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1、好文档,好知识高等代数专题研究模拟试题一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）1. 下列法则中，哪个不是上的二元代数运算？（ ） （A） （B） （C） （D）2. 设是线性空间的线性变换，是的分别属于特征值与的特征向量，则（ ）.（A）若与线性相关，则； （B） 若与线性无关，则；（C）若与线性相关，则； （D） 若与线性无关，则.3. 全体正实数对于下面定义的加法和标量乘法：，构成上的线性空间，则它的维数是（ ）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）34. 如果线性空间上的线性变换在的一组基下的作用为：那么在基下的矩阵为（ ）. （A） （B） （C） （D）5. 设为欧几里得空间，是
2、中的任意向量，则下列式子不成立的是（ ）. （A） （B） （C） （D）二、 填空题（本题共20分，每小题4分）1. 正交矩阵的行列式等于 .2. 设为两个不相等的常数，则多项式被除所得余式为 .3. 同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是 的.4. 若矩阵与相似，则的行列式 .5. 设，则 .三、 计算题（本题共45分，每小题15分）1. 求多项式的所有有理根.2. 已知； . 求（1）的一组基与维数；（2）的一组基与维数；（3）与的一组基与维数.3. 设，求一个正交矩阵，使得是一个对角矩阵.四、 证明题（本题15分） 设是阶正定实对称矩阵，为阶实反对称矩阵（），证明：是正定实对称矩阵.高等
3、代数专题研究模拟试题答案一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）1. D 2. C 3. B 4. A 5. D二、 填空题（本题共20分，每小题4分）1. 2. 3. 相合 4. 5. 三、 计算题（本题共45分，每小题15分）1. 解：，. 根据定理2.9.4，的有理根只可能是：，. 依此代入检验可得，. 因此的有理根是，. 2. 解：（1）线性无关，因此，即为的一组基.（2）线性无关，因此，即为的一组基.（3），一组基为，一组基为.3. 解：因此的特征值为，.当时，解方程组，得一组基础解系为，单位正交化可得，当时，解方程组，得一组基础解系为单位正交化可得以为列，可得正交矩阵，且为对角阵.四、 证明题（本题15分）证明：因为是正定实对称矩阵，所以. 为阶实反对称矩阵，从而因此是实对称矩阵. 对于任意维列向量，有故是正定实对称矩阵.
