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1、风险的度量-在险价值VaR,内容提要,VaR的定义计算VaR回顾测试投资组合的VaRVaR用于投资组合风险管理,VaR的定义,VaR的定义,VaR的含义是处于风险中的价值，“VaR(VauleatRiks)是指在市场的正常波动下，在给定的置信水平下，某一金融资产或者证券投资组合在未来的特定的一段时间内的最大的可能的损失。更正式的讲，VaR是描述一定目标时段下资产(或资产组合)的损益分布的分位点。例如：某个敞口在99%的置信水平下的日VaR值为1000万美元。损失和收益的关系可以由图表示，其中右侧的实线表示损失，左侧的实线表示收益。,VaR有两个定义绝对VAR，给定置信水平（99%）下的最大损失
2、，也称VaR（零值）VAR（均值）,第二种VaR定义方式与经济资本分配和风险调整后资本收益率（RAROC）计算一致。,注：大多数 VaR 都是短期风险，如1天、10天（监管者要求）巴塞尔协议规定p=99%对于内部资产，p=99.96%,VaR与ES的定义,VaRVaR的性质单调性：如果 L1L2 在任何情况下都成立，则 VaR(L1)VaR(L2)正齐次性：对于任意正数 h，有 VaR(hl)hVaR(L)平移不变性：对于任意一个固定的常数，有 VaR(L)VaR(L)+不满足次可加性,VaR不满足次可加性的例子,VaR与ES的定义,ES（TVaR，CVaR，CED）ES的定义对于金融资产损失
3、函数 L，在VaR的基础上，可以给出置信水平 100(1-)%的ES定义如下 ES1-(L)=E Lt|Lt VaR1-(L)ES的性质ES不但满足单调性、正齐次性、平移不变性，而且还满足次可加性，是一致性风险测度。,VaR的计算,计算VaR的步骤,逐日盯市确认投资组合的市值衡量风险因素的变化率，如波动率15%设定时间区域，样本观察时间段，如10天设定置信水平，如99%，假设分布，如正态分布分析前面信息数据，得出收入的分布概率，计算潜在的最大损失，综合得出 VaR，如在99%的置信水平的VaR为700美元,影响VaR计算的几个主要因素,上尾部概率持有期 t损失的累积分布函数金融头寸的资产价值
4、需要注意的是，空头头寸与多头头寸在实际分析过程中有明显不同。,几种常见的计算方法,非参数法：使用历史数据，计算经验分布和经验分位数。历史模拟法参数法：假定收益率服从某种分布，估计参数，计算分布的分位数。正态分布T分布极值分布,历史模拟法（Historical Simulation Approach）,首先选择风险因子的历史数据，例如500个交易日数据。其次，用历史数据计算资产组合的价值和价值的变化.最后，构建直方图，找到1%的分位点，即第5个最坏的损失。计算VAR。,历史模拟法计算例子,考虑一个美国投资者，在2008年9月25日持有价值1000万的投资组合（如图），组合中有4个股票指数，指数价
5、格以美元计算，下面显示了4个指数的收盘价格的历史数据（可下载）,10天VaR,历史模拟法的推广,1、对观察值设定权重使权重随时间回望期的延伸而按指数速度递减将所有观测值由最坏到最好进行排序由损失最坏的情形开始，累积计算每一项权重的和，直到达到某指定分位数界限时为止。可以通过回顾检验中，测试不同的l，来选取最佳参数l,2、更新波动率利用第i天波动率与当前波动率的不同，使用一种更新波动率的模式，并基于在第i天观测到的百分比变化来调整市场变量。例如,假定 是 的两倍。市场变量在第i个情形会变成,3、自助法假定有500个数据由观测样本x=(x1，xn)构造经验分布函数Fn;从Fn中抽取简单样本X*=（
