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1、第十一章 能量原理与变分法,要点：,（1）弹性体形变势能的计算、变分法的基本思想,最小势能原理、里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法,（2）位移变分法,（3）应力变分法,最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理,（4）位移变分法、应力变分法的应用,11-1 弹性体的形变势能,主 要 内 容,11-2 位移变分方程,11-3 位移变分法,11-4 位移变分法应用于平面问题,11-5 应力变分方程,11-6 应力变分法,11-7 应力变分法应于平面问题,11-8 应力变分法应于扭转问题,11-9 解答的唯一性,11-10 功的互等定理,11-0 引 言,1.弹性力学问题的微分提
2、法及其解法：,（1）平衡微分方程,（2）几何方程,（3）物理方程,（4）边界条件,应力边界条件；,位移边界条件；,定解问题,求解方法：,（1）按位移求解,基本方程：,（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;,（2）按应力求解,基本方程：,（a）平衡微分方程；,（b）边界条件。,（b）相容方程；,（c）边界条件。,（a）归结为求解联立的微分方程组；,求解特点：,（b）难以求得解析解。,从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：,2.弹性力学问题的变分提法及其解法：,基本思想：,在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；,将定解问题转变为求解线性方程组。,弹性力学中的变分原理
3、,能量原理,直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。,（变分解法也称能量法）,（a）以位移为基本未知量，,得到最小势（位）能原理等。,（b）以应力为基本未知量，,得到最小余能原理等。,（c）同时以位移、应力、应变为未知量，,得到,广义（约束）变分原理。,位移法,力法,混合法,有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。,求解方法：,里兹（Ritz）法，,伽辽金（Galerkin）法，,加权残值（余量）法等。,3.弹性力学问题的数值解法：,（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）,有限
4、差分法；,基本思想：,将导数运算近似地用差分运算代替；,将定解问题转变为求解线性方程组。,典型软件：FLAC,实质：,将变量离散。,（b）对变分方程进行数值求解,有限单元法、边界元法、离散元法 等,典型软件：,ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；,基于有限元法的分析软件；,UDEC,基于离散元法的分析软件；,基本思想：,将求解区域离散，,离散成有限个小区域（单元），,在小区域（单元）上假设可能解，,最后由能量原理,（变分原理）确定其最优解。,将问题转变为求解大型的线性方程组。,11-1 弹性体的形变势能,1.形变势能的一般表达式,单向拉伸：,P,l,外力
5、所做的功：,由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）U：,令：,单位体积的变形能，,称为比能。,三向应力状态：,一点的应力状态：,由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。,假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的形变比能：,（a）,整个弹性体的形变势能：,（b）,（c）,若用张量表示：,形变比能：,整体形变势能：,2.形变势能的应力分量表示,在线弹性的情况下，由物理方程（8-17）：,代入式（a），整理得形变势能的表达式：,（d）,（e）,代入式（b），有：,（11-1）,将式（e）分别对6
6、个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：,（11-2）,表明：,弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。,3.形变势能的应变分量表示,用应变表示的物理方程（8-19）：,（f）,或：,代入式（a）：,（a）,并整理可得：,（g）,（11-3）,0 1/2，,U 0 即弹性体的形变势能是非负的量。,将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17）比较，可得：,（11-4）,将几何方程（8-9）代入上式，得：,弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。,格林公式,4.形变势能的位移分量表示,表明：,（11-5）,11-2 位移变分方程,1
