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1、第二讲 传输线理论,传输线理论又称一维分布参数电路理论，是微波电路设计和计算的理论基础，在电路理论与场的理论之间起着桥梁作用，在微波网络分析中也相当重要。本章从“化场为路”的观点出发,首先建立传输线方程,导出传输线方程的解,引入传输线的重要参量阻抗、反射系数及驻波比;然后分析无耗传输线的特性,给出传输线的功率、效率及损耗的概念。,2.0 基本概念2.1 均匀传输线方程及其解2.2 传输线的阻抗与状态参量2.3 无耗传输线的状态分析2.4 传输线的传输功率、效率与损耗,主要内容,2.0 基本概念,一般将截面尺寸、形状、媒质分布、材料及边界条件均不变的导波系统称为规则导波系统,又称为均匀传输线。,
2、微波传输线,均匀传输线,微波系统,用以传输微波信息和能量的各种形式的传输系统的总称,它的作用是引导电磁波沿一定方向传输,因此又称为导波系统,其所导引的电磁波称为导行波,传输线本身的不连续性可以构成各种形式的微波无源元器件,这些元器件和均匀传输线、有源元器件及天线一起构成微波系统。,长线和短线是一个相对概念，均相对于电磁被波长而言的，例如在微波领域中,1000m的传输线对于频率为1000MHz(波长为30cm)的电磁波而言属于长线；在电力系统中，1000m 的输电线对于频率为50Hz(波长为6000Km)的交流电而言却是短线。,长线与短线,短线,输入电压uin,输出电压uoutuin,集总参数电
3、路表示,对于短线，分布参数所引起的效应可忽略不计。所以采用集总参数电路进行研究。,长线,输入电压uin,输出电压uoutuin,分布参数电路表示,微波传输线类型,图 1-1 各种微波传输线,镜像线 单根表面波传输线 介质波导,平行双导体传输线及其场分布,同轴线及其场分布,微带线及其场分布,带状线及其场分布,平行板传输线及其场分布,用于移动电话的2GHz功率放大器的PCB布局,传输线理论基础,电磁场,电路,均匀传输线分析方法,2.1 均匀传输线方程及其解,1.均匀传输线方程,当线上传输的高频电磁波时，传输线上的导体上的损耗电阻、电感、导体之间的电导和电容会对传输信号产生影响，这些影响不能忽略。,
4、高频信号通过传输线时将产生分布参数效应：分布电阻:电流流过导线将使导线发热产生电阻；R为传输线上单位长度的分布电阻。分布电导：导线间绝缘不完善而存在漏电流；G为传输线上单位长度的分布电导。分布电感：导线中有电流，周围有磁场；L为传输线上单位长度的分布电感。分布电容：导线间有电压，导线间有电场。C为传输线上单位长度的分布电容。,由均匀传输线组成的导波系统可等效为如图 1-2(a)所示的均匀平行双导线系统。其中传输线的始端接微波信号源（简称信源）,终端接负载,选取传输线的纵向坐标为z,坐标原点选在终端处,波沿负z方向传播。,图 1-2 均匀传输线及其等效电路,有耗线,无耗线,在均匀传输线上任意一点
5、z处,取一微分线元z（z）,该线元可视为集总参数电路,其上有电阻Rz、电感Lz、电容Cz和漏电导Gz(其中R,L,C,G分别为单位长电阻、单位长电感、单位长电容和单位长漏电导),得到的等效电路如图1-2(b)所示,则整个传输线可看作由无限多个上述等效电路的级联而成。设在时刻t,位置z处的电压和电流分别为u(z,t)和i(z,t),而在位置z+z处的电压和电流分别为u(z+z,t)和i(z+z,t)。对很小的z,忽略高阶小量,有,(2-1-1),将式（2-1-1）代入式（2-1-2）,并忽略高阶小量,可得,(2-1-3),均匀传输线方程(电报方程),(2-1-2),对图 1-2（b），应用基尔霍
