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1、差分方程：,差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。,差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。,应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的
2、实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。,差分方程建模：,在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映
3、所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。,过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。,差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的
4、理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等,简单例子,例1:汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A上，大的在下，小的在上，现要将n个盘移到空桩B或C上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A也可利用，设移动n个盘的次数为，试建立关于的差分方程。,例2 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两 月长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌 雄各一的一对小兔，
5、新增小兔也按此规律繁殖，设共有对，试建立关于第n月末兔子对数的差分方程。,解:因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数。故,称为fibonacci数列。,对于k阶差分方程,F(n;xn,xn-1,xn-k)=0(4-6),若有xn=x(n),满足,F(n;x(n),x(n-1),x(n-k)=0,则称xn=x(n)是差分方程(4-6)的解,包含k个任意常数的解称为(4-6)的通解,x0,x1,xk-1为已知时称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解.,差分方程模型,若x0,x1,xk
6、1已知，则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.,若有常数a是差分方程(4-6)的解，即,F(n;a,a,a)=0,则称 a是差分方程(4-6)的平衡点.又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解 xn=x(n)都有xna(n),则称这个平衡点a是稳定的.,差分方程模型,一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中a,b为常数，且a-1,0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当|a|1时，b/(a+1)是稳定的平衡点.,差分方程模型,二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bx
7、n=r,其中a,b,r为常数.,当r=0时，它有一特解x*=0；当r 0，且a+b+1 0时，它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形，x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2.,差分方程模型,当1,2 是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当1,2=是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2 n)n;,则,差分方程模型,当1,2=(cos+i sin)是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn+C2sinn).易知，当且仅当特征方程的任一特征根
8、|i|1时,平衡点x*是稳定的.,差分方程模型,对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn),其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,差分方程模型,1 最优捕鱼策略问题2 市场经济中的蛛网模型3 减肥计划节食与运动4 差分形式的阻滞增长模型5 按年龄分组的种群增长,应用举例,最优捕鱼策略,一、问题的提出 1996年全国大学生数学建模竞赛的A题：为保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业等资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕捞策略：,假设
9、这种鱼分4个年龄组：称一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼、四龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105（个），3龄鱼产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为（1龄鱼条数与产卵总量n之比）1.221011/(1.221011+n）。,渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期的前8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群
10、条数成正比，比例系数不防称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。,（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重量）。（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。（3）已知承包时各年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才能使总收获量最高。,二、模型假设,1.假设只考虑一种鱼的繁殖和
11、捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。,2.假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生。,3.假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄鱼不产卵，但平均产卵量掩盖了这一差异。,4.假设产卵期鱼的自然死亡率发生于产卵之后。,5.假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组，但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼。,6.假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的 捕捞强度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行。,三、符号说明,四、问题分析及数学模型,在t，t+t内，根据死亡率的定义（单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比），由于不捕捞1、2龄鱼，所以,即,所以
12、,对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此，前8个月，捕捞与死亡均影响鱼的变化，因而模型改为为：,其中,所以,得到1、2龄鱼k年末的数量为,对于3，4龄鱼，在第8个月末数量,在后4个月，对于3、4龄鱼，只有死亡率起作用，因而,解得：,因而，3、4龄在k年末的数量为,得到在k年底各龄鱼的数量为:,由假设，到年底第i龄鱼全部转化为i+1龄鱼（i=1，2，3），同时由卵孵化产生1龄鱼，于是得到,其中,为,年度总产卵量.,此外，我们还求得每年对3、4龄鱼的总捕捞重量为：,其中,五、模型的分析与计算,为了实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），即要求,在此前提下获得最高年收获量。
13、结合基本模型，即可得到年度产量最优模型。,利用,也就是,等与时间k无关，,化简得,下面给出MATLAB计算程序：%最优捕鱼策略ch431%文件名：ch431.mx=sym(x);b3=0.42*x;d=1.22*1011;r=0.8;q=d*exp(-(3*r+2/3*b3)*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x);N10=d*q/(d+q);N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*b3)/(1-exp(-(r+2/3*x);a3=b3/(r+b3)*(1-exp(-2/3*(r+b3)*d*q/(d+q)*
