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1、第一章 概率论的基本概念,第一节 样本空间、随机事件,第二节 概率、古典概型,第三节 条件概率、全概率公式,第四节 独立性,小结,上一页,下一页,返 回,第一节样本空间、随机事件,一随机现象两类现象（）确定性现象在一定条件下必然发生或必不发生的现象.特点：根据所给条件可以预言它的结果.如：向上抛一石子必然下落；同性电荷必不互相吸引，等等,（）随机现象,在一定条件下结果无法确定的现象,特点：可能的结果不止一个；会出现哪一结果,事先无法预知,上一页,下一页,返 回,如:在相同条件下抛掷一枚硬币,其结果可能是,数字面(正面)朝上,也可能是徽花面(反面)朝上.,在每次抛掷之前,无法肯定抛掷的结果是什么
2、.,一个跳伞运动员作定点跳伞练习,他的落地点离预定中心的距离实际是多少,在跳伞 之前也无法确定.,正面朝上的次数总的抛掷次数,在0.5附近摆动,2.统计规律性,在大量重复试验或观察中,呈现的固有规律性.,上一页,下一页,返 回,概率统计的研究对象,随机现象的统计规律性.,随机试验,(1).每次试验的可能结果不止一个,所有可能的结果是可知的.,(2).在每次试验之前,无法豫言究竟会出现哪一结果.,(3).试验可以重复.,上述三条缺一不可.随机试验又简称为试验.,如:抛掷一枚硬币:正面朝上,反面朝上.,从一副扑克牌(不含大小王)中任摸一张(观察其花色):红桃,黑桃,草花,方片.,上一页,下一页,返
3、 回,二.样本空间,试验的每一个可能基本结果称为样本点.记作,或,样本点的全体称为样本空间.记作,例:(1)掷一枚硬币:=“正面朝上”,=“反面朝上”,样本空间=,(2)掷两枚硬币:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),=,样本空间,(3)一射手对一目标进行射击,直到命中为止.若用1表 示“击中”，0表示“未击中”，则可能结果是：1，01，001，0001，,样本空间=1，01，001，0001，,上一页,下一页,返 回,（4）向圆,内均匀投点，所有可能的结果为:,样本空间为,只含有限个或无限可列个样本点的样本空间，叫离散样本空间；而含
4、无限不可列个样本点的样本空间叫连续样本空间,(1),(2),(3)是离散样本空间;(4)是连续样本空间,上一页,下一页,返 回,三.随机事件,试验的某些样本点组成的集合,称为(随机)事件；通常用大写字母A，B，C，来表示。特别，由单个样本点组成的集合是事件，称为基本事件。一般事件是由若干个基本事件复合而成的。,例：掷一颗骰子：,“出现i点”（i=1,2,3,4,5,6）,是六个基本事件；而“出现偶数点”是由三个基本事件,复合而成的。,注：(1)随机事件是样本空间的子集，当该子集中某个样本点出现时，就说该随机事件发生了。,.,.,A,（2）是 的最大子集，称为必然事件；空集 是 的最小子集，称为
5、不可能事件。,上一页,下一页,返 回,必然事件在每次试验中一定发生；不可能事件在每次试验中一定不发生；而随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生。,例：从10个同类产品（其中8个正品，2个次品）中 任取3个，那么“3个都是正品”、“3个中至少有1个次品”,都是随机事件；,“次品不多于2个”是必然,事件；“次品多于2个”是不可能事件。,必然事件,不可能事件,当作特殊的随机事件,上一页,下一页,返 回,四.事件的关系与运算,1.包含关系,若事件A发生必然导致事件B发生，,则称事件B包含事件A或事件A包含于事件B.,记作B,A或A,B,例：“抽到4号考签”,“抽到偶数号考签”,若A,B且B,A,则称
6、事件A与事件B相等,记作A=B,例：掷一颗骰子,设A=“出现点或点或点”,B=“出现偶数点”,2.相等关系,则A=B.,上一页,下一页,返 回,3.事件的和,“事件A与事件B中至少有一个发生”，这一事件叫A与B的和（并），记作A B.,例：检查圆柱形产品时，直径与长度有一项不合格就算产品不合格，,设A=“直径不合格”，,B=“长度不合格”，C=“产品不合格”,则，C=A B,事件的和可推广到有限个或可列个事件：,例:设,=“接到k次呼唤”（k=0,1,2,）,=“接到不超过3次呼唤”,=“接到不少于3次呼唤”，D=“接到呼唤”,则，,C=,D=,上一页,下一页,返 回,4.事件的积,“事件A与
7、事件B同时发生”，这一事件叫A与的积（交）记作,A,B或AB.,例：设A=“出现点或点或点”，B=“出现偶数点”,则，AB=“出现点或点”,事件的积也可推广到有限个或可列个事件：,例：一串联电路,设=“第k个开关接通”(k=1,2,3),B=“灯亮”,则，B=,1,2,3,w,上一页,下一页,返 回,5.互不相容,若事件A与B不能同时发生，即AB=,则称A与B互不相容（或互斥）。,例：A=“产品合格”,B=“直径不合格”，则A,B互斥。,若n个事件,中任意两个都不能同时发,生，即,则称这n个事件互不相容（或互斥）。,例：一批产品中有一级品、二级品和等外品，从中任取,一件，设A=“取出的是一级品