6、夫定律可得,图 2-2（b）,在沟通大西洋电缆(海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时，必须计及其波动性，这时传输线也称长线。,式中,Z=R+jL:传输线单位长串联阻抗;Y=G+jC,传输线单位长并联导纳。,时谐传输线方程,对于时谐电压和电流,可用复振幅表示为,(2-1-4),2.均匀传输线方程的解,令 2=ZY=(R+jL)(G+jC),则上两式可写为,时谐传输线 方 程,一维波动方程,电压、电流的通解为,式中：A1,A2为待定系数,由边界条件确定；Zo为特性阻抗,特性阻抗Z0是由传输线自身分布参数
7、决定的一个物理量,(2-1-7),令=+j,则得传输线上的电压和电流的瞬时值表达式为,入射波,反射波,入射波,反射波,由上式可见,传输线上电压和电流以波的形式传播,在任一点的电压或电流均由沿-z方向传播的行波（称为入射波）和沿+z方向传播的行波（称为反射波）叠加而成。Z0为实数时,电压入射波与电流入射波相位相同,电压反射波与电流反射波相位相反。,(2-1-8),现在来确定待定系数,由图 1-2(a)可知,传输线的边界条件通常有以下三种:已知终端电压Ul和终端电流Il;已知始端电压Ui和始端电流Ii;已知信源电动势Eg和内阻Zg以及负载阻抗Zl。,下面我们讨论第一种情况 将边界条件 z=0 处U
8、(0)=Ul、I(0)=Il 代入上式，得,(2-1-9),(2-1-10),(2-1-7),已知终端电压Ul和终端电流Il,将上式代入式（1-1-7），则有,可见,只要已知终端负载电压Ul、电流 Il 及传输线特性参数、Z0,则传输线上任意一点的电压和电流就可由上式求得。,(2-1-11),(2-1-12),写成矩阵形式为,思考题?,对于无耗传输线,=j,写出上式的形式.,3.传输线的工作特性参数 1)特性阻抗Z0 传输线的特性阻抗定义传输线上导行波的电压与电流之比,，用Z0来表示,其倒数称为特性导纳,用Y0来表示。由定义得 Z0=特性阻抗的一般表达式为,(2-1-13),可见特性阻抗Z0通
9、常是个复数,且与工作频率有关。它由传输线自身分布参数决定而与负载及信源无关,故称为特性阻抗。,(1)对于均匀无耗传输线,R=G=0,传输线的特性阻抗为 此时,特性阻抗Z0为实数,且与频率无关。(2)当损耗很小,即满足RL、GC时，有,可见,损耗很小时的特性阻抗近似为实数。,对于均匀无耗或低耗传输线,特性阻抗为实数,对于直径为d、间距为D的平行双导线传输线,其特性阻抗为,式中,r为导线周围填充介质的相对介电常数。常用的平行双导线传输线的特性阻抗有250,400和600三种。对于内、外导体半径分别为a、b的无耗同轴线,其特性阻抗为,式中,r为同轴线内、外导体间填充介质的相对介电常数。常用的同轴线的
10、特性阻抗有50 和75两种。,均匀无耗或低耗传输线,特性阻抗主要与分布电感和电容有关,而分布电感与电容与传输线的结构尺寸和填充介质有关.,三种类型的传输线的分布参量,传输线的分布参量与传输线的结构尺寸和填充介质有关,2)传播常数 传播常数是描述传输线上导行波沿导波系统传播过程中衰减和相移的参数,通常为复数,由前面分析可知,(2-1-18),。,为相移常数,单位为rad/m,为衰减常数,单位为Np/m或dB/m,1Np=8.686dB,奈培,对于无耗传输线,R=G=0,则=0,此时=j,=。对于损耗很小的传输线,即满足RL、GC时,有,于是小损耗传输线的衰减常数和相移常数分别为,(2-1-19)
