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1、眼科病床的合理安排模型摘要本文就医院病床安排问题，采用优化的思想与方法建立数学模型，并提出了各类病人的优先原则，针对实际情况给出了合理的病床安排。对于问题（1），我们就所有病人的平均入院等待时间和平均手术等待时间两个指标建立评价体系。其次我们应用该评价体系对现有的FCFS系统进行了评价，得到平均入院等待时间和平均手术等待时间分别为10.17天和2.44天。对于问题（2），首先，我们以所有病人的平均手术等待时间最短为首要目标，所有病人的平均入院等待时间较少为次级目标，以每类病人总数占所有病人总数的百分比为一所知的确定值为限制条件建立优化模型，并结合提出的各类病人的优先原则确定病床安排方案。其次，
2、在求解过程中，我们对所建立的模型进行了模拟仿真。最后，我们利用仿真的结果计算出相应的评价指标所有病人平均入院等待时间和平均手术等待时间分别为8.73天和1.40天，两个指标均与优于已有FCFS模型的两个指标。对于问题（3），我们根据对各类病人的术后观察期进行统计分析，结合第二问模型的入院安排，计算出任意一天的出院人数，根据每天出院人数，利用第二问中所提出的仿真模型的开放性的特点，可以得出在当前的情况下，新来的病人入院需要等待的时间。对于问题（4），我们在第二问思路的基础进行建模和仿真，得到的结果显示新建模型的评价指标均优于原有模型，医院的手术时间安排不需要调整。对于问题（5），我们首先验证了每
3、类病人到达个数均服从泊松分布，因此我们根据病床采用按比例分配方案，建立的排队模型。然后我们以所有病人在系统内的平均逗留时间最短为目标，以每类病情均达到稳态和病床总数为约束条件，建立一个整数非线性优化模型，求出当病床分配比例为：外伤10.13%，白内障单眼7.59%，白内障双眼18.99%，视网膜54.43%，青光眼8.86%时，病人在系统内的平均逗留时间为6.19天。关键词：病床安排，排队论，优化模型，仿真 1 问题的重述医院就医排队是常见现象，为了更好地利用医院的病床资源，可采用数学建模方法建立一个合理安排病床的模型。某医院眼科室具体情况如下：该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该
4、医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。某段时间里各类病人的情况见附录。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，
5、在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，因此希望能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题。我们需要解决的问题如下： （1）试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。（2）试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并利用问题一中的指标体系对此模型做出评价。（3）能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时
6、即告知其大致入住时间区间。 （4）若该住院部周六、周日不安排手术，重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应做出相应调整?（5）从便于管理的角度建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2 模型假设与符号说明2.1 模型假设（1）由于白内障双眼情况较为特殊，其两次手术需要在同一周内完成，所以视白内障单眼和双眼为不同的病情；（2）手术均是成功的，病人的术后观察期只由病人的体质来决定；（3）附录中给出的各类病人的相关数据是真实可靠的。 2.2 符号说明表1 文中符号及
7、其含义表示第类病人平均入院等待时间（）；表示第类病人平均手术等待时间（）；表示第类病人出现的概率（）；表示所有病人的平均入院等待时间；表示所有病人的平均手术等待时间；表示第类病人的总人数；表示等待时间综合指标；表示第类病人在星期入院的手术等待时间；表示第类病人在星期入院的人数占总人数的百分比；表示第类病人在星期门诊的入院等待的时间；表示第类病人在星期门诊的概率（）。3 问题的分析对于问题（1），为了更全面地对模型做出评价，我们分别从病人和医院的角度进行考虑得出两方面的综合评价指标。从病人角度考虑：我们主要以所有病人的平均入院等待时间和平均手术等待时间构成评价指标（由于术后观察期是由病人的体质来