6、X1，Xm），m=n,重复步骤（2）N次，由Bootstrap子样得到样本p分位数，xp，i，i=1，N。计算统计量:由中心极限定理，可以得到xp近似服从正态分布，由此可以得到分位点的点估计和区间估计。,参数法,1、正态分布：,Z=(R)/s denotes a standard normal variable,N(0,1),不同置信水平对应的临界值,如何选择c和时间段Dt,公司范围内不同市场风险的比较，99%，1天潜在损失的衡量满足资本充足率回溯标准,1日VaR 和 10日 VaR,假设市场是有效的，每日收益Rt是独立同分布的，服从正态分布N(m,s2)，则10日收益率也是服从正态分布，均值
7、10m，方差是10s2,均值方差法计算股票组合的VaR,假设持有两种股票，价格分别为S1（持有数量n1）、S2（持有数量n2），则股票组合的价值为（1）风险因子选择股票价格，,Rv=资产组合收益率Ri=第i种股票的收益率，i=DSi/Siwi=资产组合中投资于第i种股票的比重,i,=1,2,with S wi=1,（2）计算风险因子 Rv的分布：假设价格服从对数正态分布，日收益率服从正态分布。假设股票收益率Ri服从正态分布，mi和si，相关系数为r。（3）计算股票i的 1日和10日VAR,（4）计算资产组合1日和10日的VaR,通过对这两支股票一年的历史数据，可以估计收益率的均值和方差分别为代
8、入数据,where VaR1,VaR2,and VaRV denote the one-day value at risk at the 99 percent confidence level for注意，资产组合的VaR小于两个资产的VaR的和，这反映了由于权益资产不完全相关而引起的资产组合效应。,均值方差法计算其他金融产品的VaR,假设持有风险资产，价值为V，将V表述为n个风险因子fi的函数，i=1,.,n.，则一阶泰勒展开近似为,Di denotes the delta”,假设风险因子都服从正态分布，则,均值方差分析的优缺点,优点：计算方便根据中心极限定理，风险因子不一定需要满足正态性不
9、需要定价模型，只需敏感因子缺点收益正态性假设不满足胖尾性需要估计波动率和相关系数无法进行敏感性分析无法计算置信区间,均值方差的推广,利用指数加权移动平均值（EWMA）模型计算方差-协方差回归条件异方差（GARCH）模型计算时变方差使用其它分布，随机模拟产生DP的分布,2、t分布大多数收益率是“胖尾”的。可使用t分布来描述，用三个指标均值m、方差s2和自由度vV描述了胖尾形，v越小，尾部越胖；v越大，t分布越趋于正态分布。对于金融时间序列，v的取值常在4和8之间。,极值理论,极值理论可以描述一个变量 x 的经验概率分布的右尾部状态.(如果要描述左尾部状态，我们可以使用变量 x.）我们先选择右端尾
10、部的一个数值 u我们可以使用 Gnedenko 的结论：随着分布 u 的增加，趋向于广义帕累托（Pareto）分布。,43,广义Pareto 分布,44,广义Pareto 分布有两个参数 x(有关分布的形状)和 b(分布的规模因子)广义Pareto 分布的累计分布函数为,参数的最大似然估计,45,我们将所有大于 u 的观察值 xi,按从大到小进行排序。假设有 nu 个观测值比 u 大。我们采用使得最大的x 和 b 作为最大似然法估计的参数,运用极值理论估计VaR,对应于置信水平为q的VaR，我们对F(VaR)=q求解因此,极值理论的例子,令u=200，nu=13。采用Excel计算中的Solv