7、.泛函与变分的概念,（1）泛函的概念,函数：,x 自变量；,y 因变量，或称自变量 x 的函数。,泛函：,x 自变量；,y 为一变函数；,F 为函数 y 的函数，,称为泛函。,例1：,弯矩方程,梁的形变势能：,泛函,例2：,例2：,因为,所以，U 被称为形变势能泛函。,（2）变分与变分法,设：,当自变量 x 有一增量：,函数 y 也有一增量：,dy 与 dx，分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。,微分问题,设：,函数 y 有一增量：,泛函 U 也有一增量：,函数的增量y、泛函的增量 U 等称为变分。,研究自变函数的增量与泛函的增量 间关系称为变分问题。,例如：,（1）压杆稳定问题,寻求压
8、杆形变势能 U 达到最大值时的压力 P 值。,（2）球下落问题,球从位置1下落至位置2，所需时间为T，,当,最速下降问题,泛函的变分问题,（3）变分及其性质,定义：,泛函,增量：,函数,连续性：,称函数 z 在 x0 点连续。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处零阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处一阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处二阶接近。,泛函,函数,微分：,当x0时，0，则 z 可用其线性主部表示其微分。即,U 增量的线性主部,变分：,当 max|y|0时，max 0，则 U 可用其线性主部表示,即,极值：,若,在 x0 处有极值，,则有：,若 Uy(x)在 y
9、0(x)处有极值，,条件：,一阶变分为零。,当,取得极值,称为强极值,当,取得极值,称为弱极值,极值：,（4）变分的运算,变分与微分运算：,变分运算与微分运算互相交换。,变分与积分运算：,变分运算与积分运算互相交换。,复合函数的变分：,其中：,一阶变分：,自变量 x 的变分 x 0,二阶变分：,二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。,2.位移变分方程,建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系,位移变分方程,设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。,边界：,位移场：,应力场：,满足：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。,称为真实解,（1）任给弹性体一微小的位移变化：,满足两个条件：,（1）
10、不破坏平衡状态；,（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。,变化后的位移状态：,称为位移的变分，或虚位移。,（2）考察弹性体的能量变化：,由能量守恒原理：,弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。,（在没有温度改变、动能改变的情况下）,设：,表示弹性变形势能的增量；,表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。,则有：,外力的虚功：,体力：,面力：,外力,代入前式：,（11-6）,表明：,物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。,式（11-6）称为位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程。,3.虚功方程,由式（b）:,两边求变分:,将 U1 视为应变分量的函数,由
11、格林公式:,表示：,实际应力在虚应变上所做的虚功,内力的虚功,将上式代入位移变分方程（11-6），有,（11-7）,虚功方程,表明：,如果在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。,虚功方程 是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。,4.最小势能原理,也是位移变分方程的一个应用,由位移变分方程：,由于虚位移为微小的、为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。,于是，有：,以,为零势能状态，,并用 V 表示任意状态的外力势能，则,外力在可能位移上所做的功W，即,