8、”,B=“取出的是二级品”，C=“取出的是等外品”,则A,B,C互斥。,上一页,下一页,返 回,对立事件,“事件A不发生”这一事件叫A的对立事件，记作,，显然,的对立事件是A即,=A.,例：“产品合格”与“产品不合格”,是对立事件；,“都及格”与“不都及格”,是对立事件。,A与,满足：,一个事件发生，另一个事件一定不发生,一个不发生时，另一个一定发生,注：对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立。,“都及格”与“都不及格”互斥，但不对立。因,“都及格”不发生时，“都不及格”不一定发生。,上一页,下一页,返 回,7.事件的差,“事件发生而事件不发生”，这个事件叫与差。记作.,例：“呼唤不超过次”，“
9、呼唤不少于次”,A,A,B,B,A,B,上一页,下一页,返 回,例1.用A,B,C的事件式表示下列事件,(1)“A与B都发生,而C不发生”,可表为ABC或ABC,(2)“A,B,C都发生”,可表为ABC,(3)“A,B,C中至少有一个发生”,ABC,(4)“A,B,C中恰有一个发生”,可表为,或,可表为,上一页,下一页,返 回,(5)“A,B,C中至多有一个发生”,可表为,(6)“A,B,C中至少有两个发生”,可表为,(7)“A,B,C中至多有两个发生”,可表为,或,(8)“A,B,C都不发生”,可表为,上一页,下一页,返 回,五事件运算的运算律,交换律：,结合律：,分配律：,否定律：,幂等律
10、：,上一页,下一页,返 回,吸收律：,互逆律：,德莫根公式（对偶原则）：,推广：,上一页,下一页,返 回,证明,上一页,下一页,返 回,上述运算律是事件运算的基本规律，其他规律可由这些规律推导出来,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例3.在数学系的学生中任选一名学生.若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生是运动员.（1）叙述AB 的意义.,（2）在什么条件下ABC=C成立？（3）在什么条件下,成立？,解（1）该生是三年级男生，但不是运动员.,（2）全系运动员都是三年级男生.,（3）全系女生都在三年级.,上一页,下一页,返 回,例4.设事件A表示“甲
11、种产品畅销，乙种产品滞 销”，求其对立事件,.,解 设B=“甲种产品畅销”，C=“乙种产品滞销”，,则A=BC，故,=“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.,第二节 概率、古典概型,1、频率,定义1:在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率，记为,频率具有下列性质：,(1)对于任一事件A，有,(2),上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示.,可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5
12、.,上一页,下一页,返 回,定义2:设事件A在n次重复试验中发生了k次,n很大时,频率 在某一数值p的附近摆动,而随着试验次数n的 增加，摆动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为,上一页,下一页,返 回,定义3：,2、概率的公理化定义,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,概率的性质：,注:不可能事件的概率为0,反之概率为0的事件不一定是不可能事件.,证:,由可列可加性,得,于是,上一页,下一页,返 回,证 令An+1=An+2=，则AiAj=.当ij，i,j=1,2,时，由可列可加性，得,上一页,下一页,返 回,证 由B,A,知A=B(A-B）且B（A-B）=.,再由概率
13、的有限可加性有,P（A）=P（B(A-B)=P(B)+P(A-B),如,掷一颗骰子，设B=“出现点”，A=“出现奇数点”，则,上一页,下一页,返 回,推论:对任一事件A，有0P（A）1.,证：,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,推广：,上一页,下一页,返 回,例1 设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3P(AB)=0.1求：（1）A发生但B不发生的概率；（2）A不发生但B发生的概率；（3）至少有一个事件发生的概率；（4）A，B都不发生的概率；（5）至少有一个事件不发生的概率.,解（1）,P（A-B）,=P（A）-P（AB）=0.4；,（2）P（,B）=P（B-A）=