11、,(2-1-20),3)相速p与波长 传输线上的相速定义为电压、电流入射波（或反射波）等相位面沿传输方向的传播速度,用p来表示。由式（2-1-8）得等相位面的运动方程为 tz=const.（常数）上式两边对t微分，有,(2-1-21),传输线上的波长 与自由空间的波长 0有以下关系:=对于均匀无耗传输线来说,由于与成线性关系,故导行波的相速与频率无关,也称为无色散波。当传输线有损耗时,不再与成线性关系,使相速p与频率有关,这就称为色散特性。在微波技术中,常可把传输线看作是无损耗的,因此,下面着重介绍均匀无耗传输线。,(2-1-22),2.2 传输线阻抗与状态参量,传输线上任意一点电压与电流之比
12、称为传输线在该点的阻抗,它与导波系统的状态特性有关。由于微波阻抗是不能直接测量的,只能借助于状态参量如反射系数或驻波比的测量而获得.1.输入阻抗 由上一节可知,对无耗均匀传输线,线上各点电压U(z)、电流I(z)与终端电压Ul、终端电流Il的关系如下,U(z)=Ulcos(z)+jIlZ0sin(z)I(z)=Il cos(z)+j sin(z)式中,Z0为无耗传输线的特性阻抗,为相移常数。定义传输线上任意一点z处的输入电压和输入电流之比为该点的输入阻抗,记作 Zin(z),即 由式（2-2-1）得,(2-2-1),(2-2-2),式中,Zl为终端负载阻抗。上式表明:均匀无耗传输线上任意一点的
13、输入阻抗与观察点的位置、传输线的特性阻抗、终端负载阻抗及工作频率有关,且一般为复数,故不宜直接测量。另外,无耗传输线上任意相距/2处的阻抗相同,一般称之为/2重复性。,(2-2-3),例1一根特性阻抗为50、长度为0.1875m的无耗均匀传输线,其工作频率为200MHz,终端接有负载Zl=40+j30(),试求其输入阻抗。解:由工作频率f=200MHz得相移常数=2f/c=4/3。将Zl=40+j30(),Z0=50,z=l=0.1875及值代入式（1-2-3），有,若终端负载为复数,传输线上任意点处输入阻抗一般也为复数,但若传输线的长度合适,则其输入阻抗可变换为实数,这也称为传输线的阻抗变换
14、特性。,通常将电压反射系数简称为反射系数,并记作(z)。由式（2-1-7）及（2-1-10）并考虑到=j,有,l e-j2z,式中,称为终端反射系数。,(2-2-5),2.反射系数,电压反射系数,电压反射系数,u(z)=-i(z),(z)=,于是任意点反射系数可用终端反射系数表示为(z)=|l|e j(l-2z)(2-2-6)由此可见,对均匀无耗传输线来说,任意点反射系数(z)大小均相等,沿线只有相位按周期变化,其周期为/2,即反射系数也具有/2重复性。,3.输入阻抗与反射系数的关系 由式（2-1-7）及（2-2-4）得,(2-2-7),当传输线特性阻抗一定时,输入阻抗与反射系数有一一对应的关
15、系,因此,输入阻抗Zin(z)可通过反射系数(z)的测量来确定。,由此可见,当z=0时,(0)=l,则终端负载阻抗Zl与终端反射系数l的关系为,当Zl=Z0时,l=0,即负载终端无反射,此时传输线上反射系数处处为零,一般称之为负载匹配。当ZlZ0时,负载端就会产生一反射波,向信源方向传播,若信源阻抗与传输线特性阻抗不相等时,则它将再次被反射。,对于无耗传输线,沿线各点的电压和电流的振幅不同,以/2周期变化。为了描述传输线上驻波的大小,我们引入一个新的参量电压驻波比。,电压驻波比有时也称为电压驻波系数,简称驻波系数,其倒数称为行波系数,用K表示。于是有,(2-2-11),(2-2-12),4.驻