12、代入前式，有,其中：,形变势能与外力势能的总和，,称为系统的总势能,表明：,在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的变分为零。,等价于总势能 U+V 取驻值。,极值势能原理,平衡状态：,（1）稳定平衡状态；,（2）不稳定平衡状态；,（3）随宜平衡状态；,稳定平衡,不稳定平衡,随宜平衡,势能取极小值,势能取极大值,不定,最小势能原理：,在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡时，总势能取极小值，通常也为最小值。,实际存在的位移应满足：,（1）位移边界条件；,（2）平衡方程（位移形式）；,（3）应力边界条件。,（1）
13、位移边界条件；,（2）位移变分方程。,因而，有：,位移变分方程,（1）平衡方程；,（2）应力边界条件。,（可互相导出）,（最小势能原理）,5.伽辽金变分方程,由虚功方程建立当位移分量满足：位移边界条件、应力边界条件时，弹性体的位移变分应满足的条件。,将虚应变用虚位移表示：,（c）,将其代入虚功方程：,同理，可得到其余各项的结果：,将其代入虚功方程左边，有：,将其代入虚功方程，并整理有：,当应力边界条件满足时，,上式可简化为：,（10-8）,伽辽金（Galerkin）变分方程,表明：,当所取位移分量同时满足：位移边界条件、应力边界条件时，,其位移变分需满足的方程。,（11-6）,（1）位移变分方
14、程,（2）虚功方程,位移变分方程小结：,也称 Lagrange 变分方程：,（3）最小势能原理,说明：,（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；,（2）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程。,如：塑性材料、非线性弹性材料等。,（4）伽辽金（Galerkin）变分方程,要求：可能（虚）位移满足：,（1）位移边界条件；,（2）应力边界条件。,（10-8）,11-3 位移变分法,1.里兹（Ritz）法,基本思想：,设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数，即得位移解。,设取位移的表达式如下：,（11-9）,其中：,为互不相关的 3m
15、个系数；,为设定的函数，且在边界上有：,为边界上为零的设定函数,显然，上述函数满足边界条件。,此时，位移的变分,只能由系数 Am、,Bm、Cm的变分来实现。,与变分无关。,（a）,位移的变分：,形变势能的变分：,由式（11-5），可知：,（b）,将式（a）、（b）代入位移变分方程，有：,将上式整理、移项、合并，可得：,完全任意，且互相独立，,要使上式成立，则须有：,（11-10）,Ritz 法方程,或称 Rayleigh-Ritz 法方程,说明：,（1）,由 U 的位移表达式（11-5）可知，,U 是系数,的二次函数，,因而，方程（11-10）为各系数的线性方程 组。,互不相关，因而，总可以求
16、出全部的系数。,（2）,求出了系数,就可求得其它量，如位移、应力等,（3）,在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。,2.伽辽金（Galerkin）法,设取位移的表达式如下：,（11-9）,同时满足：,（1）位移边界条件；,（2）应力边界条件；,位移的变分：,将其代入伽辽金变分方程（10-8）：,得到：,完全任意，且互相独立，,要使上式成立，则须有：,将物理方程和几何方程代入，有,（11-11）,伽辽金（Galerkin）法方程,说明：,（1）,与 Ritz 法类似，得 3m 阶的线方程组，可求出3m个系数。,（2）,伽辽金（Galerkin）法与 Ritz 法的区别：在于设位移函数时
17、，前者要求同时满足应力、位移边界条件，而后者只要求满足位移边界条件。,位移变分法的应用：,（1）求解弹性体的近似解；,（2）推导弹性体的平衡微分方程与自然（力）边界条件；,11-4 位移变分法应用于平面问题,1.形变势能表达式,对于平面应变问题：,且,由式（11-5）,（11-12）,对于平面应力问题：,（11-13）,2.位移函数设定,由于，两种平面问题中，都不必考虑 z 方向的位移w，所以位移分量可设为：,（11-14）,式中：各系数的含义和以前相同。,3.变分法方程,Ritz 法方程：,（在 z 方向取单位长度）,（11-15）,Galerkin 法方程：,Galerkin 法方程：,（