14、P（B）-P（AB）=0.2；,(3)P(AB)=0.5+0.3-0.1=0.7；,(4)P(,)=P(,)=1-P(AB)=1-0.7=0.3；,(5)P(,）=P(,）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.,3、古典概型,定义4：设随机试验E满足如下条件:试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为古典概型，也称为等可能概型。,古典概型 中事件A的概率计算公式为,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例2 将一枚硬币抛掷三次，求：（1）恰有一次出现正面的概率；（2）至少有一次出现正面的概率.,解 将一枚硬币抛掷三次的样本空间=HHH，HHT，H
15、TH，THH，HTT，THT，TTH，TTT 中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事 件发生的可能性相同.（1）设A表示“恰有一次出现正面”，则 A=HTT，THT，TTH，故有P（A）=3/8.,（2）设B表示“至少有一次出现正面”，由,=TTT，得P（B）=1-P（,）=1-1/8=7/8,上一页,下一页,返 回,例3、一口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球.从袋中取球两次，随机地取一只.考虑两种取球方式：（a）第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀 后再任取一球.这种取球方式叫做有放回抽取.（b）第一次取一球后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球.这种取球方式叫做不放回抽取.试
16、分别就上面两种情形求：（1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率.,上一页,下一页,返 回,解,.,设A=“取到的两只球都是白球”，,B=“取到的两只球都是红球”，,C=“取到的两只球中至少有一只是白球”,则AB=“取到的两只球颜色相同”，,（a）有放回抽取的情形,由于AB=，故 P（AB）=P（A）+P（B）=5/9，P（C）=,1-P（B）=8/9.,上一页,下一页,返 回,(b)不放回抽取的情形：,.,由于AB=，故 P（AB）=P（A）+P（B）=7/15，P（C）=,1-P（B）=14/15.,上一页,下一页,返 回
17、,在不放回抽取中，一次取一个，一共取m次也可看作一次取出m个，故本例中也可用组合的方法，得,=2/5，,=1/15.,P（A）=,P（B）=,上一页,下一页,返 回,例4 箱中装有a只白球，b只黑球，现作不放回抽取，每次一只.（1）任取m+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率（ma,nb）;(2)第k次才取到白球的概率（kb+1）;（3）第k次恰取到白球的概率.,上一页,下一页,返 回,解（1）可看作一次取出m+n只球，与次序无关，是组合 问题.从a+b只球中任取m+n只，所有可能的取法共有,种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a只白球中取m只，共有,从b只黑
18、球中取n只，共有,由乘法原理知，取到m只白球，n只黑球的取法共有,种，于是所求概率为,.,种不同的取法，,种不同的取法.,p1=,上一页,下一页,返 回,(2)抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k次，每种取法即是从a+b个不同元素中任取k个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有,个基本事件，且由于对称性知每个基本事件,白球可为a只白球中任一只，有,由乘法原理，前k-1次都取到黑球，第k次取到白球的,种，于是所求概率为,.,发生的可能性相同.前k-1次都取到黑球，从b只黑,球中任取k-1只的排法种数，有,种，第k次抽取的,种不同的取法.,取法共有,p2=,上一页,下一页,返
19、 回,(3)基本事件总数仍为,.第k次必取到白球，可,种不同的取法，其余被,种不同的取法，由乘法原理，第k次恰取到,种，故所求概率为,.,为a只白球中任一只，有,取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，,共有,白球的取法有,p3=,上一页,下一页,返 回,注：p3与k无关，也就是说其中任一次抽球，抽到白球的概率都跟第一次抽到白球的概率相同，为,，而跟抽球的先后次序无关（例如购买福利彩,票时，尽管购买的先后次序不同，但各人得奖的机会,是一样的）.,上一页,下一页,返 回,例5 有n个人，每个人都以同样的概率1/N被分配在N（nN）间房中的任一间中，求恰好有n个房间，其中各住一人的
