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1、弹性力学课程总结与复习,一、弹性力学问题研究的基本框架：,弹性力学问题,基本假设与基本量,5个基本假设；,15个基本量：,基本原理,平衡原理,能量原理,（单元体）,（整体）,基本方程,控制微分方程（15个）,边界条件（6个）,平衡微分方程（3个）：,几何方程（6个）：,物理方程（6个）：,应力边界条件（3个）：,位移边界条件（3个）：,数学上构成偏微分方程的定解问题,求解方法,函数解,精确解；,近似解；,（如：基于能量原理的解）,数值解,（如：有限差分法、有限单元法等）,实验方法,二、弹性力学平面问题的求解,（1）按未知量的性质分：,按位移求解；,按应力求解；,（2）按采用的坐标系分：,直角坐
2、标解答；,极坐标解答；,（3）按采用的函数类型分：,级数解；,初等函数解；,复变函数解；,1.平面问题的求解方法,逆解法；,半逆解法；,2.平面问题求解的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（2-23）,（3）边界条件：,（平面应力情形）,（1）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。,（2）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。,说明：,3.常体力下平面问题求解的基本方程与步骤：,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足
3、应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,直角坐标下,（1）,由问题的条件求出满足式（46）的应力函数,（46）,（2）,由式（45）求出相应的应力分量：,（45）,（3）,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,极坐标下,4.平面问题Airy应力函数 的选取：,直角坐标下,习题：3-1，3 2，3 3，3-4,p,极坐标下,（1）轴对称问题,（411）,应力函数,应力分量,位移分量,式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。,（2）圆孔的孔边应力集中问题,（3）楔形体问题,由因次法确定 应力函数的分离变量形式,（1）楔顶
4、受集中力偶,（2）楔顶受集中力,（3）楔形体一侧受分布力,（4）曲梁问题,其中：q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。M，Q分别为梁截面上弯矩与剪力。,结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：,（5）半平面问题,利用叠加法求解,练习：,（1）试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 与剪应力 间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。,（2）z 方向（垂直于板面）很长的正六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。,（3）有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为 t，两端受相等相反
5、的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,（4）已知圆环在 r=a 的内边界上被固定，在 r=b 的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。,平面问题复变函数方法的求解思路,复变函数方法 应力函数法,将寻求应力函数 U 的问题转化为寻求两个解析函数 的问题,利用保角变换，将求解的区域 D 变换为一个中心单位圆域；再利用解析函数在闭环上的积分性质，求出。,（1）,（2）,（3）,应力函数、应力分量、位移分量、边界条件的复变函数表示,（5-5）,（1）,（2）,其中：,5.平面问题的复变函数 解法,（3）,（
6、5-10）,（5-12）,应力边界条件的复变函数表示,（5-13）,位移边界条件的复变函数表示,（4）,多连体及无限大多连体中，结构特点,（1）一般多连体：,其中：,（保证多连体中应力和位移的单值性。）,为该多连体中单值解析函数。,为第 k 个内边界上面力主矢量。,（2）无限大多连体,其中：,（5-17）,保角变换与曲线坐标下基本量及公式的表示,（1）保角变换,常用的保角变换函数：,无限大孔口问题的求解方法,（1）由孔口的形状，确定保角变换函数,（2）,由式（5-30）求出,（5-30）,两个重要积分Cauchy积分公式,6.平面温度应力问题的求解,按位移求解基本方程：,按位移求解基本方法：,
7、（1）求方程（6-18）的一组特解,（6-22）,（2）求方程（6-18）的一组补充解,（不计变温）,（用应力函数法）,补充解对应的应力,按位移求解基本步骤：,按位移求解基本步骤：,在已知温变场 T 的情况下，,三、弹性力学空间问题的求解,1.空间问题的基本方程,2.按位移求解空间问题的基本方程,用位移表示的平衡微分方程,应力边界条件,（8-5）,位移边界条件,3.按应力求解空间问题的基本方程,平衡微分方程：,边界条件：,相容方程：,（贝尔特拉密方程）（9-32）,4.按位移求解空间问题的方法,位移势函数法：,由位移势函数表示的应力分量。,拉甫（Love）位移函数法：,只适用于轴对称问题,位移
