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1、第1章概率论的基本概念,教材：盛骤概率论与数理统计第四版制作、讲授：安徽师范大学朱仁贵,2,当面对两个选择的时候，抛硬币可以帮助我们，答案在它落地后才能知晓。,3,随机现象,结果不确定，做之前可以预知多种可能的结果，但究竟是哪一个结果，只有做了才知道。,1、抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上两种不同的结果；2、用一门大炮，射击某一目标，炮弹落点不尽相同；3、罚点球，可能进也可能不进；4、参加考试，得分有多种可能；,4,1、向上抛一石子，必然下落;2、在标准大气压下，将水加热到100摄氏度，必然沸腾;3、同性电荷必然相斥，异性电荷必然相吸；4、寻求长生不老药，必然失败.,5,抛一枚硬

2、币，观察正反两面出现的情况，多次重复后，发现正反两面出现的次数基本上对半分；,多次掷一颗骰子，任意一面朝上的次数基本上占总投掷次数的1/6,6,第一章概率论的基本概念,1.1 随机试验,1.2 样本空间、随机事件,1.3 频率与概率,1.4 等可能概型(古典概型),1.5 条件概率,1.6 独立性,7,1.1 随机试验,E1、抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况;E2、将一枚硬币抛三次，观察正面H、反面T出现的情况;E3、将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数;E4、抛一颗骰子，观察出现的点数;,注意：E2和E3是一次试验.,E5:记录某城市120电话台一昼夜接到的呼唤次数;E6:在一批灯

3、泡中任意抽取一只，测试它的寿命;E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,8,1.2 样本空间、随机事件,1.2.1 样本空间,E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E5:记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。E6:在一批灯泡当中，任意抽取一只测试它的寿命。E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,这里x 表示最低温度，y表示最高温度。并设这一地区的温度不会小于T0 也不会大于T1,9,1.2 样本空间、随机事件,1.2.2 随机事件

4、,10,1.2 样本空间、随机事件,1.2.2 随机事件,随机事件的分类,由一个样本点组成的单点集,由基本事件组合而成的事件,空集,11,1.2 样本空间、随机事件,1.2.3 事件间的关系与运算,12,1.2 样本空间、随机事件,1.2.3 事件间的关系与运算,13,1.2 样本空间、随机事件,1.2.3 事件间的关系与运算,14,1.2 样本空间、随机事件,1.2.3 事件间的关系与运算,事件运算定律,交换律,德摩根律,结合律,分配律,15,例题,令A=“信号灯亮”,Bi=“开关i闭合”，i=1,2,3,1.2 样本空间、随机事件,1.2.3 事件间的关系与运算,16,1.3 频率与概率,

5、大量试验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率呈现稳定性，稳定于某个常数,如下表所示的投币试验，观察正面H出现的情况:,17,1.3 频率与概率,1、非负性：对于每一事件A，有 P(A)0；,2、规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；,3、可列可加性(又称完全可加性)：,18,1.3 频率与概率,概率的一些重要性质,2、有限可加性：若A1,A2,An 是两两互不相容的事件，则有,3、差事件概率：设A,B是两个事件，若 A B，则有,4、对于任一事件A,有P(A)1,5、逆事件概率：对于任一事件A，有P()=1P(A),6、和事件概率(加法公式)：对于任意两事件A,B有,19,1.3 频率

6、与概率,可推广到多个事件的和事件,20,1.4 等可能概型(古典概型),等可能概型的定义与概率的计算,具有如下两个特点的试验，称为等可能概型(又叫古典概型)：,2、试验中每个基本事件发生的概率相同:P(e1)=P(e2)=P(en),1、试验的样本空间只包含有限个元素；S=e1,e2,en;,21,1.4 等可能概型(古典概型),一个口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。,22,1.4 等可能概型(古典概型),将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)。,选排列,相当于放回抽样,相当于不放回抽样,事件A的概率：