18、11-16）,适用于平面应变问题,式中：,对于平面应力问题：,（11-17）,例：,图示薄板，宽为 a，高度为 b，左边和下边受连杆支承，右边和上边分别受有均布压力 q1和 q2 作用，不计体力。试求薄板的位移。,解：,（1）假设位移函数,（a）,满足边界条件：,试在式（a）中只取两个系数：A1、B1，即,（b）,（2）计算形变势能 U,将式（b）代入（11-13），有,（平面应力情形下形变势能公式）,积分得：,（c）,（c）,（3）代入Ritz 法方程求解,体力,有,在右边界：,在上边界：,于是有：,将式（c）代入，得,联立求解，得：,（f）,代入位移表达式（b），得：,（g）,讨论：,（1
19、）,如果在位移式（a）中再多取一此系数如：A2、B2等，但是经计算，这些系数全为零。,（2）,位移解（g）满足几何方程、平衡方程和边界条件。,表明：位移解（g）为问题的精确解。,例：,图示矩形薄板，宽为2 a，高度为2 b，左右两边和下边均被固定，而上边的给定位移为：,（h）,不计体力。试求薄板的位移和应力。,解：,（1）假设位移函数,取 m=1,将位移分量设为：,（i）,显然，可满足位移边界条件：,（2）代入Galerkin 法方程求解,该问题中，无应力边界条件，式（i）满足全部条件。可用伽辽金（Galerkin）法求解。,X=Y=0，m=1，伽辽金法方程变为：,（j）,将其代入伽辽金方程（
20、j）,可求得：,代回位移式（h）,有：,代回位移表达式（h）,得位移解答：,当 b=a，取=0.2时，上述解答成为：,（3）求应力分量,应用几何方程及物理方程，可求得应力为：,例：,如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。,解：,（1）假设位移试探函数,（必须满足位移边界条件）,设位移试探函数为（取一项）：,式中：a 为待定常数。,（2）计算：,（a）,（b）,显然，式（a）满足端点的位移边界条件:,（3）代入Ritz 法方程，求解,（c）,（d）,讨论：,（1）,中点的挠度：,（e）,而材料力学的结果：,两者比较：,式（a）的结果偏小2%。,如果取如下位移函数：,式中项数
21、m 取得越多，则求得精度就越高。,（2）,所取的位移函数必须满足位移边界条件。,（3）,位移函数选取不是唯一的，如：,（1）假设位移试探函数,式中：A1、A2 为待定常数。,显然，式（a）满足端点的位移边界条件:,（2）计算：,梁的形变势能:,（3）代入 Ritz 法方程:,（3）代入 Ritz 法方程:,所求挠曲线方程:,所求挠曲线方程:,中点挠度:,而材料力学的结果：,说明：,（1）设定的待定系数个数与所得的线性方程数相同；,（2）,亦可用最小势能原理求解上述问题。,例：,如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。,解：,（1）假设位移试探函数,（必须满足位移边界条件）,设
22、位移试探函数为：,式中：a 为待定常数。,（2）求系统的总势能,（a）,（b）,（c）,将式（a）代入，计算得,显然，式（a）满足端点的位移边界条件:,（3）由最小势能原理确定常数,（d）,说明：,（1）,（e）,与 Ritz 法结果相同；,（2）,所取的位移函数必须满足位移边界条件。,（3）,位移函数选取不是唯一的，如：,例：,如图所示，一端固定，另一端有弹性支承的梁，跨度为 l，抗弯刚度为EI，弹簧的刚度为 k，梁上作用有分布载荷q(x)，试用最小势能原理导出梁的弯曲微分方程和边界条件。,解：,（1）求系统的总势能,系统的总势能,=梁的弯曲变形能,+弹簧的变形能,+外力势能,(a),式中：
23、w 为梁的挠度。,由最小势能原理：,(b),分部积分：,（2）对总势能求变分,将其代入式（b），有,梁的左端固定，有,代入上式，有：,的任意性与相互独立性，有,（3）利用位移边界条件和变分的任意性确定所需的结果。,弯曲微分方程,力的边界条件,表明：,最小势能原理等价于平衡微分方程和力的边界条件；,Ritz 法解题步骤：,（1）假设位移函数，使其满足边界条件；,（2）计算形变势能 U；,（3）代入Ritz 法方程求解待定系数；,（4）回代求解位移、应力等。,用最小势能原理解题步骤：,（1）假设位移函数，使其满足边界条件；,（2）计算系统的总势能；,（3）由最小势能原理：=0，确定待定系数；,（4
24、）回代求解位移、应力等。,图示简支梁，两端受轴向压力P 作用，在距左端距离 c处受集中力偶 M 作用，梁的跨度为 l。试用最小势能原理求的梁的挠曲线方程。,例：,设梁的挠曲线方程可设为：,解：,设定梁的挠曲线函数求系统的总势：,代入总势能计算公式：,由最小势能原理求出待定系数：,由于，Am不能等于零，可求得：,梁的挠曲线方程为：,梁的最小失稳载荷为：,11-5 应力变分方程,1.形变余能,（1）单向应力状态,设：,一般的应力应变关系,形变势能（比能）：,0,0,单位体积的形变势能（比能）,形变余能（比能）：,单位体积的形变余能（比余能）,对线弹性体，显然有：,形变势能（比能）等于形变余能（比余