8、决定，而非人为控制的，所以不考虑这个指标），再通过加权得出综合指标；从医院角度考虑：将多个指标进行计算得出医院工作效率综合指数作为综合评价指标。将两方面的综合评价指标进行归一化处理，消除量纲，得到一个最终综合指标来构建评价指标体系，以研究系统的运行效率，以决定系统结构是否合理，比较判断系统运行的优劣。对于问题（2），由于病人入院后等待手术时，占用床位，需要有一定的经济支付，且医院的病床周转率也出现下降，所以不管从哪一方考虑，人们更看重平均手术等待时间。因此我们以所有病人的平均手术等待时间最短为首要目标，所有病人的平均入院等待时间较少为次级目标，以每类病人总数占所有病人总数的百分比为一定值为限制
9、条件建立优化模型来合理安排病床，并对安排方案进行模拟仿真，对仿真后的结果，通过计算，运用问题（1）的评价指标体系将新建模型与已有模型作比较，进行适当的评价。对于问题（3），根据当时住院病人及等待住院病人的情况对各类病人的术后观察期进行统计分析，并结合第二问模型中的入院安排，可计算出任意时刻出院人数，根据每天出院人数，采用以等待手术时间最优的病床安排模型来估算病人大致能够入住的时间区间。对于问题（4），若周六、周日不安排手术，则在第二问模型的基础上对手术等待时间作出相应的修改即可。对仿真结果进行分析时，若新建模型的两个指标均优于原有模型，则医院的手术时间安排不需要调整；若出现新建模型的指标有一个
10、劣于原有模型，则需要对医院的手术时间安排作出相应的调整，考虑增大工作日的工作强度，如：使白内障的手术时间为周一、周三和周五。对于问题（5），由于医院病床安排采用使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，即第类（）病情有个病床提供服务，因此我们将每类病情单独看作是一个单队多服务台的排队系统。又由于每类病人平均到达率均服从泊松分布，所以每类病情是一个模型。然后根据题意，以所有病人在系统内的平均逗留时间最短为目标，以每类病情均达到稳态和病床总数为约束条件，建立优化模型，求出病床比例分配。4 模型的建立与求解4.1 问题（1）模型的建立与求解4.1.1 模型的建立（1）病情分类因为不同病情的术前准备时间
11、各不相同，且白内障双眼情况更为特殊，其两次手术需要在同一周内完成，所以视白内障单眼和双眼为不同的病情。于是依据术前准备时间将病人分为四类，如下表： 表2 病情的分类情况类别1类2类3类4类病情外伤白内障（单）白内障（双）视网膜、青光眼（2）数据的分析考虑病人在系统内的逗留时间，先将其分为三段（入院等待时间、入院后手术等待时间以及术后观察期），示意图如下：患者门诊入院手术出院离开入院等待时间手术等待时间术后观察期系统逗留时间图1 系统示意图对2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况的数据进行相应的统计分析。根据数据可得每类病人的平均入院等待时间和平均手术等待时间如下表所
12、示。表3 每类病人的平均入院等待时间类别1类2类3类4类时间（天）112.666712.512212.4643 表4 每类病人的平均手术等待时间类别1类2类3类4类时间（天）12.33333.59762.3857通过对已有数据进行观察，我们发现星期日（或星期二）入院的白内障单眼患者在紧接着的第2天，即星期一（或星期三）就能安排手术；而星期日入院的白内障双眼患者在下周星期一和星期三就能安排手术；在星期二、星期三、星期四、星期五和星期日入院的视网膜和青光眼患者在入院后隔一天就能安排手术。这表明白内障患者的术前准备时间只需1天，视网膜和青光眼的术前准备时间只需2天。而那些术前准备时间相对偏长的病例是
13、由于手术时间发生冲突（视网膜和青光眼一般不安排在周一、周三）或病例两次手术必须在同一周内的原因。 （3）评价指标体系的构建由于从每类病人的术后观察期具有随机性，因此我们认为术后观察期是由病人的体质来决定，而非人为控制的。而平均入院等待时间和平均手术等待时间是可以通过调整入院安排来进行优化的。因此，我们决定以所有病人的平均入院等待时间和平均手术等待时间作为基本评价指标。所有病人的平均入院等待时间（1.1）所有病人的平均手术等待时间（1.2）考虑到实际情况中，病人入院后等待手术时，由于占用床位，需要有一定的经济支付，同时医院的病床周转率也会下降，所以不管从哪一方考虑，人们更看重平均手术等待时间，因
14、此对赋予一个较大的权值，令（其中）作为综合评价指标。越小，说明系统的运行效率越高，系统结构越合理。 4.1.2 模型的求解利用构建的评价指标体系对当前该住院部的病床安排进行指标计算。统计出每类病人的总数，并计算出其所占百分比，结果如下：表5 每类病人人数统计类别总人数所占百分比15515.76%27220.63%38223.50%414040.11%合计3491利用表3表5中的数据，分别代入公式（1.1）和（1.2），即可求出所有病人的平均入院等待时间=10.71（天）和平均手术等待时间=2.44（天）。这里的合计总人数为完成从门诊到出院所有过程的总人数，因为它已经能够反映出足够的信息量，所以