20、概率.,解 每个人都有N种分法，这是可重复排列问题，n个人共有Nn种不同分法.因为没有指定是哪几间房，所以首先选出n间房，有,种选法.对于其中每一种选法，每,.,间房各住一人共有n!种分法，故所求概率为,p=,上一页,下一页,返 回,下一页,因而n个人中至少有两个人生日相同的概率为,注：许多直观背景很不相同的实际问题，都和本例具有,相同的数学模型.,比如生日问题：假设每人的生日在一年365天,中的任一,天是等可能的，那么随机选取n(n365)个人，他们的,生日各不相同的概率为,p1=,p2=1-,上一页,下一页,返 回,例6 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：（
21、1）每班各分配到一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分配到同一个班的概率.,解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为,（1）设A表示“每班各分配到一名优秀生”3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有,种分法，由乘法原理，A包含基本事件数为,上一页,下一页,返 回,3,=,故有P（A）=,/,=16/55,，故由乘法原理，,P（B）=,/,=3/55,（2）设B表示“3名优秀生分到同一班”，,故3名优秀生分到同一班共有3种分法，,其他9名学生分法总数为,B包含样本总数为3,.,故有,例7：从0,1,2,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,并按其出
22、现的先后排成一行.试求下列事件的概率,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例8：(一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大?,上一页,下一页,返 回,4、几何概型,若试验具有如下特征:,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例9 在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的积小于1/4的概率.,解 设在（0，1）内任取两个数为x,y，则0 x1,0y1,即样本空间是由点（x，y）构成的,边长为1的正方形,，其面积为1.,令A=“两个数乘积小于1/4”，则,A=（x,y）0 xy1/4,0 x1,0y1,事件A所围成的区域见图，则所求概率为,上一
23、页,下一页,返 回,P(A)=,上一页,下一页,返 回,例10(约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(tT)后即离去,求甲乙两人能会面的概率.(假定他们在T内任一时刻到达预定地点是等可能的),上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,第三节 条件概率、全概率公式,一、条件概率的定义,例：掷两颗骰子，设A=“出现点数之和4”，B=“出现成对的偶数点”，求,（1）事件A的概率,（2）在事件B发生的条件下，事件A发生的概率,解:,（1）,（2）,在事件B发生的条件下,计算事件A发生的概率,称为条 件概率,而P(A)称为为无条件概率.,上一页,下一
24、页,返 回,此结论不仅对此例成立,在一般情况下也成立.,定义:,设A,B为二事件,且P(B)0.则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率P(A|B)定义为,上一页,下一页,返 回,计算条件概率的两种方法:,1.在样本空间 中,先计算P(B),P(AB).然后用P(AB)除以 P(B).其商即为P(A|B).,2.在样本空间 的缩减样本空间=B中计算A发生的概率,即为P(A|B).,注:,对某些问题,可能还有其他解法.,上一页,下一页,返 回,法二.,法三.,例1.一只盒子装有10只晶体管,其中7只好的,3只坏的.从中任取两次,每次取一只,取后不放回.发现第一只是好的,问另一只也是好的概率是
25、多少.,解:,设A=“第一只是好的”,B=“第二只是好的”.,法一.,上一页,下一页,返 回,例2 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率.,A.,解,设A=“活到20岁以上”，,B=“活到25岁以上”,则有,P（A）=0.7,P(B)=0.56,且B,P（BA）=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A),得,=0.56/0.7=0.8.,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,P（,|B）=1-P（A|B）.,故对概率已证明的结果都适用于条件概率.,例如，对于任意事件A1，A2，,有,P（A1A2|B）=P（A1|B
