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第十三章 函数列与函数项级数,1 一致收敛性,一、函数列及其一致收敛性,收敛数列（或数项级数）可以表示或定义一个数，,现在讨论用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。,称为定义在E上的函数列。,也可简单记为：,若该数列收敛（发散），则称函数列在点x0收敛（发散）,x0称为函数列的收敛（发散）点.,使函数列收敛的全体收敛点集合，称为函数列的收敛域。,求其收敛域和极限函数。,解,故收敛域为（-1，1,极限函数为,求其收敛域和极限函数。,解,故收敛域为,极限函数为f(x)=0.,问题：,？,？,？,如例1中，,如例2中，,极限函数为f(x)=0.,必须对函数列的收敛性提出更高的要求！,定义1：,设函数列fn(x)与函数f(x)定义在同一数集D上，,则称fn(x)在D上一致收敛于f(x),记作,注1：,注2：,注3：,fn(x)在D上不一致收敛于f(x)：,几何解释：,定理1（Cauchy准则）,证,由数列的Cauchy收敛准则知：fn在D上每一点收敛，,设其极限函数为f(x),于是得到了：,即,定理 2,好用！,证,即,证毕。,例3 证明,证法一,证法二,例4 证明,证,例5 证明,证,P30.例3,解,故不一致收敛。,作 业,P35.1(1)(3)(5)2,