15、我们对数据进行分析统计时，选其作为数据样本，下同。4.2 问题（2）模型的建立与求解 由于病人入院后等待手术时，占用床位，需要有一定的经济支付，且医院的病床周转率也会下降，所以不管从哪一方考虑，大家都更看重平均手术等待时间。因此我们以所有病人的平均手术等待时间最短为首要目标，所有病人的平均入院等待时间较少为次级目标，以每类病人总数占所有病人总数的百分比为一定值（该值可以统计得出），作为限制条件建立优化模型来合理安排病床。 4.2.1 模型的建立首先，根据模型一中的数据分析（2），例如：对第4类（视网膜和青光眼病人），我们得出该类病人在周一和周六入院必要等待3天才能做手术，在其它时间必然等待2天
16、做手术，同样道理，对其它数据也有如此分析得出该统计表。统计出第类病人在星期入院的手术等待时间，统计结果如下：表6 各类病人在不同时间入院的手术等待时间1类（外伤）2类（白内障单眼）3类（白内障双眼）4类（视、青）星期一1273星期二1162星期三1552星期四1442星期五1332星期六1223星期日1112设为第类病人在星期入院的人数占所有病人总数的百分比，为第类病人总数占所有病人总数的百分比，可查表14，则为平均等待时间，建立的优化模型为：目标函数： （2.1）约束条件： （2.2） 式（2.1）表示所有病人的平均手术等待时间为最短；式（2.2）表示第类病人的人数占所有病人总数的百分比恒等
17、。运用LINGO进行求解，该解的最优解并不唯一，发现始终为0，则表示在最优解情况下，第2类病人在星期1，3，4，5，6不得入住，第3类病人在星期1至星期6不能入住，第4类病人在星期1和星期6不得入住。分析结果显示外伤可考虑在任意一天入院，白内障单眼则在星期二与星期日可考虑安排入院，白内障双眼安排在星期日入院，其他病人可安排在星期二、星期三、星期四、星期五和星期日入院，这样可使得所有病人的平均手术等待时间达到最小。具体入院安排如下：表7入院安排1类（外伤）2类（白内障单眼）3类（白内障双眼）4类（视、青）星期一可入院星期二可入院可入院可入院星期三可入院可入院星期四可入院可入院星期五可入院可入院星
18、期六可入院星期日可入院可入院可入院可入院依照题意，为了根据已知的第二天出院病人数来确定应该安排哪些病人住院，我们需要考虑当出现多类病人可在同一天考虑入院的情形时，各类病人的优先权问题（外伤排除，因为其优先级别最高）。其它病的优先权根据一周内可入院的次数来定，可入院的次数越少，该类病人越难得到服务，其入院等待时间会越长。所以优先权级别为：外伤白内障双眼白内障单眼白内障单眼视网膜、青光眼具体安排方案为：依表7的入院安排考虑每种病的入院时间，当出现多类病人在同一天考虑入院的情形时，以外伤白内障双眼 白内障单眼白内障单眼视网膜、青光眼的优先权进行入院安排。4.2.2 模型的求解依据给出的安排模型，用M
19、ATLAB编程进行模拟仿真，计算机仿真过程流程图如下： 开始输入数据data踢掉25号之前入院的外伤数据推算出25号前各病人的出院日期把当天门诊的病人列入队列queue根据当天出院数和排队规则入院是否下一天输出排队数据newdata 结束图2 病床安排模型的仿真流程图对仿真后的结果（见附录），计算其所有病人的平均入院等待时间，所有病人的平均手术等待时间可由优化模型得出结果。最后利用问题（1）建立的评价指标体系将所建模型与已有模型作比较，做出适当的评价。（1）所有病人的平均入院等待时间8.73（天）（2）所有病人的平均手术等待时间（天）表8 模型比较指标原有模型新建模型10.718.732.44
20、由此看见，不管是从平均入院等待时间，还是从平均手术等待时间来看，新建的模型都优于原有模型。系统结构是合理的，且运行效率较高。4.3问题（3）模型的建立与求解4.3.1模型的建立首先，我们根据不同病情的术后观察期各不相同，所以将病人分为五类考虑，第一类：白内障（单），第二类：白内障（双），第三类：青光眼，第四类：视网膜，第五类：外伤。（1）为了对题目给出的第二组数据（住在医院的人）和第三组数据（等待入院）按照第二问建立的模型进行仿真，我们需要对第一组数据（已经出院的人）统计出各类病人术后观察期，并将其百分比等效为概率，统计结果如下表：表9 白内障单（双）眼术后观察类别白内障单眼白内障双眼天数23
21、4567百分比%29.1751.3919.4429.1751.3919.44 表10 外伤术后观察期天数345678910人数21210911533总人数5555555555555555百分比%3.6421.8218.1816.3620.009.095.455.45表11 青光眼术后观察期天数456789101112百分比%2.560.007.6925.6430.7720.515.132.565.13表12 视网膜术后观察期天数56789101112131415百分比%2.971.986.9315.8410.8917.8214.8510.898.914.953.96（2） 按照第二问中模型的规