26、）+P（A2|B）-P（A1A2|B）,又如，对于任意事件A，有,设P(A)0,则有 P(AB)=P(A)P(BA)同样,当P(B)0时,有：P(AB)=P(B)P(AB),2、乘法定理,乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例3 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用 不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第 3次才抽到合格品的概率.,解 设Ai(i=1,2,3)为第i次抽到合格品的事件，则有,=,=10/1009/9990/980.0083.,例4：设袋中有a只白球,b只黑球.任意取出一球后放回,并再放入与取出的球同色的球c只,再取第
27、二次,如此继续,共取了n次,问前n1次取出黑球,后n2=n-n1 次取白球的概率是多少?,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例5 袋中有n个球，其中n-1个红球，1个白球.n个人依 次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i（i=1,2,n）人取到白球的概率.,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,3.全概率公式、贝叶斯公式,例：袋内有5只球（3红2白），无放回抽取，每次取一只，求第二次取得红球的概率。,解：,设A=“第二次取到红球”，B=“第一次取到红球”,则,一般来说，当一个事件A的概率较难求出，而条件概率较易
28、求出时，可先将A分解为 几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式求之。,上一页,下一页,返 回,定义：若事件组 满足：,（1）完全性：,（2）互不相容性：互斥,则称这个事件组为完备事件组或称这个事件组为样本空间 的一个划分（或分割）。,定理1：设 是样本空间 的一个划分，且,此公式叫全概率公式,，则对任一事件A有,上一页,下一页,返 回,证：,而 互斥,注:当 这时全概率公式为,上一页,下一页,返 回,例6.某厂生产的产品以100个为一批,在进行抽样检查时,只从每批中抽取10个来检查.如果发现其中有次品,则认为这批产品不合格.假定每批产品中的次品最多不超过4个,并有如下的概率分布,一批产
29、品中的次品数,概率,0 1 2 3 4,0.1 0.2 0.4 0.2 0.1,求一批产品通过检查的概率.,上一页,下一页,返 回,解:,=,上一页,下一页,返 回,注:（1）运用全概率公式解题，关键在于构造一个 样本空间的划分.,（2）及 都为已知的，方可运用全概 率公式.,上一页,下一页,返 回,定理2.设 是样本空间 的一个分割,又设,则,此公式叫逆概公式或贝叶斯公式,其中 是试验前产生的概率,称为先验概率,是试验后确定的概率,称为后验概率,证明:,上一页,下一页,返 回,例7.某厂生产的产品以100个为一批,在进行抽样检查时,只从每批中抽取10个来检查.如果发现其中有次品,则认为这批产
30、品不合格.假定每批产品中的次品最多不超过4个,并有如下的概率分布,一批产品中的次品数,概率,0 1 2 3 4,0.1 0.2 0.4 0.2 0.1,求通过检查的一批产品中恰有j件次品的概率.（j=0，1，2，3，4）,上一页,下一页,返 回,解:设A,意义同例6,已得 是样本空间的一个划分,且,由贝叶斯公式,得:,后验概率,先验概率,上一页,下一页,返 回,后验概率,先验概率,上述结果说明,各批产品通过检查后,没有次品及次品较少的可能性增大了,而次品较多的可能性减小了.,例8：对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%.每天机器开
31、动时,机器调整良好的概率为75%.试求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少?,解:设A=“机器调整良好”,B=“生产的第一件产品为合格品”.已知,上一页,下一页,返 回,第四节 独立性,1、事件的独立性,上一页,下一页,返 回,例 某公司有工作人员100名，其中35岁以下的青年人 40名，该公司每天在所有工作人员中随机选出一人 为当天的值班员，而不论其是否在前一天刚好值过,班.求：,（1）已知第一天选出是青年人，试求第二天选出青,年人的概率；,（2）已知第一天选出不是青年人，试求第二天选出,青年人的概率；,（3）第二天选出青年人的概率.,上一页,下一页,返 回,解 设A1