11、e程序，可求得使似然函数达到最大值的参数值为在99%的置信水平下的VaR值为,有关u的选择,经验法则：保证u近似等于实证分布中的95%的分位数。,蒙特卡罗模拟,采用蒙特卡罗模拟法，计算交易组合一天展望期的VaR：利用当前的市场变量对交易组合进行定价从Dxi服从的多元正态分布中进行一次抽样由Dxi的抽样计算出在交易日末的市场变量利用新产生的市场变量来对交易组合重新定价计算P重复2-5步的计算，得出P的概率分布,计算股票组合的VaR,首先，选择所有风险因子，设定其动态模型（可能需要估计均值、方差和相关系数等变量），例如股票价格服从如下随机过程其次，构造价格路径，例如上述随机微分方程的解为,with
12、 Wt denoting the cumulative innovations from 0 to t.,将上述过程离散化，利用均匀分布随机数，可以得出构造价格路径所需要的随机数据。,Dt=time interval between t and t 1Z=standard normal variable N(0,1)such that,当有多个风险资产 服从式（27）的几何布朗运动随机过程，相关系数为rij，均值为mi，方差为si，可将多变量方程写为 X=(X1,.,Xn)是多元正态随机向量，均值等于0，方差矩阵为S，Sij=E(XXT)=rij,产生随机向量X=(X1,.,Xn)的方法先产生
13、n个正态随机变量随机数计算矩阵A，使得S=AAT，例如产生随机向量,最后，计算资产组合的价格和VAR模拟10000次的价格路径，得到资产组合的价格经验分布，计算1%的分位数。,Monte Carlo Approach优缺点,优点：可以考虑其他分布，如允许胖尾，跳跃等特殊现象存在可以将任何复杂的资产组合纳入模型可计算置信区间敏感性分析和压力测试 缺点某些意外情况未被纳入分布中。计算机能力限制,回顾测试,8.59,回顾测试（Back-Testing）,回顾测试的过程是统计例外的天数，也就是实际损失超出VaR的情形.损失可以是实际损失或者理论损失.如果发生例外的概率是p(=1 X),则在 n 天内发
14、生 m 次例外的可能性为,Kupiec构建了一种基于首次出现损失超过VAR的时间的检验。设 表示首次出现损失超过VAR所需要的天数，服从几何分布，零假设p=1-c,似然比检验为,如果LR3.84,拒绝原假设。在JP摩根的例子中，T=252，N=20，p=0.95%，LR=3.91,巴塞尔规则,记录上一个年度的每日超过VaR特例事件,在黄灯区，监管者根据出现特例事件的原因决定是否加以处罚。模型的构成严谨。偏差的发生是因为头寸报告不准确，或者程序码错误。模型的准确度科研提高。偏差发生是因为模型不能准确地衡量风险（到期观察值不足）同日交易。头寸在当天发生变化运气不好。市场波动非常大或者相关性变化,回
15、溯问题的要点在将运气不好和错误模型分开。下面的表给出了正确模型,后验测试注意事项,样本观察世界应该尽量短，以增大观察事件的数量，减少投资组合构成的变化影响置信水平不要选太高，因为这样会降低统计测试的有效性或力度。后验测试需要平衡两种类型误差的选择，拒绝正确模型和接受错误的模型。,我国商业银行关于返回测试的,（一）商业银行应比较每日的损益数据与内部模型产生的风险价值数据，进行返回检验，依据最近一年内突破次数确定市场风险资本计算的附加因子，并按季度将返回检验结果及附加因子调整情况报告银监会。银监会对商业银行返回检验结果和附加因子调整情况进行监督。（二）符合以下情况的，商业银行可向银监会申请不根据实
