《北师大版九年级上册数学1.1菱形的性质与判定ppt课件(3课时).ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大版九年级上册数学1.1菱形的性质与判定ppt课件(3课时).ppt(70页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、,1.1 菱形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 菱形的性质,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系;2.探索并证明菱形的性质定理.(重点)3.应用菱形的性质定理解决相关问题.(难点),学习目标,问题:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些性质呢?,平行四边形的性质:,边:对边平行且相等.对角线:相交并相互平分.角:对角相等,邻角互补.,导入新课,活动:观察下列图片,找出你所熟悉的图形.,问题1:观察上图中的这些平行四边形,你能发现它们有什么 样的共同特征?,平行四边形,菱形,菱形:有一组邻边相等的平行四边
2、形叫做菱形.,讲授新课,菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是菱形.,问题2:菱形与平行四边形有什么关系?,平行四边形,菱形集合,平行四边形集合,做一做请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称 轴?对称轴之间有什么位置关系?,(2)菱形中有哪些相等的线段?,1.菱形是轴对称图形,有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD).2.菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).3.菱形的对角线互相垂直(ACBD).,A,B,C,O,D,发现菱形的性质,已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O.求
3、证:(1)AB=BC=CD=AD;(2)ACBD.,证明菱形的性质,证明:(1)四边形ABCD是菱形,AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等).又AB=AD;AB=BC=CD=AD.,求证:菱形的四条边相等,对角线互相垂直.,思考:菱形的一条对角线所分成的两个内角有什么关系?试证明AC平分BAD和BCD,BD平分ABC和ADC.,(2)AB=AD,ABD是等腰三角形.,又四边形ABCD是菱形,OB=OD.,在等腰三角形ABD中,OB=OD,AOBD,即ACBD.,菱形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.,对称性:是轴对称图形.边:四条边都相等.对
4、角线:互相垂直.,角:对角相等,邻角互补.边:对边平行且相等.对角线:相交并相互平分.,菱形的特殊性质,平行四边形的性质,总结归纳,1.如图,在菱形ABCD中,两条对角线AC与BD相交于点O,图中的等腰三角形有_,直角三角形有_,而且它们是_(“全等”或“不全等”).,口答:,2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.内角和为360 B.对角线互相垂直 C.对边平行 D.对角线互相平分,ABD,BCD,ABC,ADC,ABO,ADO,BCO,CDO,全等,B,例1:已知菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB=5cm,BD=8cm.则:(1)BO=_;(2)AC=_.,典例精析
5、,B,A,C,D,O,4cm,6cm,菱形中已知边长或对角线,求相关长度问题,一般利用菱形的对角线垂直平分,再结合勾股定理解题.,例2:如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,BAD=60,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.解:四边形ABCD是菱形,ACBD(菱形的对角线互相垂直)OB=OD=BD=6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中,BAD=60,ABD是等边三角形.AB=BD=6.,典例精析,在RtAOB中,由勾股定理,得OA2+OB2=AB2,OA=AC=2OA=(菱形的对角线相互平分).,若菱形有一个内角为60,那么60角的两边与较短的对角线可构成等
6、边三角形,且两条对角线把菱形分成四个全等的含30角的直角三角形.,当堂练习,1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等,2.如图,菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是()A.40 B.32 C.24 D.20,C,D,3.在菱形ABCD中,AEBC,AFCD,E、F分别为BC,CD的中点,那么EAF的度数是(),A.75 B.60 C.45 D.30,B,6.已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的四个内角度数分别为_.,4.已知菱形的周长是12cm,那么它的边长是_.5.菱形ABCD中ABC120,则BAC_.,3
7、,30,60、60、120、120,7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O.已知AB=5cm,AO=4cm,求BD的长.,解:四边形ABCD是菱形,ACBD(菱形的两条对角线互相垂直).AOB=90.BO=3(cm).BD=2BO=23=6(cm).,8.已知:如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E 求证:AFD=CBE 证明:四边形ABCD是菱形,CB=CD,CA平分BCDBCE=DCE又 CE=CE,BCECOB(SAS)CBE=CDE 在菱形ABCD中,ABCD,AFD=FDC.AFD=CBE,课堂小结,菱形的性质,菱形的性质,1.四边相等2.对角线