32、=“第一天选出青年人”，,P（A1）=40/100=0.4，,（1）P（A2A1）=0.4.,(2)P（A2,)=,0.4.,(3)P（A2)=P（A1)P(A2|A1)+P()P(A2|),=0.40.4+0.60.4=0.4.,=“第二天选出青年人”，则,A2,即P（A2）=P（A2A1）=P（A2,）.,(),上一页,下一页,返 回,设A1，A2为两个事件，若P（A1）0，则可定义P（A2A1），一般情形，P（A2）P(A2A1),即事件A1的发生对事件A2发生的概率是有影响的.而(*)式表明，一个事件的发生对另一事件发生的概率没有影响，,P（A1A2）=P（A1）P（A2A1）=P（A
33、1）P（A2）.,此时乘法公式为,定义1 若事件A1，A2满足 P（A1A2）=P（A1）P（A2），则称事件A1，A2是相互独立的.,上一页,下一页,返 回,注:实际应用中,事件的独立性常常不是借助定义,而是根据 实际意义加以判断的.,如:甲乙各自去破译一个密码,“甲能译出密码”与“乙能译出密码”是互不影响的,因此理解为相互独立.,独立,互斥,一个事件的发生不影响另一个事件的发生,两事件不能同时发生,两者之间不存在因果关系,上一页,下一页,返 回,（1）.独立但不互斥,甲乙两射手同时射击一目标,设A=“甲射手命中目标”,B=“乙射手命中目标”,显然A,B独立,但不互斥,（2）.互斥但不独立,
34、10只晶体管中有1只次品,从中任取2只.,设A=“取出的2只没有次品”,B=“取出的2只中有1只次品”.,显然A,B互斥.,即A,B不独立.,上一页,下一页,返 回,定理1.四对事件 中若有一对相互独立,则另外三对也相互独立.,证明:只对“若 相互独立,则 也相互独立”进行 证明.,注:若上述四对事件中有一对不独立,则另三对也不独立.,上一页,下一页,返 回,定理2 若事件A，B相互独立，且0P（A）1,则P（BA）=P（B,）=P（B）.,定义2:,设A1,A2,A3是三事件,若,则称A1,A2,A3相互独立,1,A2,A3两两独立,注:,三事件相互独立,一定两两独立;,反之,两两独立,不一
35、定相互独立.,上一页,下一页,返 回,例:设袋内有4只球(一红、一白、一黑、一红白黑三色球).从袋内任取1只,设A1=“取出的球带有红色”.A2=“取 出的球带有白色”,A3=“取出的球带有黑色”,则,显然,即A1,A2,A3两两独立,但不相互独立,P(A1A2)=P(A1)P(A2),P(A1A3)=P(A1)P(A3),P(A2A3)=P(A2)P(A3).,因为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3),上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,注：1若事件A1，A2，An（n2）相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也相互独立.,2 若n个事件A1，A2，An(n2)相互独
36、立，则将A1，A2，An中任意多个事件换成 它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独 立.,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例2 设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要 多少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上.,解 设需要n门高射炮，A=“飞机被击中”，Ai=“第i门高射炮击中飞机”（i=1,2,n).则,P(A)=P(A1A2An),=1-P(,)P(,)P(,),=1-(1-0.2)n,即至少需要14门高射炮才能有95%以上的把握击中飞机.,令1-（1-0.2）n0.95,得0.8n0.05，,即得,n14.,上一页,下一页,返
37、回,例3 设电路如图所示，其中1，2，3，4，5为继电器 接点，设各继电器接点闭合与否相互独立，且每 一继电器闭合的概率为p,求L至R为通路的概率.,解 设Ai(i=1,2,3,4,5)=“第i个继电器接点闭合”，,A=（A1A2）（A3A4）（A3A5）,A=“L至R为通路”，则,P（A）=P（A1A2）（A3A4）（A3A5）=P(A1A2)+P(A3A4)+P(A3A5)-P(A1A2A3A4)-P(A1A2A3A5)-P(A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5）,由A1，A2，A3，A4，A5相互独立性可知,P（A）=3p2-2p4-p3+p5,上一页,下一页,返 回,2.贝努里（B
38、ernoulli)试验,若试验E只有两个可能结果：A及,，则称E为贝努里,试验.,设P(A)=p(0p1)，,则P(,)=1-p.,地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努里试验.,将E独立地重复,例如，将一枚硬币抛掷一次，观察出现的是正面还是反面，这是一个贝努里试验.若将一枚硬币抛n次，就是n重贝努里试验.,又如抛掷一颗骰子，若A表示得到“6点”，则,“非6点”，这是一个贝努里试验.,表示得到,n重贝努里试验.,将骰子抛n次，就是,上一页,下一页,返 回,定理3(n重伯努利试验计算公式),如果事件A在每次试验中发生的概率为(0 1),不发生,的概率为,则在n次重复试验中,A发生 次的概