16、波比:终端不匹配的传输线上各点的电压和电流由入射波和反射波叠加而成,结果在线上形成驻波。,定义传输线上波腹点电压振幅与波节点电压振幅之比为电压驻波比,用表示：,由于传输线上电压是由入射波电压和反射波电压叠加而成的,因此电压最大值位于入射波和反射波相位相同处,而最小值位于入射波和反射波相位相反处,即有将式（2-2-13）代入式（2-2-11）,并利用式（2-2-4），得,。,(2-2-13),(2-2-14),当|l|=0,即传输线上无反射时,驻波比=1，K=1;当|l|=1,即传输线上全反射时,驻波比,K=0;驻波比、行波系数和反射系数一样可用来描述传输线的工作状态.,例2一根75均匀无耗传输
17、线,终端接有负载Zl=Rl+jXl,欲使线上电压驻波比为3,则负载的实部Rl和虚部Xl应满足什么关系？解:由驻波比=3,可得终端反射系数的模值应为,于是由式（1-2-10）得,将Zl=Rl+jXl,Z0=75代入上式,整理得负载的实部Rl和虚部Xl应满足的关系式为(Rl-125)2+X12=1002即负载的实部Rl和虚部Xl应在圆心为（125,0）、半径为100的圆上,上半圆对应负载为感抗,而下半圆对应负载为容抗。,1.传输线方程及其解,2.传输线的工作特性参数:特性阻抗,传播常数,相速与波长3.传输线阻抗与状态参量:,小 结,2.3 无耗传输线的状态分析,对于无耗传输线,负载阻抗不同则波的反
18、射也不同;反射波不同则合成波不同;合成波的不同意味着传输线有不同的工作状态。归纳起来,无耗传输线有三种不同的工作状态:行波状态(Traveling wave state):无反射 纯驻波状态(Pure standing wave state):全反射 行驻波状态(Taveling-standing wave state):部分反射,1.行波状态 行波状态就是无反射的传输状态,此时反射系数l=0,而负载阻抗等于传输线的特性阻抗,即Zl=Z0,也可称此时的负载为匹配负载。处于行波状态的传输线上只存在一个由信源传向负载的单向行波,此时传输线上任意一点的反射系数(z)=0,将之代入式（2-2-7）就可
19、得行波状态下传输线上的电压和电流：,(2-3-1),设A1=|A1|ej0,考虑到时间因子e jt,则传输线上电压、电流瞬时表达式为 u(z,t)=|A1|cos(t+z+0)i(z,t)=cos(t+z+0),(2-3-2),此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为 Zin(z)=Z0 综上所述,对无耗传输线的行波状态有以下结论:沿线电压和电流振幅不变,驻波比=1;电压和电流在任意点上都同相;传输线上各点阻抗均等于传输线特性阻抗。,2.纯驻波状态 纯驻波状态就是全反射状态,也即终端反射系数|l|=1。在此状态下,由式（2-2-10），负载阻抗必须满足,(2-3-3),由于无耗传输线的特性阻抗Z0
20、为实数,因此要满足上式,负载阻抗必须为:短路(Zl=0)、开路(Zl)或纯电抗(Zl=jXl)。这时,传输线上入射波在终端将全部被反射,沿线入射波和反射波叠加都形成纯驻波分布。,终端负载短路时,即负载阻抗Zl=0,终端反射系数l=-1,而驻波系数,此时传输线上任意点z处的反射系数为:(z)=-e-j2z 将之代入式（1-2-7）并经整理得,下面以终端短路为例分析纯驻波状态:,(2-3-4),此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为,设A1=|A1|e j0,考虑到时间因子e jt,则传输线上电压、电流瞬时表达式为,(2-3-5),沿线各点电压和电流振幅按余弦变化,电压和电流相位差 90,功率为无功