16、际突破次数调整附加因子：1商业银行如能合理说明其使用的模型基本稳健，以及突破事件只属暂时性质，则银监会可以决定不将该突破事件计入突破次数。2当金融市场发生实质性的制度转变时，市场数据的波动与相关系数的重大变化可能引发短时间内的大量突破事件。在这种情况下，银监会可要求商业银行尽快把制度转变的因素纳入其内部模型，这一过程中可暂不调高附加因子。,（三）内部模型的返回检验应至少满足以下要求：1商业银行应每日计算基于T-1日头寸的风险价值与T日的损益数据并进行比较，如损失超过风险价值则称为发生一次突破。2上述风险价值的持有期为1天，置信区间、计算方法以及使用的历史数据期限等参数应与使用内部模型法计提市场
17、风险资本要求时所用参数保持一致。3突破的统计方法采用简单突破法，即每季度末统计过去250个交易日的返回检验结果中总计发生的突破次数。4商业银行向银监会申请实施内部模型法时，应建立返回检验流程，并积累至少一年的返回检验结果数据。（四）使用内部模型法计量特定市场风险资本要求的，商业银行应对相关的利率和股票类子组合进行返回检验。,（五）商业银行应建立返回检验的文档管理和报告制度。1商业银行应对返回检验过程及结果建立完整的书面文档记录，以供内部管理、外部审计和银监会查阅使用。2返回检验突破事件发生后，应及时书面报告商业银行负责市场风险管理的高级管理层成员。3商业银行正式实施市场风险内部模型法后，应每季
18、度将过去250个交易日的返回检验结果报告提交银监会。（六）按照过去250个交易日的返回检验突破次数，其结果可分为绿区、黄区和红区三个区域。1绿区，包括0至4次突破事件。绿区代表返回检验结果并未显示商业银行的内部模型存在问题。2黄区，包括5至9次突破事件。黄区代表返回检验结果显示商业银行的内部模型可能存在问题，但有关结论尚不确定，因此，模型是准确或不准确均有可能。通常情况下，随着出现突破事件次数由5次增加至9次，模型不准确的可能性会逐步增大。3红区，包括10次或以上突破事件。红区代表返回检验结果显示商业银行的内部模型存在问题的可能性极大。,（七）市场风险返回检验突破次数、分区及资本附加因子的对应
19、关系见表1。表1：突破次数与附加因子关系表,七、模型验证要求商业银行采用内部模型法计算市场风险监管资本要求，应按本办法的规定对市场风险内部模型及支持体系进行验证，确保模型理论正确、假设合理、数据完整、模型运行情况良好、计算准确、使用分析恰当。市场风险内部模型验证的详细要求见本办法附件14。,例如，摩根的例子,LR ind=9.53,投资组合的VaR,投资组合的VaR,投资组合的VaR值可以通过所包含的各种资产的风险组合得出。投资组合的收益,W的取值含义？,矩阵形式,以金额敞口x的形式,正态模型的投资组合VaR,假设所有单个证券的收益率都服从正态分布，则投资组合的收益率也服从正态分布。我们可以将
20、置信水平c转化成标准差的倍数a，投资组合的VaR等于各个组成部分的风险,相关性与投资组合风险,假设一个投资组合只有两项资产,r=0,思考：在允许卖空时，相关性对组合风险有什么影响？,r=1,8.77,边际VaR,递增VaR及成分VaR,边际 VaR 是指交易组合价格变化同某个组合成分xi变化的比率:,递增 VaR 是指该交易组合对VaR的递增效应，即交易组合包含此子组合是的VaR与不包含此子组合是的VaR的差,第i 个子交易组合的成分 VaR,Ci,是指第i 个子交易组合对整个交易组合 VaR 的贡献量:,边际VaR,边际VaR衡量的是对投资组合中某个资产增加1美元的敞口，所引起的组合VaR的
21、变化值，它是对该资产头寸的部分偏导,将其转换成VAR数值,这个边际VaR 与b密切相关，,Incremental-VaR(IVaR),递增VAR是指加入或撤销一个资产A后，资产组合整体VAR的变化。IVAR为正，说明正相关，资产A增加风险IVAR为负，说明负相关，资产A减少风险缺点：耗时,缺点是耗时太多,近似计算,案例1续,先计算b,我们增加10000美元的初始头寸，增量VaR为接着，我们把该值与投资组合风险进行完全评估获得的增量VaR相比,成分VaR,成分VaR是指若该成分被剔除掉，投资组合VaR的值近似变化量，所有成分VaR的加总与组合的VaR值相等。,根据上述公式，VaR可以根据任何标准
