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1、第二章 质点力学中的守恒定律,2-1 功和功率,功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间积累作用。,功的定义：,在力 的作用下，物体发生了位移，则把力在位移方向的分力与位移 的乘积称为功。,国际单位：焦耳（J）Nm,质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力 所作的功。,元功：,合力的功：,结论：,合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和。,在直角坐标系Oxyz中,功率是反映作功快慢程度的物理量。,功率：,单位时间内所作的功。,平均功率：,瞬时功率：,瓦特（W）=（J/s）,例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F=6t N。如果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作了多少
2、功？,解：,两边积分：,2-2 动能和动能定理,动能：,质点因有速度而具有的作功本领。,单位：（J）,设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点,元功：,1质点动能定理,总功：,质点的动能定理：,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,2-3 势能 机械能守恒定律,一.保守力做功1.重力做功,初始位置,末了位置,重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。,2.万有引力作功,设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M 的引力场中从a点运动到b点。,万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。,3.弹性力的功,由胡克定律：,弹性力作功只与弹簧的起始和终了
3、位置有关，而与弹性变形的过程无关。,4.保守力：,作功与路径无关，只与始末位置有关的力。,保守力的特点：,保守力沿任何闭合路径作功等于零。,证明：,设保守力沿闭合路径acbda作功,按保守力的特点：,因为：,所以：,证毕,1.保守力的功与势能的关系：,物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与 Epb之差，等于质点由a点移动到b点过程中保守力所做的功Wab。,保守力做功在数值上等于系统势能增量的负值。,二.势能,由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能,说明：,（1）势能是一个系统的属性。,（3）势能的零点可以任意选取。,设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点 r的势能为：,结论：,空间某点的
4、势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。,2.重力势能：,（地面（h=0）为势能零点）,（弹簧平衡位置处为势能零点）,引力势能：,（无限远处为势能零点）,弹性势能：,保守力与势能的积分关系：,保守力与势能的微分关系：,因为：,所以：,保守力的矢量式：,保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。,结论：,三质点系的动能定理,一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。,质点的动能定理：,对系统内所有质点求和,质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。,质点系的动能定理：,内力做功可以改变系统的总动
5、能。,值得注意：,机械能守恒定律,质点系的动能定理：,其中,机械能,质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。,质点系的功能原理,机械能守恒,当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。,机械能守恒定律,注意：,（1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能作功。,（2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。,例3.传送带沿斜面向上运行速度为v=1m/s，设物料无初速地每秒钟落到传送带下端的质量为M=50kg/s，并被输送到高
6、度h=5m处，求配置的电动机所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）,解：,在t 时间内，质量为Mt 的物料落到皮带上，并获得速度v。,t内系统动能的增量：,重力做功：,电动机对系统做的功：,由动能定理：,例4.一长度为2l的均质链条，平衡地悬挂在一光滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）,解,设单位长度的质量为,始末两态的中心分别为c和c,机械能守恒：,解得,例5.计算第一，第二宇宙速度,1.第一宇宙速度,已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为v1，绕地球
7、的运动速度为v。,机械能守恒：,由万有引力定律和牛顿定律：,解方程组，得：,代入上式，得：,2.第二宇宙速度,宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度,（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少 等于零。,由机械能守恒定律：,解得：,（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。,例2 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？,解,设铁锤敲打钉子前的速度为v0，敲打后两者的共同速度为v。,铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，
8、设钉子所受阻力大小为：,由动能定理，有：,设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为S，则有,化简后,第二次能敲入的深度为：,2-5 动量守恒定律,一.动量,车辆超载容易引发交通事故,车辆超速容易引发交通事故,结论：物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体的质量有关。,动量：运动质点的质量与速度的乘积。,单位：kgms-1,由n个质点所构成的质点系的动量：,二.动量定理,1质点的动量定理,运动员在投掷标枪时，伸直手臂，尽可能的延长手对标枪的作用时间，以提高标枪出手时的速度。,冲量是反映力对时间的累积效应。,冲量：作用力与作用时间的乘积。,恒力的冲量：,变力的冲量：,单位：Ns,牛顿运动定律：,动量定理的
9、微分式：,如果力的作用时间从，质点动量从,质点动量定理：,质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。,说明：,（1）冲量的方向 与动量增量 的方向一致。,平均冲力：,结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体受到的平均冲力越小；反之则越大。,海绵垫子可以延长运动员下落时与其接触的时间，这样就减小了地面对人的冲击力。,2质点系的动量定理,设 有n个质点构成一个系统,第i个质点：,外力,内力,初速度,末速度,质量,由质点动量定理：,其中：,系统总末动量：,系统总初动量：,合外力的冲量：,系统总末动量：,系统总初动量：,质点系的动量定理：,微分式：,质点系统所受合外力的冲量等于系
10、统总动量的增量。,注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。,例1、质量m=1kg的质点从o点开始沿半径R=2m的圆周运动。以o点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为 m。试求从 s到 s这段时间内质点所受合外力的冲量。,解：,例5.一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F=400-4105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I。（3）子弹的质量。,解：,（1）,（2）,（3）,三.动量守恒定律,质点系的动量定：,有,系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。,条件：,动量守恒定