7、,现实中的类似问题：一年365天,n(n365)个人的生日各不相同的概率？,23,设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n(n N)件，问其中恰有k(kD)件次品的概率。,组合,1.4 等可能概型(古典概型),基本事件总数：,恰有k件次品的概率：,不放回抽样；但是样品不分先后，不编号、不区分，需要消除不同排列带来的重复。,24,1.4 等可能概型(古典概型),某接待站在某一周接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？,假设没有规定，任一次来访都有7天可供选择,A=“这12次接待发生在周二和周四”,事件A发生的概率：,概率极低的事件竟然发生

8、了，所以有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待时间是有规定的.,25,1.5 条件概率,1.5.1 条件概率,事件A发生的条件下事件B发生的概率,设试验的基本事件总数为n,事件A所包含的基本事件数为m(m0),事件AB所包含的基本事件数为k。,26,1.5 条件概率,1.5.1 条件概率,前述概率的6个性质，对条件概率也是适用的.例如对任意两事件B1和B2有,1、非负性：对于每一事件B,有P(B|A)0；2、规范性：对于必然事件S,有P(S|A)=1;3、可列可加性：设 B1,B2,.是两两互不相容的事件，则有,27,1.5 条件概率,1.5.1 条件概率,28,1.5 条件概率,1.5.2 乘

10、(C|A),P(),P(C|),33,1.6 独立性,互相独立与互不相容是不同概念，互不等价。,抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况(先抛甲后抛乙),A、B独立,34,1.6 独立性,A、B、C三者独立,1、设A、B是两事件，且P(A)0。若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然。,2、若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与，与B，与。,3、若事件A1,A2,An(n2)相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立的.,4、若事件 A1,A2,An(n2)相互独立，则将 A1,A2,An 中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。,35,

11、1.6 独立性,例,求系统的可靠性。,P(A)=P(A1A2A3A4)=P(A1A2)+P(A3A4)P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=p1p2+p3p4p1p2p3p4,36,第一章结束,good bye!,37,习题,3.(1)设A,B,C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。,其中P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=0,故P(ABC)=1/4+1/4+1/4 1/8=5/8,38,利用德摩根律和逆事件概率可得：,39

12、,利用差事件概率可得,由加法公式可得,或利用条件概率的乘法定理可得：,或,40,3.(3)已知P(A)=1/2,(a)若A,B互不相容，求,(b)若P(AB)=1/8,求,若A,B互不相容，则P(AB)=0,故,(a),(b),解：利用差事件概率可得,41,5.10片药片中有5片是安慰剂.(1)从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率.(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前三次都取到安慰剂的概率.,解(1):这属于经典概型的组合问题,令Ai=“取到的5片中有i片是安慰剂”，i=0,1,2,3,4,5，它们是互不相容的。,根据概率的有限可加性，所求概率为,(2)令Ai=“第i次取到的是

13、安慰剂”,利用条件概率的乘法定理可得,或,42,8.在1500件产品中有400件次品，1100件正品，任取200件.(1)求恰有90件次品的概率.(2)求至少有2件次品的概率。,(2)令Ai=“取出的200件产品中有i件次品”，则所求概率为,43,21.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者.问此人是男性的概率是多少?,解：设A=“任选一人为男性”，B=“任选一人为色盲”,则由题意知：,利用全概率公式可得,再根据贝叶斯公式可得所求概率为,44,34.试分别求以下两个系统的可靠性:(1)设有4个独立工作的元件1，2，3，4.它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按图1方式连接.(2)设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5.它们的可靠性均为p,将它们按图2方式连接.,解：令Ai=“元件i正常工作”,(1)利用加法公式可得,交换律及,由独立性,(2)解法(一)列举出系统正常工作的各种可能情况,45,套用多个事件的加法公式可得,46,(2)解法(三)令A=“系统正常工作”。,根据全概率公式可得,其中,故,47,(2)解法(四)令A=“系统正常工作”，则,其中,所以,

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