22、对风险贡献进行分解。对于大型投资组合，成分VaR可以通过货币种类，资产等级种类、地理位置或部门的形式表示。,适用于一般分布的VaR工具,对组合VaR的贡献,把欧元头寸调整为0，计算VaR值的变化，并与原结果进行比较。,总结,257,738,92,738,152,108,案例4,全球股票投资组合,日本与巴西头寸风险贡献加总超过50%美国和英国头寸占比最大，但头寸风险贡献为20%日本有4.5%的超权重的头寸应该被降低到低风险水平，最佳是下降4.93%,案例5：巴林银行,背景1995年2月27日，英国中央银行突然宣布：巴林银行不得继续从事交易活动并将申请资产清理。这个消息让全球震惊，因为这意味着具有
23、233年历史、在全球范围内掌管270多亿英镑的英国巴林银行宣告破产。具有悠久历史的巴林银行曾创造了无数令人瞠目的业绩，其雄厚的资产实力使它在世界证券史上具有特殊的地位。可以这样说：巴林银行是金融市场上的一座耀眼辉煌的金字塔。年仅28岁的交易员尼克里森将已有233年历史的英国巴林银行赔了个精光，真是巨石激起滔天浪，一时间各方争相报道巴林事件。尼克里森也由此成为了世界知晓的人物，挤进了各大报刊杂志的头版。当然，无数的假设与理性分析判断亦风起云涌，大量的猜测与结论令人眼花缭乱。,那么。这个金字塔怎样就顷刻倒塌了呢：究其原因还得从1995年说起，当时担任巴林银行新加坡期货公司执行经理的里森，同时一人身
24、兼首席交易员和清算主管两职。有一次，他手下的一个交易员，因操作失误亏损了6万英镑，当里森知道后，却因为害怕事情暴露影响他的前程，便决定动用88888“错误帐户”。而所谓的“错误帐户”，是指银行对代理客户交易过程中可能发生的经纪业务错误进行核算的帐户（作备用）。以后，他为了私利一再动用“错误帐户”，创造银行帐户上显示的均是赢利交易。随着时间的推移，备用帐户使用后的恶性循环使公司的损失越来越大。此时的里森为了挽回损失，竟不惜最后一博。由此造成在日本神户大地震中，多头建仓，最后造成损失超过10亿美元。这笔数字，可以称是巴林银行全部资本及储备金的12倍。233年历史的老店就这样顷刻瓦解了，最后只得被荷
25、兰某集团以一英镑象征性地收购了。,案例分析,巴林银行为什么会倒闭？你认为如何防范风险发生？如果存在一个有效的VaR 系统，是否可以回答以下问题：里森的真实VaR值是多少？哪些构成成分对VaR影响最大？头寸之间是否实现了相互对冲，还是增强了总体风险,VaR分析,首先计算整体VaR。根据相关性建立协方差矩阵然后计算第二列的和得到投资组合的方差95%的vaR的值是 小于里森的全部损失13亿美元。其他头寸：1995年1月23日，神户大地震，日经指数下挫6.4%，在月波动性为5.83%的基础上，95%的置信水平日本股票每日VaR是2.5%。成分VaR，债券头寸每增加100万美元时，VaR的值变动是0.92万美元，股票头寸每增加100万美元，VaR增加8.935万美元大部分风险来源于日经指数，而债券头寸没有起到对冲作用。,从VaR到投资组合管理,风险管理投资组合达到额度限制要求削减具有最大边际VaR值的头寸，增加最低边际VaR值的头寸，反复进行，直至投资组合的风险达到最小。这时，所有边际VaR，或者投资组合的b值相等,案例1续,从VaR到投资组合管理,投资组合管理选择期望收益率和风险最佳配置的投资组合最佳投资组合是在不同期望收益率下风险最小的投资组合，构成有效前沿,有效前沿,最大化夏普率,最佳投资组合,
