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1、集合与函数,第1章 函数与图形,第一节集合与函数,一、逻辑符号与逻辑命题 二、集合与实数集三、映射四、函数概念五、函数的特性六、反函数,一、逻辑符号与逻辑命题,全称量词：对于任何的、对于一切的，等等。存在量词：存在、可找到、有，等等。逻辑推理符号：可推出。等价符号：等价于、当且仅当。,逻辑符号,如果命题A成立，可推出命题B正确，则称A为B的充分条件，或称B为A的必要条件，记为 若 且，则称A(B)是B(A)的充分必要条件，或称A与B等价，记作。,逻辑命题,与某命题A相反的命题，称为A的否定，记作。假定对于一切的（表示x属于M）有某性质 成立，简记为。这个命题的否定是：至少可以找到一个元素，使
2、不成立。因此，有,二、集合与实数集,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,设A,B是两个集，由属于A或者B的所有元素构成的集称为A与B的并集，记作 即,由同时属于A与B的元素构成的集称为A与B的交集，记作 即,由属于A但不属于B的元素构成的集称为A与B的差集，记作 即,设X是基本集，若A是X中任意集，则差集 称为A的补集或余集，记作,性质1 设A,B,C为三个任意集合，则（1）交换律（
3、2）结合律（3）分配律（4）幂等律（5）吸收律,性质2 设 为一列集，则,性质3 设X为基本集，为一列集，则,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,4.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x,y,t等表示变量.,5.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,6.确界存在定理,设
4、A为非空实数集,若LR,使得xA,都有xL,则称L为A的一个上界.,若lR,使得xA,都有xl,则称l为A的一个下界.,若A既有上界又有下界,则称 A有界.否则称A无界.,A有界 MR,M0,xA,都有|x|M.,A的上、下界是惟一的吗？,（1）xA，都有,是的上确界,(或下确界).,记,上确界就是最小的上界；下确界就是最大的下界,满足条件：,确界是惟一的吗？,确界存在定理：任意有上（下）界的非空实数集必有上确界,例：A1,2,4,6,supA=6,infA=1.,有,supA=1,infA=0.,注意：0不在A中噢！,A的确界不一定是A中的元素,三、映射,定义：设A,B是两非空集,若存在对应
5、规则f,使xA,按照对应规则 f,都有唯一确定的yB与之对应,则称f是从A到B的一个映射.记作 f:AB,xy.,称y为x在f 下的像,记作f(x).即,y=f(x),称x为y在 f 下的原像,习惯上也将映射记作,y=f(x).,注1.映射是一种建立在两集合间的对应规则,它满足A中任一元素x都能且只能对应一个y,但不同的x可以对应同一个y,即可以出现“多对一”的情形.,注2.在定义中并不要求对每一个yB,都有一个x与这个y对应.即，有些y可能并不是某个x的像.,定义：设f:AB,xf(x).若x1,x2A,当x1 x2时,f(x1)f(x2).则称f 是单射.定义：设f:AB,xf(x).若y
6、B,xA,使得 f(x)=y.则称 f 是满射.定义：若映射f:AB既是单射,又是满射.则称 f 是一个双射，也称f是一一对应.,1.设 g:AB,f:BC,则xA，经过uB,有惟一的yC与之对应，因此得到一个新的映射，记作f。g:AC,即(f。g)(x)=f g(x),xA.称f。g 为f与g的复合映射。,2.设 f:AB,若存在另一映射 g:BA,对每个yB，经过g有惟一的xA与之对应，且满足关系f(x)=y，则称g是f的逆映射，记作g=f 1,一一映射（双射）必有逆映射,四、函数概念,例 圆内接正多边形的周长,定义 设A和B是两个实数集,称映射f:AB为一元函数，简称函数，记作 f:x
7、y=f(x),xA,其中x称为自变量，y称为因变量，数集A叫做这个函数的定义域,记作D(f).,当x0A时，称f(x0)为函数在点 x0处的函数值,函数值全体组成的数集 f(A)=y|y=f(x),xA称为函数的值域,记作R(f).,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,定义:,(1)符号函数,几个特殊的函数举例,(2)取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(3)狄利克雷函数,(4)取最值函数,例1,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.,解,单三角脉冲信号的
8、电压,例2,解,故,五、函数的特性,有界,无界,1函数的有界性:,如何给出无界的定义？,2函数的单调性:,若严格不等号成立则称为严格单调增加的；,单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.,若严格不等号成立则称为严格单调减少的。,3函数的奇偶性:,偶函数,图形关于y 轴对称.,奇函数,图形关于原点对称,4函数的周期性:,设函数f(x)的定义域是D，若存在一个不为零的数l，使得xD,xlD,且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)是周期函数，l称为f(x)的一个周期,易见,若l为f(x)的周期,则 nl 均为f(x)的周期,n=1,2,通常说周期函数的周期是指其最小正周期.,有些周期函数没有最小正周期.,如,狄利克莱函数D(x)也是周期函数.任何一个大于0的有理数 l 都是D(x)的周期.,但是在这无穷多个大于0的有理数 l 中,找不到一个最小的 l.,为什么？,六、反函数,是否所有函数都存在反函数？,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,例3,解,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,思考题,思考题解答,设,则,故,练 习 题,练习题答案,