11、律：,说明：,（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。,（2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）,动量守恒的分量式：,动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。,2-7 碰撞,动量守恒,完全弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能没有损失。,非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失。,完全非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失，且碰撞后物体以同一速度运动。,1.完全弹性碰撞,(1)如果m1=m2，则v1=v20，v2=v10，即两物体在碰撞时速度发生了交换。,(2)如果v
12、20=0,且 m2 m1,则v1=-v10,v2=0,2完全非弹性碰撞,由动量守恒定律,完全非弹性碰撞中动能的损失,牛顿的碰撞定律：在一维对心碰撞中，碰撞后两物体的分离速度 v2-v1 与碰撞前两物体的接近速度 v10-v20 成正比，比值由两物体的材料性质决定。,3非弹性碰撞,e 为恢复系数,e=0，则v2=v1，为完全非弹性碰撞。,e=1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。,一般非弹性碰撞碰撞：0 e 1,2-8 角动量守恒定律,设：t时刻质点的位矢,质点的动量,运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：,单位：Kg m2s-1,一.质点的角动量,角动量大小：,角动量的方向：矢经 和动
13、量 的矢积方向,如果质点绕参考点O作圆周运动,角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点O的位置有关。,注意：,质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影，称为质点对轴线的角动量。,质点系的角动量,设各质点对O点的位矢分别为,动量分别为,二.力矩,质点的角动量 随时间的变化率为,1力对参考点的力矩,式中,质点角动量的改变不仅与所受的作用力 有关，而且与参考点O到质点的位矢 有关。,定义：外力 对参考点O的力矩：,力矩的大小：,力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于 和确定的平面。,设作用于质点系的作用力分别为：,相对于参考点O的合力矩为：,三.角动量定理 角动量守恒定律,质点的角动量定理：,质
14、点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。,角动量定理的积分式：,称为“冲量矩”,质点系的角动量：,两边对时间求导：,上式中,上式中,合内力矩为零,质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。,质点系角动量定理：,质点系角动量定理的积分式：,作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内的角动量的增量。,如果,则,质点或质点系的角动量守恒定律：,当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。,质点系对z 轴的角动量守恒定律：,系统所受外力对z轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒
15、。,角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。,证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等。,有心力作用下角动量守恒,证毕,证,2-5 守恒定律和对称性,例3、火箭以2.5103m/s的速率水平飞行，由控制器使火箭分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭的平均速率为103 m/s。火箭容器仓质量m2=200kg。求容器仓和头部仓相对于地面的速率。,解：,v=2.5103 m/s,vr=103 m/s,设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2,例4.宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为。如果质量为mo的飞船以初速vo穿过尘埃，由于尘埃粘在飞船上，致使飞船速
16、度发生变化。求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为S的圆柱体）,解：,某时刻飞船速度：v，质量：m,动量守恒：,质量增量：,2-2-4 火箭飞行原理,设：t 时刻：火箭的质量为M，速度为v；t+dt 时刻：火箭的质量为M+dM 速度为v+dv 喷出气体的质量为-dM 相对于火箭的速度为ur,略去二阶无穷小量,壳体本身的质量为M1，燃料耗尽时火箭的速度为,为质量比,多级火箭：,一级火箭速率：,设各级火箭的质量比分别为N1、N2、N3、,二级火箭速率：,三级火箭速率：,三级火箭所能达到的速率为：,设，N1=N2=N3=3,得,这个速率已超过了第一宇宙速度。,2-2-5 质
17、心与质心运动定理,1质心,设由n个质点构成一质点系 质量：m1、m2、mn，位矢：、,质心位置的分量式：,连续体的质心位置：,对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何中心。,说明：,2质心运动定理,质心位置公式：,结论：,质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。,由质点系动量定理的微分式可得：,质心运动定理：,作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积。,质心的两个重要性质：,例3.有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。,解
18、：,在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。,如果系统的状态在某种操作下保持不变，则称该系统对于这一操作具有对称性。,如果某一物理现象或规律在某一变换下保持不变，则称该现象或规律具有该变换所对应的对称性。,物理学中最常见的对称操作：,时间操作：时间平移、时间反演等；,空间操作：空间平移、旋转、镜像反射、空间反演等。,时空操作：伽利略变换、洛仑兹变换等。,1空间的对称性及其操作,（1）空间平移操作,系统具有空间平移对称性。,（2）空间反演操作,空间反演操作下不变的系统具有对O点的对称性。,（3）镜像反射操作,（4）空间旋转（球对称）操作,在此操作下系统
19、称具有球对称性。,保持不变,（5）空间旋转（轴对称）操作,保持不变,对绕 z 轴作任意旋转都不变的系统具有轴对称性。,2时间的对称性及其操作,（1）时间平移操作,，系统不变,例如,系统作周期性变化,（2）时间反演操作,系统具有时间反演对称性。,3时空的对称性操作,物理规律对对于某一变换（也是一个时空联合操作）具有不变性。,如果对于某个物理学系统的运动施加限制（比如，施加外力或外力矩作用等），从而导致该系统原有的某些对称性遭到破坏，物理上称这种情况为对称性破缺。,4对称性破缺,2-5 守恒定律和对称性,每一种对称性均对应于一个物理量的守恒律；反之，每一种守恒律均对应于一种对称性。,诺特定理：,1动量守恒与空间平移对称性,空间平移对称性反映了空间的均匀性质。,系统势能的增加量为,根据空间平移的对称性，应有：,因此,即,2角动量守恒与空间旋转对称性,空间的旋转对称性反映了空间的各向同性。,旋转前后系统势能的增量为,由空间的旋转对称性，有,角动量守恒,3能量守恒与时间平移对称性,时间平移对称性反映了时间的均匀性。,在保守系统中：,根据动能定理,因此,机械能守恒定律,
