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1、数系的扩充与复数的引入,北师大版选修2-2第五章第一节,数的起源,“万物皆数（有理数）”毕达哥拉斯,1、求使和为10，积为40的两个数。大术,一、追溯历史,很明显，=600，也即没有实数解,解：设两个数为，10。,（10）=40 即 2 10+40=0,1545Cardan,1637Descarts,称“负数的平方根”为“虚数”,5+15 5 15=40 5+15+5 15=10,=+，=,研究,=,二、数系的扩充（从解方程出发）,（1）求解+4=1，,（2）求解32=0，,（3）求解 2 2=0，,无解,有解,无解,有解,无解,有解,R,Q,Z,N,添加“负数”,添加“分数”,添加“无理数”
2、,四人一组讨论以下两个问题：,NZQ R,小组活动,数系为什么需要扩充？数系扩充中保持的原则是什么？,数系扩充的基本原则,解决了某些在原来数集中不能解决的问题原有数系中的运算法则和运算关系都仍将保持,类比研究,对实数进行扩充（类比法）,可以与有理数进行四则运算，运算时原有的关于加法和乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立,可以与实数进行四则运算，运算时原有的关于加法和乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立,虚数单位,=,?2=1，,()2=2,2=2，,无理数,注：是瑞士数学家欧拉最早引用的，它取自imaginary（想象的）一词的词头，经过很长的时间才被数学界所接受。
3、,的含义对于新引入的，我们把叫作虚数单位，并且规定：=可以与实数进行四则运算，运算时原有的关于加法和乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立,三、复数的引入,i的几何意义是什么？,1.当实数m为何值时，复数=+1+1 是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？,【复数的分类问题】,=,=,四、小试牛刀,解：由复数相等的意义，可得：+2=32=1解得：=1,=1,【两复数相等的问题】2.设,，并且+=+，求,的值.,重新认识“卡丹方程：+=”的解：,=+=,重新认识“卡丹方程：+=”的解：,=+=,重新认识“卡丹方程：+=”的解：,+=+=,=+=,“没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明”陈省身,五、“虚数不虚”,用虚数=+表示电容、电感(作为实数表示电阻阻值，b作为虚数表示电容）,电容,电感,六、小结,数系的扩充及扩充原则类比无理数引入i复数的几何意义复数的分类及相等,1572Bombelli,1545Cardan,1637Descarts,1777Euler,1831Gauss,感谢大数学家们！,复数还能不能进行扩充呢？,数学的源与流,数学史概论,课外延伸阅读,