21、功率,即无能量传输;在z=n/2(n=0,1,2,)处电压为零,电流的振幅值最大且等于2|A1|/Z0,称这些位置为电压波节点,在z=(2n+1)/4(n=0,1,2,)处电压的振幅值最大且等于2|A1|,而电流为零,称这些位置为电压波腹点;传输线上各点阻抗为纯电抗,在电压波节点处Zin=0,相当于串联谐振,在电压波腹点处|Zin|,相当于并联谐振,在0z/4内,Zin=jX相当于一个纯电感,在/4z/2内,Zin=-jX相当于一个纯电容，从终端起每隔/4阻抗性质就变换一次,这种特性称为/4阻抗变换性。,终端短路时驻波特性,图 2-3 终端短路线中的纯驻波状态,图 2-3 给出了终端短路时沿线
22、电压、电流瞬时变化的幅度分布以及阻抗变化的情形。,终端负载开路时,即负载阻抗Zl=,终端反射系数l=1,而驻波系数,此时传输线上任意点z处的反射系数为:(z)=e-j2z 将之代入式（1-2-7）并经整理得,下面以终端开路为例分析纯驻波状态:,(2-3-4),此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为,终端开路时传输线上的电压和电流也呈纯驻波分布,因此也只能存储能量而不能传输能量。在z=n/2(n=0,1,2,)处为电压波腹点,而在z=(2n+1)/4(n=0,1,2,)处为电压波节点。实际上终端开口的传输线并不是开路传输线,因为在开口处会有辐射,所以理想的终端开路线是在终端开口处接上/4短路线来实
23、现的。,终端开路时驻波特性,图 2-4 无耗终端开路线的驻波特性,开路,短路,当均匀无耗传输线端接纯电抗负载Zl=jX时,因负载不能消耗能量,仍将产生全反射,入射波和反射波振幅相等,但此时终端既不是波腹也不是波节,沿线电压、电流仍按纯驻波分布。,终端接纯电抗负载时驻波特性,由前面分析得小于/4的短路线相当于一纯电感,因此当终端负载为Zl=jXl的纯电感时,可用长度小于/4的短路线lsl来代替。由式（1-3-6）得,电感的等效,当终端负载为Zl=-jXC的纯电容时,可用长度小于/4的开路线loc来代替（或用长度为大于/4小于/2的短路线来代替）,其中:,电容的等效,图 2-5 给出了终端接电抗时
24、驻波分布及短路线的等效。,图 2-5 终端接电抗时驻波分布,开路,短路,总之,处于纯驻波工作状态的无耗传输线,沿线各点电压、电流在时间和空间上相差均为/2,故它们不能用于微波功率的传输,但因其输入阻抗的纯电抗特性,在微波技术中却有着非常广泛的应用。,驻 波 特 点,3.行驻波状态 当微波传输线终端接任意复数阻抗负载时,由信号源入射的电磁波功率一部分被终端负载吸收,另一部分则被反射,因此传输线上既有行波又有纯驻波,构成混合波状态,故称之为行驻波状态。,设终端负载为Zl=RljXl,由式（2-2-5）得终端反射系数为,式中:,由此可得传输线上各点电压、电流的时谐表达式为,(2-3-9),(2-3-
25、10),设A1=|A1|e j0,则传输线上电压、电流的模值为,图 2-6 给出了行驻波条件下传输线上电压、电流的分布。,(2-3-11),(2-3-12),传输线上任意点输入阻抗为复数,其表达式为,图 2-6 行驻波条件下传输线上电压、电流的分布,当cos(l-2z)=1时,电压幅度最大,而电流幅度最小,此处称为电压的波腹点,对应位置为,于是可得电压波腹点阻抗为,相应该处的电压、电流分别为,电压波腹点,(纯电阻),相应的电压、电流分别为,(2-3-15),（纯电阻）,该处的阻抗为,当cos(l-2z)=-1时,电压幅度最小,而电流幅度最大,此处称为电压的波节点,对应位置为,电压波节点,电压波
