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1、2023年2月8日11时53分,1,（三）建立递阶结构模型的规范方法,建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可达矩阵M的基础上进行，一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立递阶结构模型的基本方法。现以例4-1所示问题为例说明：与图4-5对应的可达矩阵（其中将Si简记为i）为：,2023年2月8日11时53分,2,1 2 3 4 5 6 7,1234567,M=,2023年2月8日11时53分,3,1.区域划分,区域划分即将系统的构成要素集合S，分割成关于给定二元关系R的相互独立的区域的过程。首先以可达矩阵M为基础，划分与要素Si（i=1，2
2、，n）相关联的系统要素的类型，并找出在整个系统（所有要素集合S）中有明显特征的要素。有关要素集合的定义如下：,2023年2月8日11时53分,4,可达集R（Si）。系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R（Si）。其定义式为：R（Si）=Sj|SjS，mij=1，j=1，2，n i=1，2，n先行集A（Si）。系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸要素所构成的集合，记为A（Si）。其定义式为：A（Si）=Sj|SjS，mji=1，j=1，2，n i=1，2，n共同集C（Si）。系统要素Si 的共同集是Si在可达集和先行集的共同部分，即
3、交集，记为C（Si）。其定义式为：C（Si）=Sj|SjS，mij=1，mji=1，j=1，2，n i=1，2，n,2023年2月8日11时53分,5,系统要素Si的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si）之间的关系如图4-7所示：,图4-7 可达集、先行集、共同集关系示意图,Si,A（Si）,C（Si）,R（Si）,2023年2月8日11时53分,6,起始集B（S）和终止集E（S）。系统要素集合S的起始集是在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）。B（S）中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的输入要素。其定
4、义式为：B（S）=Si|Si S，C（Si）=B（Si），i=1，2，n 如在于图4-5所对应的可达矩阵中，B（S）=S3，S7。当Si为S的起始集（终止集）要素时，相当于使图4-7中的阴影部分C（Si）覆盖到了整个 A（Si）（R（Si）区域。这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统起始集B（S）中的要素及其可达集（或系统终止集E（Si）中的要素及其先行集要素）能否分割（是否相对独立）就行了。,2023年2月8日11时53分,7,利用起始集B（S）判断区域能否划分的规则如下：在B（S）中任取两个要素bu、bv：如果R（bu）R（bv）（为空集），则bu、bv及R（bu）、R（bv）
5、中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。如果R（bu）R（bv）=，则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。利用终止集E（S）来判断区域能否划分，只要判定“A（eu）A（ev）”（eu、ev为E（S）中的任意两个要素）是否为空集即可。区域划分的结果可记为：（S）=P1，P2，Pk，Pm（其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。经过区域划分后的可达矩阵为块对角矩阵（记作M（P）。,2023年2月8日11时53分,8,为对给出的与图4-5所对应的可达矩阵进行区域划分，可列出任一要素Si（简记作i，
6、i=1，2，7）的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si），并据此写出系统要素集合的起始集B（S），如表4-1所示：,表4-1 可达集、先行集、共同集和起始集例表,2023年2月8日11时53分,9,因为B（S）=S3，S7,且有R（S3）R（S7）=S3，S4，S5，S6 S1，S2，S7=，所以S3及S4，S5，S6，S7与 S1，S2分属两个相对独立的区域，即有：（S）=P1，P2=S3，S4，S5，S6 S1，S2，S7。这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵：,O,O,2023年2月8日11时53分,10,2.级位划分,区域内的级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位的过
7、程。这是建立多级递阶结构模型的关键工作。设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用L1，L2，Ll表示从高到低的各级要素集合（其中l为最大级位数），则级位划分的结果可写出：（P）=L1，L2，Ll。某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集要素。级位划分的基本做法是：找出整个系统要素集合的最高级要素（终止集要素）后，可将它们去掉，再求剩余要素集合（形成部分图）的最高级要素，依次类推，直到确定出最低一级要素集合（即Ll）。,2023年2月8日11时53分,11,为此，令LO=（最高级要素集合为L1，没有零级要素），则有：L1=Si|SiP-L0，C0（Si）=R0（Si），i=1，2，nL2=S
8、i|SiP-L0-L1，C1（Si）=R1（Si），inLk=Si|SiP-L0-L1-Lk-1，Ck-1（Si）=Rk-1（Si），in（4-3）式（4-3）中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-Lk-1中的要素形成的子矩阵（部分图）求得的共同集和可达集。经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角矩阵，记为M（L）。,2023年2月8日11时53分,12,如对例4-1中P1=S3，S4，S5，S6进行级位划分的过程示于表4-2中。,表4-2 级位划分过程表,2023年2月8日11时53分,13,对该区域进行级位划分的结果为：（P1）=L1，L2，L3=S5，S4，S6，S
9、3 同理可得对P2=S1，S2，S7进行级位划分的结果为：（P）=L1，L2，L3=S1，S2，S7这时的可达矩阵为：,2023年2月8日11时53分,14,3.提取骨架矩阵,提取骨架矩阵，是通过对可达矩阵M（L）的缩约和检出，建立起M（L）的最小实现矩阵，即骨架矩阵A。这里的骨架矩阵，也即为M的最小实现多级递阶结构矩阵。对经过区域和级位划分后的可达矩阵M（L）的缩检共分三步，即：检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵M（L）的缩减矩阵M（L）如对原例M（L）中的强连接要素集合S4，S6作缩减处理（把S4作为代表要素，去掉S6）后的新的矩阵为：,5 4 3 1 2 7,543127,M（L）=
10、,L1L2L3,L1L2L3,0,0,2023年2月8日11时53分,15,去掉M（L）中已具有邻接二元关系的要素间的超级二元关系，得到经进一步简化后的新矩阵M（L）。如在原例的M（L）中，已有第二级要素（S4，S2）到第一级要素（S5，S1）和第三级要素（S3，S7）到第二级要素的邻接二元关系，即S4RS5、S2RS1和S3RS4、S7RS2，故可去掉第三级要素到第一级要素的超级二元关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即将 M（L）中35和71的“1”改为“0”，得：,2023年2月8日11时53分,16,进一步去掉M（L）中自身到达的二元关系，即减去单位矩阵，将M（L）主对角线上的“1
11、”全变为“0”，得到经简化后具有最小二元关系个数的骨架矩阵A。如对原例有：,2023年2月8日11时53分,17,4.绘制多级递阶有向图D（A）,根据骨架矩阵A，绘制出多级递阶有向图D（A），即建立系统要素的递阶结构模型。绘图一般分为如下三步：分区域从上到下逐级排列系统构成要素。同级加入被删除的与某要素（如原例中的S4）有强连接关系的要素（如S6），及表征它们相互关系的有向弧。按A所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接成有向图D（A）。,2023年2月8日11时53分,18,原例的递阶结构模型：以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程：M M（P）M（L）M（L）M（L）A
12、D（A）,S1,S2,S7,S3,S4,S5,S6,第1级第2级第3级,区域划分,级位划分,强连接要素缩减,剔出超级关系,去掉自身关系,绘图,（块三角）,（区域块三角）,（区域下三角）,结束,2023年2月8日11时53分,19,例4-1 某系统由七个要素（S1，S2，S7）组成。经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中：S=S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7 Rb=（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）返回,2023年2月8日11时53分,20,5,1,6,2,3,7,4,图4-5 例 4-1 有向图,返回,
