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1、2.3.1 直线与平面垂直的判定,高中数学必修2,教学目的,1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题.教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及其应用.教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程,直线和平面垂直的判定（1）,复习引入：,1.直线和平面的位置关系是什么?,（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）,2.线面平行的判定定理的内容是什么?,3.线面平行的性质定理的内容是什么?,平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平
2、行,一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。,引入新课：,在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交。,直线与平面垂直,观察实例,发现新知,旗杆与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象。,观察实例,发现新知,房屋的屋柱与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象。,大桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象。,观察实例,发现新知,实例研探,定义新知：,探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?,生活中线面垂直的实例:,在阳光下观察直立于地
3、面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。,直线与平面垂直的定义：,如果一条直线l 和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面互相垂直.记作：l,l,P,l 叫做的垂线,叫做l 的垂面,l 与的唯一公共点P叫做垂足。,画直线与平面平行时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。,“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是,直线与平面的位置关系如何？）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，
4、在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.a等价于对任意的直线m，都有am.,三点说明:,利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.,探究：,提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？,师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问:折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？,A,直线与平面垂直的判定定理：,一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.,线线垂直 线面垂直,例题示
5、范,巩固新知,例1、一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这两点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直，为什么？,解：如图，旗杆PO8，两绳子长PAPB10，OAOB6，A，O，B三点不共线,因此A，O，B三点确定平面，因为PO2AO2PA2，PO2BO2PB2，故POOA，POOB又OAOBO,故OP，因此旗杆与地面垂直。,例2、如图，已知ab，a。求证：b。,例题示范,巩固新知,分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直
6、，从而可证直线与平面垂直。,a,b,阅读P66证明过程.,（此定理可看作线面垂直的判定定理二;直接用）,巩固练习,1.平行四边形ABCD所在平面a外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.,归纳：,今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l垂直于平面a，那么l就垂直于a内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路。,作业布置：P66探究;P67练习第1题；课下思考：P74 B组2题。,继续！,直线和平面垂直的
7、判定(2),复习引入：,1直线与平面垂直的定义,如果直线l与平面的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.,2直线与平面垂直的判定定理,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,取AC中点O,引课：,我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?,直线与平面所成的角,1.平面的斜线,如图,若一条直线PA和一个平面相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。,P,A,斜足,斜线,2.直线和平面所成的角,如图,过斜线上斜足以外的一
8、点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。,斜线,斜足,射影,垂足,垂线,一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角。,规定:,想一想:直线与平面所成的角的取值范围是什么?,例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直线A1B和平面BCC1B1所成的角。（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。,O,例题示范,巩固新知,分析:找出直线A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面BCC
9、1B1和平面A1B1CD所成的角。,阅读教科书P66上的解答过程。,巩固练习,1.判断下列说法是否正确,（1）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线（）,（2）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线（）,（3）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线（）,（4）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等（）,注：（3）也可能是一直线与一点。,2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,A,D,C,B,巩固练习：,2.如图：正方体ABCD-
10、A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,巩固练习：,2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,A,D,C,B,巩固练习,2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,A,D,C,B,巩固练习,3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1
11、中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,0o,巩固练习：,3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,90o,巩固练习,3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1
12、与面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,45o,巩固练习,3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,30o,巩固练习,提高：课本,P,A,B,C,1外心；2中点；3垂心,例2：已知：b，c,bc=E，=a，c，b。求证：a。,结论：,证明：b，=a，ba；c，=a，ca；bc=E，b，c,a。,结论：,例3：已知正方体中，AC是面对角线，BD是与AC 异面的体对角线。求证：ACBD,注：结论！,证明：连接BD 正方体ABCD-ABCD DD正方体ABCD DD AC AC、BD 为对角线 ACBD DDBD=D ACDDB（即面DDB）ACBD,归纳小结：,1直线与平面垂直的概念:,（1）利用定义；,（2）利用判定定理,3数学思想方法：转化的思想,3直线与平面垂直的判定,垂直于平面内任意一条直线,2.线面角的概念及范围,直线与平面垂直,转化思想：线面垂直 线线垂直,作业布置：P74A组8;9题,课下思考：B组题,不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。,