8、分量：,Love位移函数,应力分量：,Love位移函数满足的方程：,伽辽金（Galerkin）位移函数法：,适用于一般空间问题,伽辽金（Galerkin）位移函数：,位移分量：,Galerkin 位移函数满足的方程：,5.一些空间问题的求解,（1）半空间体在边界上受法向集中力；,（2）半空间体在边界上受切向集中力；,（3）半空间体在边界上受法向分布力；,（4）两球体之间的接触压力；,（5）等截面直杆的扭转问题。,（按应力求解应力函数解法）,应力函数法求解扭转问题的基本方程；,应力函数法求解扭转问题的基本步骤；,扭转问题的薄膜比拟理论；,薄壁杆件扭转问题的求解。,四、弹性力学问题求解的能量法,1
9、.基本概念与基本量,（1）形变势能U、比能U 1；,（2）形变余能U*、比余能U*1；,（3）总势能；,（4）总余能*；,各量的计算。,2.变分方程与变分原理,（1）,位移变分方程；,虚功方程；,最小势能原理；,伽辽金变分方程；,（2）,应力变分方程；,最小余能原理；,3.求解弹性力学问题的变分法,（1）Ritz 法；,（2）最小势能原理；,（3）伽辽金法；,（1）应力变分法；,（2）最小余能原理；,如何设定位移函数？,如何设定应力函数？,4.弹性力学两个基本定理,（1）解的唯一性定理；,（2）功的互等定理；,（3）,广义势能原理；,广义余能原理；,5.Ritz 法解题步骤：,（1）假设位移函
10、数，使其位移边界条件；,（2）计算形变势能 U；,（3）代入Ritz 法方程求解待定系数；,（4）回代求解位移、应力等。,6.最小势能原理解题步骤：,（1）假设位移函数，使其位移边界条件；,（2）计算系统的总势能；,（3）由最小势能原理：=0，确定待定系数；,（4）回代求解位移、应力等。,7.应力变分法解题步骤：,（1）假设满足应力边界条件的应力函数；,（2）计算系统的形变余能U*；,（3）代入应力变分法方程确定待定系数；,（4）回代求出应力分量。,在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程：,五、其它问题,（1）一点应力状态分析；,（2）一点应变状态分析；,（3）应力边界条件的列写；,（圣
11、维南原理的应用）,（4）张量的基本知识；,（弹性力学基本方程的张量表示）,各章节的复习思考题,第一章 绪 论,（1）弹性力学与材料力学）、结构力学课程的异同。,（从研究对象、研究内容、研究方法等讨论）,（2）弹性力学中应用了哪些基本假定？这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用是什么？举例说明哪些使用了这些基本假定？,（3）弹性力学中应力分量的正负是如何规定的？与材料力学中有何不同？,第二章 平面问题的基本理论,（1）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。,（2）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。,（3）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程）时，作了哪些近似简
12、化处理？其作用是什么？,（4）位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？,（5）已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确定？需要什么条件？,（6）已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主方向？,（7）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？如何由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？,（8）平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？,（9）边界条件有哪两类？如何列写？,（10）何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？如何利用圣维南原理列写边界条件？,（11）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。,（12）弹性力学问题按位移
13、求解的基本方程有哪些？,（13）弹性力学平面问题的变形协调方程有哪些形式？各自的使用条件是什么？,（14）按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解为什么不需要满足变形协调方程？,（15）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题的正确解？为什么？,（16）常体力情况下，如何将体力转化为面力？其意义如何？,（17）何为逆解法？何为半逆解法？,（18）Airy应力函数 在边界上值的物理意义是什么？应力函数 的导数：在边界上值的物理意义是什么？,第三章 平面问题的直角坐标解答,（1）直角坐标解答适用于什么情况？,（2）应