22、则对病人进行安排，只要知道病人的门诊时间，就可以根据安排计算出病人的入院时间和手术时间，而病人的术后观测期由病人的体质来决定，具有随机性。因此在仿真过程中，我们利用MATLAB产生服从上述分布的随机数作为病人的术后观测期，依据问题二的规则进行多次仿真。即可从仿真结果中确定病人的入院时间和出院时间的范围。 4.3.2 模型的求解对题目中给出的第二类数据（住院的人）和第三类数据（等待入院的人）进行多次仿真，估算出每个人入住时间区间。例如：8月30日来门诊的一例白内障双眼患者，估算出其入院时间为8月31日；9月1日来门诊的一例视网膜疾病患者，估算出其入院时间为9月12日或9月14日。4.4问题（4）
23、模型的建立与求解我们认为白内障双眼患者依然服从两次手术时间在一周内完成，且间隔为一天的准则，白内障单眼患者的手术时间也是在指定时间进行。又由于周六、周日不安排手术，所以考虑每周一、三做白内障手术，周六、周日不安排手术情况。对结果进行分析，若新建模型的两个指标均优于原有模型，则医院的手术时间安排不需要调整；若出现新建模型的指标有一个劣于原有模型，则需要对医院的手术时间安排作出相应的调整。4.4.1 模型的建立若该住院部周六、周日不安排手术，其他手术时间安排不做调整，则在第二问模型的基础上，建立病床安排模型。不同的是，第类病人在星期入院的手术等待时间与最优情况下第类病人在星期门诊的入院等待时间发生
24、了改变，重新统计结果如下表：表13 每类病人不同时间入院的手术等待时间外伤白内障单眼白内障双眼其他星期一1273星期二1162星期三1552星期四1445星期五3334星期六2223星期日1112通过LINGO求解，得出的相应入院安排如下：表14 入院安排外伤白内障单眼白内障双眼其他星期一可入院星期二可入院可入院可入院星期三可入院可入院星期四可入院星期五星期六星期日可入院可入院可入院可入院表15 最优时每类病人不同时间门诊到入院的等待时间白内障单眼白内障双眼其他星期一161星期二551星期三444星期四333星期五222星期六111星期日272除去外伤外，其它病的优先权根据一周内可入院的次数来
25、定，可入院的次数越少，该类病人越难得到服务，其入院等待时间会越长。所以优先权级别为：外伤白内障双眼 白内障单眼白内障单眼视网膜、青光眼具体安排方案为：依表14的入院安排考虑每种病的入院时间，当出现多类病人在同一天考虑入院的情形时，以外伤白内障双眼 白内障单眼白内障单眼视网膜、青光眼的优先权进行入院安排。4.4.2 模型的求解利用MATLAB编程对以上手术安排时间进行模拟仿真，对仿真后的结果，计算其所有病人的平均入院等待时间，所有病人的平均手术等待时间。最后利用问题（1）建立的评价指标体系将所建模型与已有模型作比较，做出适当的评价。表16 模型比较指标原有模型新建模型10.7110.2912.4
26、41.416 从分析结果可看出新建模型的两个指标均优于原有模型，则医院的手术时间安排不需要作出调整。4.5问题（5）模型的建立与求解由于医院采用病床按比例分配，即第类（）病情有个病床提供服务，因此我们将每类病情单独看作是一个单队多服务台的排队系统。4.5.1 模型的建立首先，对数据进行统计整理，算出第类病人每天平均到达率，以及服务时间的期望与方差。假设第类病人每天平均到达率服从参数为的泊松分布，利用经验分布拟合检验方法2中的Kolmogorov-Smirnov检验统计量，以经验分布函数与原假设中的总体分布函数之间的差异为出发点，通过SPSS软件进行检验，表17 Kolmogorov-Smirn
27、ov检验统计量D.356.364.394.482.291p1.000.999.998.9741.000发现，则不能拒绝假设。因此顾客到达分布为泊松分布。因此我们将每类病情看作是一个模型，即病人的到达为泊松输入，而服务时间为任意分布，服务台数为的模型，则有下列公式3：（5.1）（5.2）（5.3）表达式中，表示第类病人在系统中的平均队长，表示第类病人在系统内的平均逗留时间。根据题意，以所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短为目标，以每类病情均达到稳态和病床总数为约束条件，建立优化模型，求出病床比例分配。目标函数：（5.4） 约束条件： （5.5）（5.6） 式（5.6）表示各
28、类病情的排队情况均会趋于稳态。4.5.2 模型的求解数据的统计结果如下：表18 第1、2、3类病第1类病（外伤）第2类病（白单）第3类病（白双）就诊的病人数出现的天数就诊的病人数出现的天数就诊的病人数出现的天数021090612012411921621521334373124045465051536人以上06人以上06人以上2合 计61合 计61合 计61表19 第4、5类病第4类病（视网膜）第5类病（青光眼）就诊的病人数出现的天数就诊的病人数出现的天数02020116125211213311304943510506人以上26人以上0合 计61合 计61通过每类病人每天平均到达率，计算出，对其
