2x24x11.,方法二：利用二次函数的顶点式求解由 f(3)f(1)，可知：对称轴为 x1，又最大值为 13，故可设 f(x)a(x1)213.将 x3，f
15、(x)5 代入，得 a2.f(x)2(x1)213，即 f(x)2x24x11.,对于求二次函数解析式的问题，应注意已知条,件，选择恰当的待定形式,【变式与拓展】2已知 f(x)是一次函数，且 ff(x)4x3，求 f(x)的解析式解：设 f(x)axb，则 ff(x)f(axb)a2xabb.a2xabb4x3.,故所求的函数为 f(x)2x1 或 f(x)2x3.,题型 3,换元法求函数的解析式,【例 3】已知 f(x1)x21，求 f(x)的解析式解：方法一：f(x1)x21(x1)22x2(x1)22(x1)，令 tx1，则有 f(t)t22t，故 f(x)x22x.方法二：令 x1t
16、，则 xt1.代入原式，有 f(t)(t1)21t22t，所以 f(x)x22x.,【变式与拓展】,3设 f(x2)2x3，则 f(x)(,),B,A2x1C2x3,B2x1D2x7,题型 4,赋值法求函数的解析式,本题是通过赋值法构造方程组，通过变量替换,【变式与拓展】,的值易错分析：没有理解分段函数的意义，f(3)的自变量是 3，应代入 f(x2)中去，而不是代入 x5 中,解：f(x),x5(x6)，f(x2)(x6)，,f(3)f(32)f(5)f(52)f(7)752.,方法规律小结1函数图象,(1)在直角坐标系下，判断一个曲线是不是某函数的图象，只需验证过曲线上任一点作垂直于 x 轴的直线，若此直线与图象有唯一的交点，则曲线是函数的图象,(2)作函数图象的方法：,描点作图法：其步骤是列表、描点和连线三大步，作图,时要考虑定义域，必须在定义域内作图；,图象变换法：利用基本初等函数的图象，通过平移、旋转等变换作出所求图象，这是在画草图时常用到的重要方法2在函数 f(x)中，符号 f 表示一种对应关系，可以是解析,式，可以是图象，也可以是图表,