39、率为:,上一页,下一页,返 回,例 设在N件产品中有M件次品，现进行n次有放回 的检查抽样，试求抽得k件次品的概率.,解 由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是在相 同条件下重复进行，故本题符合n重贝努里试验 的条件，,令A=“抽到一件次品”.则,P（A）=p=M/N,以Pn(k)表示n次有放回抽样中，有k次出现次品的概率，,由贝努里概型计算公式，可知,Pn(k)=,k=0,1,2,，n.,上一页,下一页,返 回,例5 设某个车间里共有5台车床，每台车床使用电力是 间歇性的，平均起来每小时约有6分钟使用电力.假 设车工们工作是相互独立的，求在同一时刻（1）恰有两台车床被使用的概率.（2）至少有
40、三台车床被使用的概率.（3）至多有三台车床被使用的概率.（4）至少有一台车床被使用的概率.,上一页,下一页,返 回,解：设 A“一台车床使用电力”“一台车床被使用”,则 P（A）=p=6/60=0.1,（1）p1=P5(2)=,=0.0729.,(2)p2=P5(3)+P5(4)+P5（5）,+,=0.00856.,(3)p3=1-P5(4)-P5(5)=1-,-(0.1)5.,=0.99954,(4)p4=1-P5(0)=1-(0.9)5=0.40951.,上一页,下一页,返 回,例6 一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有4个 选择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学 投机取巧，随意填
41、空，试问他至少填对6道的概 率是多大？,解 设B=“他至少填对6道”.,每答一道题有两个可能的结果：A=“答对”及,=“答错”，,P（A）=1/4，,故作10道题就是10重贝努里试验，n=10，,所求概率为,P（B）,=,=,上一页,下一页,返 回,=,+,+,+,+,=0.01973.,小概率事件:,将概率小于0.05的事件称为小概率事件.,小概率事件的实际推断原理:,小概率事件在一次试验中发生的可能性很小,因此,在一次试验中实际上把它看成是不可能发生的.,结论:该同学随意猜测，能在10道题中猜对6道是小概率事件，在实际中几乎是不会发生的.,上一页,下一页,返 回,第一章小结,1、随机事件,
42、必然事件(),不可能事件(),2、事件的关系与运算,包含关系（A B），,相等关系（A=B），,和（AB）,积（AB），,互不相容（AB=），,对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立,事件的运算律（八个）,3、概率的公理化定义,统计概率P(A)=p（p是A的频率的稳定值）,古典概率P(A)=,几何概率P(A)=,上一页,下一页,返 回,4.概率的性质（六条）,5.条件概率：P(A|B)，P(B|A),计算条件概率的两种方法,概率的乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B),其中P(A)0,P(B)0,特别:当A、B独立时,P(AB)=P(A)P(B).,6.全概率公式、贝叶
43、斯公式,其中,上一页,下一页,返 回,7.事件的独立性,两个事件独立的定义,n个事件相互独立的定义,8.n重伯努利试验的计算公式,上一页,下一页,返 回,习题一处理:,5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？,解:（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.,（2）P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)当AB=时，P（AB）取到最小值为0.3.,上一页,下一页,返 回,10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（nN）.试求其中
44、恰有m件（mM）正品（记为A）的概率.如果：,（3）n件是有放回逐件取出的.,（2）n件是无放回逐件取出的；,（1）n件是同时取出的；,解（1）P（A）=,(2)由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故所求概率可写成,P（A）=,(3)此题可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为,则取得m件正品的概率为,上一页,下一页,返 回,15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次,是出现正面的概率.,解（1）,(2),上一页,下一页,返 回,19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（