26、腹点和波节点相距/4,且两点阻抗有如下关系:RmaxRmin=Z02,实际上,无耗传输线上距离为4的任意两点处阻抗的乘积均等于传输线特性阻抗的平方,这种特性称之为/4阻抗变换性。,/4阻抗变换性,例3设有一无耗传输线,终端接有负载Zl=40-j30():要使传输线上驻波比最小,则该传输线的特性阻抗应取多少？此时最小的反射系数及驻波比各为多少？离终端最近的波节点位置在何处？画出特性阻抗与驻波比的关系曲线。,解:要使线上驻波比最小,实质上只要使终端反射系数的模值最小,即 将上式对Z0求导,并令其为零,经整理可得 即Z0=50。这就是说,当特性阻抗Z0=50时终端反射系数最小,从而驻波比也为最小。,
27、由于终端为容性负载,故离终端的第一个电压波节点位置为,终端负载一定时,传输线特性阻抗与驻波系数的关系曲线如图 1-7 所示。其中负载阻抗Zl=40-j30()。由图可见，当Z0=50时驻波比最小,与前面的计算相吻合。,此时终端反射系数及驻波比分别为,图 1-7 特性阻抗与驻波系数的关系曲线,2.4 传输线的传输功率、效率和损耗,1.传输功率与效率 设传输线均匀且=+j(0),则沿线电压、电流的解为,假设Z0为实数,l=|1|e jl，则传输线上任一点z处的传输功率为,(2-4-1),入射波功率,反射波功率,传输线,Pt,P+,P-,图1-8 功率传输示意图,终端负载在 z=0处,故负载传输功率
28、(即吸收功率)为由此可得传输线的传输效率为,设传输线总长为l,将z=l代入式（2-4-2）,则始端传输功率为,(2-4-5),(2-4-4),(2-4-3),当负载与传输线阻抗匹配时,即|l|=0,此时传输效率最高,其值为 可见,传输效率取决于传输线的损耗和终端匹配情况。,(2-4-6),(1)dB是一个表征相对值的值，纯粹的比值，只表示两个量的相对大小关系，没有单位，当考虑甲的功率相比于乙功率大或小多少个dB时，按下面计算公式：10log（甲功率/乙功率）。(2)dBm：一个表示功率绝对值的值（也可以认为是以1mW功率为基准的一个比值，定义如下：(3)与dBm一样，dBw是一个表示功率绝对值
29、的单位（也可以认为是以1W功率为基准的一个比值),定义如下：,dB、dBm与dBw,2.损耗 传输线的损耗可分为回波损耗和插入损耗。回波损耗定义为入射波功率与反射波功率之比,即,由式（1-4-2）得,对于无耗线,=0,Lr与z无关,即 若负载匹配,则|l|=0,Lr-,表示无反射波功率。,e=2.71828183,问题:若功率用dBm单位,如何定义回波损耗?,回波损耗,插入损耗定义为入射波功率与传输功率之比,以分贝表示为:,由式（1-4-2）得,式中,为传输线上驻波系数。因插入损耗取决于负载失配情况,故又称为失配损耗。,若不考虑传输线的损耗,即=0,则,插入损耗,总之,回波损耗和反射损耗虽然都
30、与反射信号即反射系数有关,但回波损耗取决于反射信号本身的损耗,|l|越大,则|Lr|越小;而插入损耗Li则表示反射信号引起的负载功率的减小,|l|越大,则|Li|也越大。图 1-8 是回波损耗|Lr|和插入损耗|Li|随反射系数的变化曲线。,回波损耗和插入损耗的区别,图 1-8|Lr|、|Li|随反射系数的变化曲线,例4:现有同轴型三路功率分配器,如图所示,该功分器在2.55.5GHz频率范围内其输入端的输入驻波比均小于等于1.5,插入损耗为0.5dB,设输入功率被平均分配到各个输出端口,试计算:(1)输入端的回波损耗;(2)每个输出端口得到的输出功率与输入端总功输入功率的比值(用百分比表示).,解题思路:,
