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1、2023/9/13,1,概率论,2,第一章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间 1.3 概率和频率 1.4 等可能概型（古典概型）1.5 条件概率 1.6 独立性第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数 2.4 连续型随机变量及其概率密度 2.5 随机变量的函数的分布第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布,3,第四章 随机变量的数字特征4.1 数学期望4.2 方差4.3 协方差及相关系数4.4 矩、协方差矩
2、阵第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理,4,关键词：样本空间 随机事件频率和概率条件概率事件的独立性,第一章 概率论的基本概念,5,1 随机试验,确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定,确定,不确定,不确定,自然界与社会生活中的两类现象,例：向上抛出的物体会掉落到地上,明天天气状况,买了彩票会中奖,6,概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律,对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。它具有以下特性：可以在相同条件下重复进行事先知道可能出现的结果进行试验前并不知道哪个试验结果会发生,例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批
3、电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；,7,2 样本空间随机事件,(一)样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空 间，记为S=e，称S中的元素e为样本点，一个元素的单点集称为基本事件,S=0,1,2,；,S=正面，反面；,S=(x,y)|T0yxT1；,S=x|axb,记录一城市一日中发生交通事故次数,例：一枚硬币抛一次,记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y,记录一批产品的寿命x,8,(二)随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。,S=0,1,2,；,记 A=至少有10人候车=10,11,12,S，A为随机事
4、件，A可能发生，也可能不发生。,例：观察89路公交车浙大站候车人数，,如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。为方便起见，记为不可能事件，不包含任何样本点。,9,例：记A=明天天晴，B=明天无雨记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面,(三)事件的关系及运算事件的关系（包含、相等）,10,事件的运算,A与B的和事件，记为,A与B的积事件，记为,当AB=时，称事件A与B不相容的。,11,“和”、“交”关系式,例：设A=甲来听课，B=乙来听课，则：,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲、乙至少有一人不来,12,
5、3 频率与概率,(一)频率 定义：记 其中 A发生的次数(频数)；n总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率。,某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记A=听课迟到，则#频率 反映了事件A发生的频繁程度。,例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为,表 1,例：抛硬币出现的正面的频率,14,表 2,15,*频率的性质：且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p,16,(二)概率 定义1：的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义2：将概率视为测度，且满足：称P(A)为事件A的概率。,17,性质：,18,19,
6、20,4 等可能概型（古典概型）,定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性),称这种试验为等可能概型(或古典概型)。,21,例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球，记A=恰是一红一黄，求P(A)解：,（注：当Lm或L0时，记）,例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件，记Ak恰有k件次品，求P(Ak)解：,22,例3：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(nN)，设每一球 落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A 恰有n个盒子各有一球，求P(A)解：,即当n2时，共有N2个样本点；一
7、般地，n个球放入N个盒子中，总样本点数为Nn，使A发生的样本点数,可解析为一个64人的班上，至少有两人在同一天过生日的概率为99.7%,若取n64，N365,23,例4:(抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记abn 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。设 第k次摸到红球，k1,2,n求 解1：,号球为红球，将n个人也编号为1,2,n,-与k无关,可设想将n个球进行编号：其中,视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率相等。,24,解3：将第k次摸到的球号作为一样本点：,原来这不是等可能概型,总样本点数为，每点出现的概率相等，而其中有 个样本点使 发生，,红色,解2：
8、视哪几次摸到红球为一样本点,解4：记第k次摸到的球的颜色为一样本点：S红色,白色，,25,解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712=0.000 000 3.,例5：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接
9、待时间是有规定的。,5 条件概率,例：有一批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为 优质品，从中任取一件，记A=取到一件合格品，B=取到一件优质品。则 P(A)=90%而P(B)=85.5%记：P(B|A)=95%P(A)=0.90 是将整批产品记作1时A的测度P(B|A)=0.95 是将合格品记作1时B的测度由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S常常省略而已，P(A)也可视为条件概率分析：,27,一、条件概率定义：由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。例如：,二、乘法公式当下面的条件概率都有意义时：,28,例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，
10、余下 的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产 品的报废率。,解：设 A=生产的产品要报废 B=生产的产品要调试 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，,29,例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。,解：设 Ai=这人第i次通过考核，i=1,2,3 A=这人通过考核，,亦可：,30,例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）
11、不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。,利用乘法公式,与不相容,（1）若为放回抽样：,（2）若为不放回抽样：,解：设 Ai=第i次取到红牌，i=1,2 B=取2张恰是一红一黑,31,三、全概率公式与Bayes公式,定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn 为E的一组事件。若：则称B1,B2,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。,即：B1,B2,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。,32,定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,Bn为S的一个划分，P(Bi)0，i=1,2,n；则称：,为全概率公式,证明：,定理：接上定理条件，称此式为Bayes公式。
12、,33,*全概率公式可由以下框图表示：设 P(Bj)=pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,n易知：,S,P1,P2,.,B2,q2,q1,qn,Pn,34,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,Bayes公式,全概率公式,解：设A=甲出差，B=乙出差,35,例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症 则有：已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查
13、？,若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987说明这种试验方法可在医院用,解：考察P(C|A)的值,若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。,36,6 独立性,例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,2,不放回抽样时，,放回抽样时，,即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响,定义：设A，B为两随机事件，若P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(A)P(B)即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立。,37,注意：,38
14、,例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被击中的概率。,解：设 A=甲击中,B=乙击中C=目标被击中,甲、乙同时射击，其结果互不影响，A，B相互独立,39,例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件 能正常运行的概率为p，求系统正常运行的概率。,注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同,40,41,复习思考题 1,1.“事件A不发生，则A=”,对吗？试举例证明之。2.“两事件A和B为互不相容，即AB=,则A和B互逆”，对吗？反之成立吗？试举例说明之。4.甲、乙两人同时猜一谜，设A=甲猜中，B=乙猜中，则AB=甲、乙两人至少有1人猜中。若P(A)=
15、0.7,P(B)=0.8,则“P(AB)=0.7+0.8=1.5”对吗？5.满足什么条件的试验问题称为古典概型问题？,42,7.如何理解样本点是两两互不相容的？8.设A和B为两随机事件，试举例说明P(AB)=P(B|A)表示不同的意义。10.什么条件下称两事件A和B相互独立？什么条件下称n个事件A1,A2,An相互独立？11.设A和B为两事件，且P(A)0,P(B)0,问A和B相互独立、A和B互不相容能否同时成立？试举例说明之。12.设A和B为两事件，且P(A)=a,P(B)=b,问：(1)当A和B独立时,P(AB)为何值？(2)当A和B互不相容时,P(AB)为何值？,43,13.当满足什么条件时称事件组A1,A2,An为样为本空间 的一个划分？14.设A,B,C为三随机事件，当AB，且P(A)0,P(B)0时，P(C|A)+P(C|B)有意义吗？试举例说明。15.设A,B,C为三随机事件,且P(C)0,问P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否成立？若成立，与概率的加法公式比较之。,