8、互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角.,菱形的定义,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.,见本课时练习,课后作业,谢谢!,1.1 菱形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 菱形的判定,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1.理解并掌握菱形的两个判定方法.(重点)2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和 计算.(难点),学习目标,问题:什么是菱形?菱形有哪些性质?,菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形.菱形的性质:1.轴对称图形.2.四边相等.3.对角线互相垂直平分.,导入新课,动手做一做,思考:剪下来的是什么图形?,问题:根据菱形的定义,邻
9、边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?,1.小明的想法,平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形.,讲授新课,2.小颖的想法,我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形”一样.,3.你是怎么想的?你认为小明的想法如何?,猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,猜想2:四边相等的四边形是菱形.,通过探究,容易得到:对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形,活动1:用一长一短两根木条,在它们的中点处固定
10、一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上橡皮筋,做成一个四边形转动木条,木条端点围成的四边形是平行四边形吗?什么时候变成菱形?,验证活动1,平行四边形,菱形,已知:右图中四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,ACBD.求证:ABCD是菱形.,证明:四边形ABCD是平行四边形.OA=OC.又ACBD,BD是线段AC的垂直平分线.BA=BC.四边形ABCD是菱形(菱形的定义).,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,证明猜想1,定理运用格式:,四边形ABCD是平行四边形,又ACBD,四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形为菱形),练一练,判断对错:(1)对角线互相垂直的
11、四边形是菱形。()(2)对角线垂直且平分的四边形是菱形。()(3)对角线互相平分的平行四边形是菱形。()(4)对角线垂直且相等的四边形是菱形。()(5)有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。(),小刚:分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条弧分别相较于点B,D,依次 连接A、B、C、D四点.,活动2:已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AB为菱形的一条对角线?,C,A,B,D,思考:1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗?2.怎么验证四边形ABCD是菱形?,提示:AB=BC=CD=AD,验证活动2,证明:AB=BC=CD=AD;AB=CD,BC=AD.四边
12、形ABCD是平行四边形(平行四边形的判定).又AB=BC,四边形ABCD是菱形(菱形的定义).,已知:右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD.求证:四边形ABCD是菱形.,四边相等的四边形是菱形.,证明猜想2,定理的运用格式,AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形(四边相等的四边形为菱形).,证明:在AOB中.AB=,OA=2,OB=1.AB2=AO2+OB2.AOB是直角三角形,AOB是直角.ACBD.ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形).,例1:已知:如右图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=,OA=2,OB=1.求证:ABCD是菱形.,典例精析,2,例
13、2:已知:如图,在ABC,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF=ED.求证:四边形CDEF是菱形.,A,C,B,E,D,F,证明:1=2,又AE=AC,ACD AED(SAS).同理ACFAEF(SAS).CD=ED,CF=EF.又EF=ED,四边形ABCD是菱形(四边相等的四边形是菱形).,1,四条边都相等,菱形,一组邻边相等,对角线互相垂直,对角线互相平分,一组对边平行且相等,两组对边分别平行或相等,四边形,平行四边形,两组对角分别相等,归纳总结,1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是()A.ACBD,AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB
14、=BC,AD=CD,AC BDD.AB=CD,AD=BC,AC BD,C,当堂练习,2.如图所示:在ABCD中添加一个条件使其成为菱形:添加方式1:.添加方式2:.,AB=BC,ACBD,3.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证:四边形AFCE是菱形,A,B,C,D,E,F,O,1,2,证明:四边形ABCD是平行四边形,AEFC.1=2.EF垂直平分AC,AO=OC.EO=FO.四边形AFCE是平行四边形.又EFAC 四边形AFCE是菱形.,4.如图,已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB=BD,DEAC,CE BD.求证:四边形O
15、CED是菱形.,证明:DEAC,CEBD,,四边形OCED是平行四边形,,四边形ABCD是平行四边形,AB=BD,OC=OD,,四边形OCED是菱形,5.如图,ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,CEAB交MN于点E,连接AE、CD.求证:四边形ADCE是菱形.,B,C,N,【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE,AD=CD,OA=OC,AOD=EOC=90.再结合CEAB,可证得ADOCEO,从而根据由一组对边平行且相等知,四边形ADCE是平行四边形.再结合AOD=90可证得四边形ADCE为菱形,证明:MN是AC的垂直平分线,,AE=CE,AD=CD,OA=OC,A
