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1、1,二、平面问题有限单元法,有限元法分析问题的主要步骤：,连续体离散化,单元分析,整体分析,三角形单元,位移函数：,矩阵形式：,A为三角形单元的面积,代入水平位移分量和结点坐标:,可逆矩阵,伴随矩阵。将其行列式中各元素的代数余子式按行列式中各元素的顺序排列成方阵，再转置后得的方阵。,行列式。其值为面积的2倍。,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,T的伴随矩阵,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,将垂直位移分量和结点坐标代入,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,1、在单元结点
2、上形态函数的值为1或为0。,2、在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1。,3、三角形单元在单元边界上的形函数与第三个顶点的坐标无关,(i,j,m 轮换),形态函数性质,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,2）、单元载荷移置,移植载荷遵循的原则:,非结点载荷移植到结点上,虚功等效原则,是指原载荷与结点载荷在任何虚位移上所做的虚功二者相等,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,单元的虚位移表示方法(线位移),结点载荷,实移位,虚位移,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,(1)集中载荷移植,由虚功等效原则,结点力作功,外力作功,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平
3、面问题,移植到结点上等效结点力,集中力,i,例题1：在均质、等厚的三角形单元ijm的任意一点o（0.4a，0.4a）上作用有集中载荷P=100N，与水平方向成=45，求单元的等效结点载荷。,1）求形函数矩阵,解：,等腰直角三角形的面积A为：,2）求单元等效结点载荷,(2)体力的移植,令单元所受的均匀分布力为,由虚功等效原则,结点力作功,体力作功,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,（3）分布面力的移植,结点力作功,面力作功,由虚功等效原则,例:均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，ij边上作用有沿y轴负方向呈三角形分布的载荷，载荷密度最大值为q,单元的厚度为t，试求单元的等
4、效结点载荷。,S,（i，j，m轮换）,将i，j，m的坐标代入得：,（1分）,形函数矩阵为：,解：,(1）、计算形函数：,(2）、计算等效节点载荷：,在边界jm和mi上的面力为零，所以上式第二项和第三项积分应等于零。在边界ij上的面力为:,qy,因为积分沿逆时针方向，所以有ds=dx,3）、由结点位移求单元的应变,根据单元的位移函数,由几何方程可以得到单元的应变表达式:,B矩阵称为几何矩阵,(i,j,m 轮换),第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,B矩阵可以表示为分块矩阵的形式,B矩阵称为几何矩阵 或应变转换矩阵。,(i,j,m 轮换),称为应变矩阵,由于线性位移函数，应变矩阵为常数矩
5、阵。因而单元中的应力与应变为常数，称这种单元为常应变单元。,4）、由结点位移求单元应力,由物理方程得：,D称为弹性矩阵,平面应力问题,称为弹性矩阵,5）、由结点位移求单元结点力,外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生虚位移，则所有外力在虚位移上做的虚功等于内应力在虚应变上做的虚功。,单元的结点力记为：,单元的虚应变为：,单元的外力虚功为：,单元的内力虚功为：,虚功原理：,由虚功原理得：,外力虚功,内力虚功,*,第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题,定义为单元刚度矩阵。,在3结点等厚三角形单元中B和D均为常量，则单元刚度矩阵可以表示为：,6）、单元刚度矩阵,第三章 用常应变三角形单元解
6、弹性力学平面问题,单元刚度矩阵表示为分块矩阵,r=i,j,m s=i,j,m,单元刚度矩阵的性质:,（1）对称性,（2）奇异性,称为弹性矩阵,总结,称为应变矩阵,单元刚度矩阵,1、均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，jm边上作用有沿y轴负方向按三角形分布的载荷，单元的厚度为1，求单元的等效结点载荷。,2023/2/8,将i，j，m的坐标代入得：,1、三角形面积:,2、计算形函数：,解:,3、计算等效节点载荷：,在边界ij和mi上的面力为零，所以上式第一项和第三项积分应等于零。,因为积分沿逆时针方向，x=1-s，s=1-x所以有ds=-dx,例2：均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐
7、标如图所示，ij边上作用有沿x轴负方向均匀分布的载荷q，单元的厚度为t，求单元等效结点载荷。（本小题15分）,2023/2/8,例3：均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，mi边上作用有沿y轴负方向均布的载荷，载荷密度为q，单元的厚度为t，试求单元的等效结点载荷.,4.在均质、等厚的三角形单元ijm坐标如图所示，单元的厚度为t，在ij边上作用呈三角形分布的载荷，载荷密度最大值为q，试计算单元的等效结点载荷.,2、如图所示三角形单元的结点坐标，单元的厚度为t,材料的弹性模量为E，泊松比，试求该单元的刚度矩阵.,3、一平面三角形薄板构件，离散为2个单元4个节点，如图所示。已知单元的编码顺序为（1，2，3），单元的编码顺序为（3，4，1）。试分别写出：（1）单元的分块刚度矩阵；（2）单元的分块刚度矩阵；（3）总刚矩阵的分块矩阵表达式.,