14、力函数是否是唯一的？它可确定什么程度？,（3）用应力函数法求解弹性力学问题的基本步骤？,（4）应力函数与应力分量间的（直角坐标）关系如何？,（5）如何利用材料力学的结果推出应力函数 的形式？,（6）如何利用量纲分析法（因次分析法）确定楔形体问题应力函数 的幂次数？,习题：3-1，3 2，3 3，3-4,第四章 平面问题的极坐标解答,（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？,（圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）,（2）极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？,（平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程）,（3）极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？,（用应变表示的、用应力函数表示
15、的相容方程等）,（4）极坐标下应力分量与应力函数 间关系？,（5）极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？,（6）极坐标下轴对称问题应力函数、应力分量、位移分量的特点？,（7）圆弧形曲梁问题应力函数、应力分量、位移分量的确定？,（如何利用材料力学中曲梁横截面应力推出应力函数 的形式？）,（8）楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下，应力函数、应力分量、位移分量的确定？,（9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数、应力分量、位移分量的确定？,（10）圆孔附近应力集中问题应力函数、应力分量、位移分量的确定？,（11）叠加法的应用。,叠加法的应用,练习：,（1）试用边界条件确定，
16、当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 与剪应力 间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。,（2）z 方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。,（3）有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为 t，两端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,（4）已知圆环在 r=a 的内边界上被固定，在 r=b 的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。,第五章 平面问题的复变函
17、数解答,（1）,平面问题复变函数解法的意义？,（2）,复变函数解法中，平衡方程、相容方程、边界条件是如何满足的？,（3）,多连体中，应力和位移单值条件是如何满足的？无限大多连体中，应力和位移有限性是如何考虑的？,（7）,椭圆孔口问题复变函数解法的基本步骤？,（8）,引入保角变换意义何在？,（4）,多连体中，解析函数 的结构特点？,（5）,无限大多连体中，解析函数 的结构特点？,（6）,（9）,用保角变换方法求解复杂边界问题的基本思想？,（10）,试就下列公式说明：,（a）单连体中，平面问题的应力与弹性常数无关；,（b）多连体中，平面问题的应力与弹性常数无关的条件；,（11）,两个重要的积分：,
18、Cauchy 积分，,它们的作用如何？,第六章 温度应力的平面问题,（1）了解温度应力产生的原因：为温度的变化量，而不是温度值。,（2）了解温度应力问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程。了解它与一般弹性力学基本方程的区别。,（仅为物理方程的不同）,（3）温度应力问题按位移求解的基本方程：,（6-19）,体力的替代：,面力的替代：,（4）温度应力问题按位移求解的基本方程与一般弹性力学问题按位移求解基本方程的关系，这种关系对方程求解及温度应力的实验测定有何意义？,（5）温度应力问题求解的基本思路与方法：,（a）求出满足位移平衡方程（6-18）的一组特解（此时，无需满足边界条件；用位移势函数
19、求解）。,（b）不计变温，求出满足平衡方程（6-18）的一组补充解（常由应力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。,（6）位移势函数 的概念；位移势函数 与位移分量的关系；温度应力问题中，位移势函数 满足的方程；应力分量的位移势函数 的表示。,第七章 平面问题的差分解,（1）了解差分法的基本思想；,（3）了解应力函数差分解中，应力分量的差分公式；应力函数的差分方程；,（7）了解应力函数差分解求解弹性力学问题的基本方法步骤；,（8）了解位移差分解的基本思路；,（9）位移差分法求解弹性力学问题的基本方法步骤；,（2）了解基本的差分计算公式；,（4）了解边界结点的应力函数值及其导数值求取；,（5）