29、进行检验，均服从泊松分布。表20 时间的期望与方差第1类病第2类病第3类病第4类病第5类病328712.06934.029710.16833.11883.30861.44402.02222.37094.0701对优化模型进行求解，得出各类病分配到得病床数，见下表：表21 病床分配比例外伤白内障单眼白内障双眼视网膜青光眼合计病床数661645679病床比例7.59%7.59%12.64%56.96%7.59%1依表21的病床比例进行分配，此时求出的所有病人在系统内的平均逗留时间为6.19天。5 模型的优缺点评价5.1 模型的优点（1）采用平均最短逗留时间作为评价指标，使得对病床安排模型的评价直接
30、，简洁，且实用性强。（2）病床安排模型实用有效。通过采用新建立的病床安排模型对原数据进行处理分析，可得此模型在与原系统相同的时间内，能够安排更多的病人接受治疗；（3）通过估算周一周日每天出院的人数，从而能较方便地计算出等待入住病人的大致入住时间；5.2 模型的缺点 模型只从病人尽可能短的等待时间这个角度来考虑病床的安排模型，而现实情况下，病床的安排受到多种因素影响，所以此模型的实用性有一定的局限性。6 模型的改进与推广对于中的权值可根据医院或病人的实际情况做适当的调整，使得模型使用范围更广。7 参考文献1 苏华，刘近安，运用医院工作效率综合评价指数评价医院工作效率，中国卫生统计，25(3)：3
31、13314，20082 梅长林，范金城，数据分析方法，北京：高等教育出版社，20063 胡运权，郭耀辉，运筹学，北京：清华大学出版社，2005附录附录1 病床安排模型仿真类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间其他2008-7-132008-7-252008-7-27/2008-8-8其他2008-7-132008-7-252008-7-27/2008-8-4其他2008-7-132008-7-252008-7-27/2008-8-5其他2008-7-132008-7-262008-7-28/2008-8-10白内障（双眼）2008-7-132008-7-272008-7-28
32、2008-7-302008-8-2白内障2008-7-132008-7-292008-7-30/2008-8-2外伤2008-7-132008-7-142008-7-15/2008-7-19白内障（双眼）2008-7-142008-7-272008-7-282008-7-302008-8-1白内障（双眼）2008-7-142008-7-272008-7-282008-7-302008-8-2白内障（双眼）2008-7-142008-7-272008-7-282008-7-302008-8-2白内障2008-7-142008-7-292008-7-30/2008-8-1其他2008-7-1420
33、08-7-302008-8-1/2008-8-9其他2008-7-142008-7-302008-8-1/2008-8-11其他2008-7-142008-7-302008-8-1/2008-8-7其他2008-7-142008-7-302008-8-1/2008-8-12其他2008-7-142008-7-302008-8-1/2008-8-9白内障（双眼）2008-7-152008-7-272008-7-282008-7-302008-8-2白内障（双眼）2008-7-152008-7-272008-7-282008-7-302008-8-2白内障2008-7-152008-7-29200
34、8-7-30/2008-8-1白内障2008-7-152008-7-292008-7-30/2008-8-1白内障2008-7-152008-7-292008-7-30/2008-8-1其他2008-7-152008-7-312008-8-2/2008-8-16其他2008-7-152008-7-312008-8-2/2008-8-9其他2008-7-152008-7-312008-8-2/2008-8-13其他2008-7-152008-7-312008-8-2/2008-8-10其他2008-7-152008-7-312008-8-2/2008-8-12白内障（双眼）2008-7-1620
35、08-7-272008-7-282008-7-302008-8-2白内障（双眼）2008-7-162008-7-272008-7-282008-7-302008-8-2白内障2008-7-162008-7-292008-7-30/2008-8-3其他2008-7-162008-8-12008-8-3/2008-8-10其他2008-7-162008-8-12008-8-3/2008-8-13其他2008-7-162008-8-12008-8-3/2008-8-14外伤2008-7-162008-7-172008-7-18/2008-7-22白内障（双眼）2008-7-172008-7-2720
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