25、能）,表明：形变比余能在数值上等于图中矩形面积减去 U1 后余下的面积。,（2）三向应力状态,对线弹性体，有：,物体形变余能：,对线弹性体：,物体形变余能常用应力表示：,（3）形变余能的变分,对照形变余比能的表达式，有：,由应力表示的卡氏（Castigliano）定理,代入形变余比能的变分表达式，有：,若将上式中应变分量利用几何方程表示成位移形式，有：,代入形变余比能的变分表达式，有：,2.应力变分方程,设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡状态。其应力和位移分别为：,实际的应力和位移,建立：物体形变余能的变化与应力变分之间的关系。,（1）应力的变分,假设：作用于物体的体力不变，而应力分量发生
26、如下变分：,常称为虚应力,满足：,（1）平衡微分方程；,（2）应力边界条件,（即：在应力边界上变分应为零）。,变化后应力状态：,（2）应力变分方程,都满足平衡方程,并作用于同样的体力，,将其分别代入平衡微分方程，并进行比较，应有：,（a）,张量表示,在位移给定的边界上，,由于应力的变分必然引起该边界上面力的变分：,由边界上应力与边界面间关系，在位移给定边界上，应有：,（b）,张量表示,由形变余能的变分：,利用奥-高公式，将上式每一项作变换，如：,将其代入应变余能的变分，并整理有：,得到：,（11-18）,上式表明：,由于应力的变分，形变余能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功（虚功）。,应
27、力变分方程，,也称Castigliano变分方程。,说明：,（1）,要求应力的变分满足：,平衡微分方程；,应力边界条件；,（2）,由位移变分方程：,可得；右边的积分仅当在给定非零位移的边界上才不为零；而在应力边界和固定位移边界均为零。,（3）,实际存在的应力应满足：,（1）平衡方程；,（2）相容方程；,（3）应力边界条件；,（4）位移边界条件。,（1）平衡方程；,（2）应力边界条件；,（3）应力变分方程,可见：,应力变分方程,（1）相容方程；,（2）位移边界条件。,特别当位移边界为固定边界时，,应力变分方程等价于相容方程，且有：,3.最小余能原理,将应力变分方程：,改写为：,（c）,在要积分的
28、边界上，位移是给定的，其变分恒为零，上式可写为,（d）,式中：,U*为形变余能；,外力余能；,总余能；,于是式（d）可写成：,（d）,上式表明：,在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。,最小余能原理,最小余能原理：是应力变分方程的一个应用，等价于弹性体的相容方程与位移边界条件。,说明：,应力变分方程或最小余能原理，仅限于单连体问题。,对于多连体问题，还需考虑位移单值条件，而在应力变分方程中考虑位移单值是非常复杂的问题。,11-6 应力变分法,1.应力分量的设定,以应力为未知量的近似解法,满足平衡微分方程
29、；,应力分量设定的要求：,满足应力边界条件。,帕普考维奇应力分量设定：,（11-19）,其中：,（1）Am 为互不相关的 m 个系数；,平衡方程与应力边界条件的设定函数；,为满足,（2）,（3）,为满足,“没有面力与体力作用时的平衡方程与应力边界条件”的设定函数；,此时应力的变分仅由系数 Am 的变分实现。,2.应力变分法方程,（1）弹性体的位移边界为固定边界,此时，应力变分方程为：,将设定应力分量代入形变余能表达式：,将其代入应力变分方程，有：,由于 Am为互相独立，且任意，有：,（11-20）,由此得到 m 个线性方程，可确定m个系数Am。,（2）弹性体具有给定的非零位移边界条件,（2）弹
30、性体具有给定的非零位移边界条件,此时，应力变分方程为：,（a）,式中：,u、v、w 为已知函数；,而非零位移边界条件上的面力变分：,可由边界上应力应满足的条件确定：,（b）,将设定的应力分量式（11-19）代入上式，并积分式（a）的右边，得：,（c）,式中：Bm 为积分所得的常数。,而式（a）左边为：,（d）,由式（c）、（d）、（a）可得：,由于 Am为互相独立，且任意，所以有：,（e）,式（c）仍为一 m 阶的线性方程组，可求解出 m 个系数 Am，,将系数 Am代回应力分量设定式（11-19），即得所求的应力。,说明：,（1）如果无位移被给定，且不等于零的边界，则所有的 Bm 都为零，此