16、OD=EOC=90.,CEAB,,DAO=ECO,,ADOCEO(ASA),AD=CE,OD=OE,,OD=OE,OA=OC,四边形ADCE是平行四边形,又AOD=90,四边形ADCE是菱形,6.已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?,A,C,B,D,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,定理1:对角线互相垂直的平行四边形 是菱形.,定理2:四边相等的四边形是菱形.,菱形的判定,定义,定理,课堂小结,见本课时练习,课后作业,谢谢!,1.1 菱形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第3课时 菱形的性质、判定与其
17、他知识的综合,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题,并掌握菱形面积的求法。(重点、难点)2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会 数形结合、转化等思想方法。,学习目标,1平行四边形的对边,对角,对角线 2菱形具有 的一切性质3菱形是 图形也是 图形4菱形的四条边都 5菱形的两条对角线互相,平行且相等,相等,互相平分,平行四边形,轴对称,中心对称,相等,垂直 且平分,复习引入,导入新课,6.平行四边形的面积=_.,A,B,C,D,底高,7.菱形是特殊的平行四边形,如图菱形ABCD的面积=_.,BCDF,思考:你能用菱形的对角线表示菱形
18、的面积吗?,做一做:如图,请用两种方法表示菱形ABCD的面积.,方法一:菱形ABCD的面积=底高=CDBE.,E,方法二:菱形ABCD的面积=4SABO=4 AOBO=ACBD.,讲授新课,A,B,D,C,a,h,(1)S=ah.(2)S=ACDB.,O,菱形的面积计算公式:,总结归纳,菱形的面积=底高=对角线乘积的一半,练一练如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC和BD相交于点O,AC=4cm,BD=8cm,则这个菱形的面积是cm,16,例1 如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,ABC,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长和花坛的面积(结果分别精确到0.01m和0.1m
19、2).,60,典例精析,解:花坛ABCD是菱形,,例2 如图所示,在菱形ABCD中,点O为对角线AC与BD的交点,且在AOB中,AB13,OA5,OB12.求菱形ABCD两对边的距离h.,典例精析,解析:先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积,又因为菱形是特殊的平行四边形,其面积等于底乘高,也就是一边长与两边之间距离的乘积,从而求得两对边的距离,方法总结:菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积;(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);(3)两条对角线长度乘积的一半,解:在RtAOB中,AB13,OA5,OB12,于是
20、所以,S菱形ABCD4SAOB430120.又因为菱形两组对边的距离相等,所以,S菱形ABCDABh13h,即,13h120,得,如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分是什么图形?,做一做,平行四边形,如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD是什么图形?为什么?,菱形,典例精析,例3.如图所示,在ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE2DE,延长DE到点F,使得EFBE,连接CF.(1)求证:四边形BCFE是菱形;(2)若CE4,BCF120,求菱形BCFE的面积,(1)证明:D、E分别是AB、AC的中点,DEBC且2DEBC.又BE2DE,EFBE,EFBC,EFB
21、C,四边形BCFE是平行四边形又EFBE,四边形BCFE是菱形;,(2)解:BCF120,EBC60,EBC是等边三角形,菱形的边长为4,高为,菱形的面积为.,方法总结:判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等,可直接证出菱形;如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直,可以尝试证出这个四边形是平行四边形,然后用定义法或判定定理1来证明菱形,1.已知菱形的周长是24cm,那么它的边长是_.,2.如图,菱形ABCD中BAC120,则BAC_.,6cm,60,3.如图,菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm,则菱形的边长是(),C,A.10cm B.24cm C.13
22、cm D.17cm,当堂练习,4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.,解:(1)四边形ABCD是菱形,AC与BD相交 于点E.AED=90(菱形的对角线互相垂直),DE=BD=10=5(cm).(菱形的对角线互相平分),AE=12(cm).AC=2AE=2 12=24(cm)(菱形的对角 线互相平分).(2)如图,菱形ABCD的面积=BD AC=120(cm2).,5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,BAD=60,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.解:四边形ABCD是菱形,ACBD(菱形的对角线互相垂直)OB=OD=BD=6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中,BAD=60,ABD是等边三角形.AB=BD=6.,在RtAOB中,由勾股定理,得OA2+OB2=AB2,OA=AC=2OA=(菱形的对角线相互平分).,课堂小结,菱形的性质与判定的综合性问题,菱形的面积,有关计算,面积=底高=两条对角线乘积的一半,见本课时练习,课后作业,谢谢!,