14、exp(-2*r);a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*b3)/(1-exp(-(r+2/3*x);,M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M;M10=char(M);M11=char(M1);fplot(M10,0,100)b4=fmin(M11,0,100);b3=0.42*b4;d=1.22*1011;r=0.8;q=d*exp(-(3*r+2/3*b3)*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*b4)/(1-exp(-(r+2/3*b4);N10=d*q/
15、(d+q);N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*b3)/(1-exp(-(r+2/3*b4);a3=b3/(r+b3)*(1-exp(-2/3*(r+b3)*d*q/(d+q)*exp(-2*r);,a4=b4/(r+b4)*(1-exp(-2/3*(r+b4)*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*b3)/(1-exp(-(r+2/3*b4);M3=17.86;M4=22.99;b3b4M=M3*a3+M4*a4;Max=MN1=N10%各年龄组鱼的数量N2=N1*exp(-r)N3=N2*exp(-r)N4=N40,执行后输出,b3=7.3359b4=17.4
16、664 Max=3.8886e+011各年龄组数为N1=1.1958e+011N2=5.3730e+010N3=2.4142e+010N4=8.1544e+007,2 市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0)平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0,设x1偏离x0,x
17、1,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,曲线斜率,蛛 网 模 型,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,商品数量减少1单位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,(下时段)供应的增量,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,结果解释,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1.使 尽量小，如=0,以行政手段控制价格不变,2.使 尽量小，如=0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,
18、生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件,方程通解,(c1,c2由初始条件确定),1,2特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即k,xkx0的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,3 减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食（吸收热量）引起体重增加,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少,体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525 超重;BMI3
19、0 肥胖.,模型假设,1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克；,2）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；,3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。,某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。,第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,2）若要加快进程
20、，第二阶段增加运动，试安排计划。,1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。,减肥计划,3）给出达到目标后维持体重的方案。,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k)第k周(末)体重,c(k)第k周吸收热量,代谢消耗系数(因人而异),1）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡 w=100千克不变,第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡,第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克,吸收热量为,1）不运动情况的两阶段减肥计划,第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,1）不运动情况的两阶段
21、减肥计划,基本模型,第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按 减少至75千克。,运动 t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。,2）第二阶段增加运动的减肥计划,t每周运动时间(小时),3）达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变,不运动,运动(内容同前),4 差分形式的阻滞增长模型,连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型),t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关),离散形式,x(t)某种群 t 时刻的数量(人口),yk 某种群第k代的数量(人口),若yk=N
22、,则yk+1,yk+2,=N,讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？,y*=N 是平衡点,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性,一阶(非线性)差分方程,(1)的平衡点y*=N,讨论 x*的稳定性,变量代换,(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根,稳定性判断,(1)的近似线性方程,x*也是(2)的平衡点,x*是(2)和(1)的稳定平衡点,x*是(2)和(1)的不稳定平衡点,补充知识,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,另一平衡点为 x=0,不稳定,的平衡点及其稳定性,初值 x0=0.2,数值计算结果,b 3,x,b=3.3,x两个极限点,b=3.45,x4个极限点,b=3.55,x8个极限
23、点,倍周期收敛x*不稳定情况的进一步讨论,单周期不收敛,2倍周期收敛,(*)的平衡点,x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性,倍周期收敛,的稳定性,倍周期收敛的进一步讨论,出现4个收敛子序列 x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3,平衡点及其稳定性需研究,时有4个稳定平衡点,2n倍周期收敛,n=1,2,bn 2n倍周期收敛的上界,b0=3,b1=3.449,b2=3.544,n,bn3.57,b3.57,不存在任何收敛子序列,的收敛、分岔及混沌现象,b,5 按年龄分组的种群增长,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按年龄大小等分为
24、n个年龄组，记i=1,2,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-di,假设与建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),稳定状态分析的数学知识,L矩阵存在正单特征根1，,若L矩阵存在bi,bi+10,则,P的第1列是x*,特征向量,解释,L对角化,稳态分析k充分大种群按年龄组的分布,种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布,与初始分布无关。,各年龄组种群数量按同一倍数增减，称固有增长率,3）=1时,各年龄组种群数量不变,1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1,稳态分析,存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比,（与si 的定义 比较）,3）=1时,