31、时式（e）简化为：,（2）要求设定的应力分量既满足平衡微分方程、又满足应力边界条件，往往比较困难。,但若某些问题存在应力函数，,由于应力函数表示的应力分量已满足平衡微分方程，所以，假设的应力分量只需满足应力边界条件即可。,11-7 应力变分法应于平面问题,1.应力函数的设定,对于平面问题，如果体力为常量，则存在应力函数，使得应力表示为：,（a）,根据问题的应力边界条件、及应力分量与应力函数 的关系，可将应力函数 设为：,（11-21）,其中：,Am 为互不相关的 m 个系数；,0 给出应力分量实际满足的 应力边界条件；,m 给出应力分量满足的无面力的应力边界条件；,2.形变余能的计算,（1）平
32、面应力问题,对于平面应力问题，有：,且不随坐标 z 变化。,限于考虑线弹性问题,在 z 方向取单位厚度，则有：,（11-22）,（2）平面应变问题,（11-23）,（3）平面单连体问题,无论是平面应力问题还是平面应变问题，两者的应力分量x、y、xy 均与材料常数无关，不妨取=0，此时平面问题的形变余能可用统一的形式：,将上式中的应力分量用应力函数 表示，有,（11-24）,3.应力变分方程,对于应力边界条件问题，面力的变分恒为零，所以有：,将式（11-24）代入，得,（11-25）,单连体、应力边界条件问题应力变分方程,由上述方程可决定全部的待定系数 Am。,例：,图示矩形板或长柱，体力不计，
33、在两对边上受有按抛物线分布的拉应力，其最大集度为 q，其边界条件为：,求弹性体中的应力。,解：,设定应力函数,先设：,则：,显然，0 可以满足全部的应力边界条件。,为使m 满足无面力的应力边界条件，可取m具有因子：,或：,显然有：,由此可知，应力函数 可取：,若在式只取一个系数，则 为：,（b）,（c）,（c）,由应力变分方程或最小余能原理，确定待定常数,将式（c）代入，积分得：,对正方形的薄板或长柱，取 b/a=1，可求得：,将其代入式（c），并取 b/a=1，可求得应力分量：,薄板或长柱中心（x=y=0）处的应力：,较精确的解约为:,若要求得较精确的解，需在式（b）中取较多系数项。,解题步
34、骤小结：,（1）确定应力函数 的形式,由应力边界条件、应力函数与应力分量间的关系来设定。,（2）确定应力函数 中的待定系数,由应力变分方程或最小势能原理确定。,（3）计算应力分量,例：,设平面应力问题，全部边界上为给定应力边界条件，不计体力。试用最小余能原理证明Airy应力函数（x，y）满足双调和方程：,证：,计算系统的总余能：,因为，全部边界为应力边界条件，不计体力，所以其外力余能为零。系统的总余能就等于物体的形变余能：,（a）,（a）,计算总余能变分，并使其等于零,在应力边界上，有：,即：,利用奥高公式，有：,对上式中每一项进行分部积分，有：,因为在边界上，有：,在域内，,所以，有，,11
35、-8 应力变分法应于扭转问题,1.扭转应力变分方程,等截面直杆的扭转问题中，存在应力函数，横截面剪应力可表示为：,形变余能 及其变分,式中：函数 为 Prandtl 应力函数。,将其代入形变余能计算式：,应力函数 仅为x、y 的函数，可将上述积分变为：,其中：L为杆的长度；G为剪切弹性模量。,（a）,外力的功及其变分,扭转杆件侧面上无外力，因而不存在面力的功。在两端作用有方向相反的两扭矩 M，两端的相对转角为：KL，则面力在位移上的功为：W=MKL,由上一章的结果：,得外力的功为：,外力的功的变分为：,（b）,扭转变分方程,将式（a）（b）代入变分方程，有：,扭转变分方程,将式（a）（b）代入
36、变分方程，有：,或：,（c）,以上两式即为扭转问题的变分方程或最小余能原理。,（1）式（c）中：,扭转问题的总余能,说明：,（2）式（c）中的应力函数 已满足了两端的边界条件。,2.扭转问题的变分方法,由于扭转应力函数 要求在边界上的值等于零，其形式可设为：,其中：Am 为互不相关的 m 个系数。,为使应力函数 在边界上的值等于零，必须要求函数 m 都在横截面的边界上的值为零。,将 代入扭转变分方程，注意到其变分是由系数 Am 的,变分来实现的，所以有：,（11-26）,得到一 m 阶的线性方程组，恰好可用来 m 个系数 Am。,例：,图示矩形扭转杆，材料的剪切弹模为G。试求其单位长度扭转角，
37、剪应力等。,解：,设定扭转应力函数,矩形四根边界线的方程：,为满足 在边界上的值为零，可取：,（d）,由截面的对称性，或薄膜比拟，应力函数 应为 x、y 的偶数，所以，式中 m、n 都只需取为偶数。,对正方形截面杆（b=a），若在（d）中只取一项（m=n=0）,则有,对正方形截面杆（b=a），若在（d）中只取一项（m=n=0）,则有,代入式（11-26）有：,（11-26）,代入扭转变分方程确定待定系数,经积分运算，得：,从而，有：,（e）,由公式（10-5）：,有：,由此求得：,对照式（10-21）：,有：,的精确值：0.141，,相差：0.14%。,两者仅,将求得的 K 代入式（e），有：