20、了解虚结点的应力函数值求取；,（6）了解不规则边界结点应力差分方程的建立；,第八章 空间问题的基本理论,（1）空间一点的应力状态及其表示；如何由一点应力状态的六个分量求任意斜截面上的应力、主应力、主应力方向、最大最小正应力，最大最小剪应力及其所在作用面方向；,（2）何为应力不变量？各个应力不变量的物理意义及其计算？,（3）空间一点的应变状态及其表示；如何由一点应变状态的六个分量求任意方向线应变、主应变、主应变方向；,（4）何为应变不变量？各个应变不变量的物理意义及其计算？,（5）能否证明三个主应力方向一定互相垂直；三个主应变方向一定互相垂直？,（6）何为张量？一点应力状态的张量表示；一点应变状
21、态的张量表示；一点位移分量的张量表示；,（7）应变张量分量与工程应变分量之间有何关系？,（8）空间问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；基本方程的张量表示；,（9）空间问题物理方程的各种表达形式：,（a）用应力表示应变，式（8-17）；,（b）用应变表示应力，式（8-19）；,（c）用体积应力表示体积应变，式（8-18）；,（10）线弹性状态下，材料的拉压弹性模量E、剪切弹性模量G、体积弹性模量K、材料的泊松比 间存在什么关系？,（11）对极端各向异性体，存在多少个独立材料常数？正交各向异性体存在多少个独立材料常数？横观各相同性体有多少个独立材料常数？各向同性弹性体具有多少个独立的材料
22、常数？,（12）空间轴对称问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；,（13）空间球对称问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；,（14）空间问题的边界条件列写；,第九章 空间问题的解答,（1）按位移求解空间问题的基本方程：,（a）用位移表示的平衡微分方程；,（b）应力边界条件；位移边界条件。,（2）按位移求解空间轴对称问题的基本方程；按位移求解球对称问题的基本方程。,（3）按位移直接求解的空间问题：,（a）半无限大弹性体，受重力及在边界上受均布压力作用；,（b）空心球体受均布内压或外压作用。,（4）什么是位移势函数？位移势函数与位移分量的关系如何？位移函数与应力分量的关系如何？,（
23、5）在无体力的情况下，若弹性体存在位移势函数，则该位移势函数 应满足什么方程？该方程的物理意义如何？,（该位移势函数 应为调和函数；该方程表明各点体积应变 e=0）,（6）拉甫位移函数的概念；拉甫位移函数与轴对称位移分量间的关系如何？拉甫位移函数与应满足何条件？拉甫位移函数应为什么性质的函数？拉甫位移函数法主要用来解决什么样的弹性力学问题？,（7）伽辽金位移函数的概念；伽辽金位移函数与位移分量间的关系如何？伽辽金位移函数与应满足何条件？伽辽金位移函数应为什么性质的函数？,（8）半空间体在边界上受法向集中力作用问题的求解？空间一点的沉陷的计算公式（9-19）？与半无限平面问题中一点的沉陷公式（4
24、-30）有何区别？,（9）按应力求解空间问题的基本方程：,（a）平衡微分方程；,（b）相容方程：（Michell 密切尔方程）（9-31）、（Beltrami贝尔特拉密方程）（9-32）；,（c）边界条件。,（10）空间问题的变形协调方程（应变相容方程）；,（11）按应力求解空间轴对称问题的基本方程；,（12）按应力求解空间轴对称问题的应力函数法。,第十章 等截面直杆的扭转,（1）按应力求解等截面直杆扭转问题的基本方程：,（10-5）,相容方程,边界条件,满足平衡方程的应力分量,（2）等截面直杆扭转问题的位移分量：,（3）等截面直杆扭转问题的薄膜比拟：,（a）扭转问题的薄膜比拟方法的依据？,（
25、4）按应力求解等截面直杆扭转问题的基本方法与求解步骤？,（5）开口与闭口薄壁杆件扭转的应力与扭转变形求解。,第十一章 能量原理与变分法,（1）形变势能U、比能U1的概念及计算；,（在线弹性情况下，比能U1的计算各种形式：一般形式、应变形式、应力形式、位移形式）,（2）形变余能U*、比余能U*1的概念及计算；与形变比能U1的区别；在线弹性情况下，形变势能与形变余能存在什么关系？,（3）弹性体总势能 的概念及计算；,外力势能,（4）弹性体总余能*的概念及计算；,外力余势能,（5）形变比能U1、比余能U*1与应力、应变的关系：,（6）位移变分方程及其物理意义；,（7）虚功方程及其物理意义；,（7）虚
26、功方程及其物理意义、适用性；,外力的虚功=内力的虚功，,适用于任何性质的材料。,（8）最小势能原理及其物理意义；,（9）位移变分方程、最小势能原理与弹性力学基本方程的等价性？,（10）伽辽金变分方程及其与弹性力学基本方程的等价性？,（11）Ritz 法求弹性力学问题的方法与解题步骤；Ritz 法中对位移函数设定的要求；,（12）用最小势能原理求弹性力学问题的方法与解题步骤；,（13）用Ritz 法或最小势能原理求弹性力学平面问题、梁的弯曲变形问题；,（14）用Ritz 法或最小势能原理推导弹性力学平面问题、梁的弯曲变形问题的平衡微分方程与应力边界条件；,（15）用伽辽金法求解弹性力学问题时，对位移函数设定的要求；,（16）应力变分方程、最小余能原理及其与弹性力学基本方程的等价性；,相容方程和位移边界条件,（17）用应力变分方程、最小余能原理求解弹性力学问题的基本步骤；在设定应力分量时有何要求；,（18）用应力变分方程、最小余能原理求解弹性力学平面问题及等截面杆扭转问题的基本步骤；在设定应力函数时有何要求；,（19）功的互等定理及其应用；,（21）广义变分原理与弹性力学基本方程的等价性？,（20）有哪些广义变分原理，其形式如何？,