45、小孩为男为女是等可能的）.,解 设A=“其中一个为女孩”，B=“至少有一个男孩”，样本点总数为23=8，故,或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.,上一页,下一页,返 回,23.设P（,）=0.3,P(B)=0.4,P(A,)=0.5，求P（BA,）,解:,上一页,下一页,返 回,解 设A=“原发信息是A”，则=“原发信息是B”C=“收到信息是A”，则=“收到信息是B”,由贝叶斯公式，得,26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为21.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？,
46、上一页,下一页,返 回,27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球,若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）,解:设Ai=“箱中原有i个白球”（i=0,1,2），,又设B=“抽出一球为白球”.,由题设条件知P（）=,i=0,1,2.,由贝叶斯公式知,上一页,下一页,返 回,32.证明：若P（AB）=P(A,)，则A，B相互独立.,证:,即,亦即,因此,故A与B相互独立.,上一页,下一页,返 回,34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中
47、，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率.,解:设A=“飞机被击落”，=“恰有i人击中飞机”，i=0,1,2,3,由全概率公式，得,=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7,=0.458,上一页,下一页,返 回,36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十 层楼的每一层.试求下列事件的概率：,（1）A=“某指定的一层有两位乘客离开”；,（2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”,（3）C=“恰有两位乘客在同一层离开”；,（
48、4）D=“至少有两位乘客在同一层离开”.,解:由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故 所有可能结果为106种.,（1）,也可由6重贝努里概型：,上一页,下一页,返 回,（2）6个人在十层中任意六层离开，故,（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一 层离开，有,种可能结果，再从六人中选二人在,两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有,4人同时离开，有,种可能结果；4个人都不在,种可能结果，故,该层离开，有,种离开方式.其余4人中不能再有,种可能结果；,同一层离开，有,（4）D=,.故,上一页,下一页,返 回,3
49、7.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的 概率.,解:（1）,(2),(3),上一页,下一页,返 回,40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（）（i=0,1,2,3）.,解:设=“小立方体有i面涂有颜色”，i=0,1,2,3.,在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的
50、，这样的小立方体共有128=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有886=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，,故所求概率为,上一页,下一页,返 回,43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反 面次数的概率.,上一页,下一页,返 回,解:掷2n次硬币,可能出现：A=“正面次数多于反面次数”B=“正面次数少于反面次数”，C=“正面次数等于反面次数”，A，B，C两两互斥.,由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.,所以,由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为,故,上一页,下一页,返 回,45.设甲掷均匀硬币n+1次