38、,对照式（10-22）：,由公式（10-2），可求得应力分量：,精确值为：0.208,相差：6.8%。,两者,如果要得更精确的解，需在式（d）中较多的系数项。如：,进行与上相同的运算，得到：,由此算出的单位扭转角 K 比精确值只小0.14%；最大剪应力max比精确值只大出4%。,11-9 解答的唯一性,1.问题的提出,弹性力学问题的求解方法与途径：,（1）解析解：,就所取未知量，有：,按应力求解；,按位移求解；,就所用坐标系，有：,直角坐标求解；,极坐标求解；,就解的函数形式，有：,多项解；,级数解；,其它函数解；,复变函数解；,（2）数值解：,有限差分解（FDM）；,有限单元法（FEM）；,
39、边界单元法（BEM）；,离散单元法（UDEC）；,不同方法、不同途径得到的不同形式的解，其数值是否唯一？,2.解答的唯一性及其证明,相应于一定的体力和边界条件，某一弹性力学问题的解是唯一的。,也称解的唯一性定理。,解的唯一性定理证明：,（反证法）,假设：,在一定的体力、面力、边界条件下，某个弹性力学问题存在两组解：,（1）,（2）,考察这两组解是否相同？,它们都为同一问题的解，应满足相的平衡方程和边界条件。,对于第一组解，有：,对于第一组解，类似有：,将上述两组不同的解方程两边分相减，有：,可见：两组不同的解的差，对应的状态为：,这就证明了弹性力学解的唯一性。,等价于：该弹性体无外力作功，总形
40、变势能为零，即：,因为，物体的形变势能恒为非负，所以，两组解的差对应的是零解。,表明：,上述两组解答必须相同。,该弹性体不受体力、面力、边界位移均为零的状态。,11-10 功的互等定理,1.功的互等定理,设某一弹性体（位移边界条件相同），具有两种受力状态。,第一种状态：,外力：,应力：,应变：,位移：,第二种状态：,外力：,应力：,应变：,位移：,计算第一种状态的外力，在第二种状态位移上所做的功：,（a）,利用应力边界条件，有,利用奥高公式，有：,将其它各项也作类似处理，有：,将其它各项也作类似处理，有：,代入式（a）：,（a）,（c）,同理，可计算第二种状态的外力，在第一种状态位移上所做的功
41、：,（d）,将以上两式均用应变分量表示：,其中：,比较以上两式，显然有：,表明：,第一状态的外力，在第二种状态的位移上所作的功，等于第二种的外力在第一种状态的位移上所作的功。,称为功的互等定理,2.功的互等定理的应用,主要用于某些弹性体的整体变形,如：求图（a）中杆的伸长。,杆的抗拉刚度：EA，,泊松比：。,由功的互等定理，有：,而,由此可求得：,需要指出的是：,此杆的伸长量与杆的截面形状无关；与杆的长度无关。,如：求图示弹性体，在一对力P作用下，体积的变化。（弹性模量 E、泊松比 已知）。,由功的互等定理，有：,在三向等压状态下，,V的值：与物体的形状无关，仅与力 P 作用点间的距离 l 有
42、关,与物体的材料常数有关。,本 章 小 结,一、基本概念与基本量,（1）形变势能U、比能U 1；,（2）形变余能U*、比余能U*1；,（3）总势能；,（4）总余能*；,上述各量的计算。,二、变分方程与变分原理,（1）,位移变分方程；,虚功方程；,最小势能原理；,伽辽金变分方程；,（2）,应力变分方程；,最小余能原理；,三、求解弹性力学问题的变分法,（1）Ritz 法；,（2）最小势能原理；,（3）伽辽金法；,（1）应力变分法；,（2）最小余能原理；,如何设定位移函数？,如何设定应力函数？,四、弹性力学两个基本定理,（1）解的唯一性定理；,（2）功的互等定理；,Ritz 法解题步骤：,（1）假设
43、位移函数，使其位移边界条件；,（2）计算形变势能 U；,（3）代入Ritz 法方程求解待定系数；,（4）回代求解位移、应力等。,用最小势能原理解题步骤：,（1）假设位移函数，使其位移边界条件；,（2）计算系统的总势能；,（3）由最小势能原理：=0，确定待定系数；,（4）回代求解位移、应力等。,用应力变分法解题步骤：,（1）假设满足应力边界条件的应力函数；,（2）计算系统的形变余能U*；,（3）代入应力变分法方程确定待定系数；,（4）回代求出应力分量。,在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程：,用最小余能原理解题步骤：,（1）假设满足应力边界条件的应力函数；,（2）求系统的总余能*；,（3）由最小余能原理：*=0，确定待定系数；,（4）回代求解出应力。,总势能；,总余能；,作 业,113，114，115,作业：,111,1.,试利用位移变分方程或最小势能原理，导出平面应力问题的平衡微分方程和应力边界条件。,EI,图示简支梁，受均布载荷 q 作用，试求的梁的挠曲线方程。,取近似挠曲线方程：,2.,补充题：,（11-10）,Ritz 法方程,（11-11）,伽辽金（Galerkin）法方程,（11-6）,位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程：,虚功方程：,最小势能原理,伽辽金（Galerkin）变分方程,
