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1、二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十二章,若,则称,为正项级数.,的收敛（发散）问题归结为数列,的收敛（发散）问题。,次都直接用定义去判断级数收敛与否，除在少数场合外，往往是很困难的。因此，需要简单易行的判敛法。,如果数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数.,级数,对于同号级数，只需研究正项级数.,如果每,但在具体应用中，,一、正项级数及其审敛法,定理 1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,单调递增,收敛,也收敛.,对于正项级数,由于,可见部分和数列单调增加。,单调
2、有界数列必有极限.,此定理是本节诸判敛法的理论基础.,其部分和,发散,趋向,收敛准则,证,例1,该正项级数的部分和为:,所以原级数收敛.,正项级数的收敛或发散，直观看，,可以说决定于,其通项趋于0的快慢.,若通项趋于0足够快，那么正项级数,收敛.,若通项趋于0不够快或不趋于0，那么正项级数,发散.,但是，什么是趋于0足够快或不够快？因为快慢,是相对的.,将它和已知是收敛或发散的正项级数的通项,来比较，,即可知道趋于0足够快或不够快.,都有,定理2(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1)若级数,则级数,(2)若级数,则级数,证:,设对一切,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示两个
3、级数的部分和,则有,是两个正项级数,因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,(1)若级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若级数,因此,显然不是有界数列。这说明级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,级数,注：怎样使用比较审敛法？,当需要判别一个正项级数,如果能把它的（从某项起的）各项,适当的放大，,使放大后的级数是已知收敛的正项级数时，那么就,可判断,是收敛的；如果能把,的（从,某项起的）各项,使缩小后的级数,那么就可判断,是否收敛时，,是已知发散的正项级数，,是发散的。,适当的缩小（保持非负），,例2,解,发散,故原级数发散.,（2）对于任何 x1,都有,则对于 任
4、何 自然数,，有,例3.讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,2)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,解:1)若,原级数为,调和级数发散.,由图可知,3),小结,重要参考级数:,几何级数、p-级数和调和级数.,常用方法:,如，判定下列级数的敛散性,证明级数,发散.,证:因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散.,例4.,定理3.(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,证:据极限定义,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散;,(3)当l=时,即,由定理
5、2可知,若,发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知,收敛,若,的敛散性.,例5.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例6.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,说明：用比较判敛法来判断正项级数的敛散性，虽,然有时是很方便的，但使用比较判敛法需要另外找到一,个适当的正项级数作为比较级数。在实践上，找到这样,一个级数，往往不是一件轻而易举的事。,能否不必另外寻找（至少是表面上不必另外寻找）,比较级数，而从级数本身判断它是否收敛？,定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,时,级数收敛;,或,时,级数发散
6、.,(3)当 时级数可能收敛也可能发散.,证明：,原级数收敛.,因此,所以级数发散.,时,(2)当,从而,(1),比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,例如,2.条件是充分的,而非必要,解,例7,比值审敛法失效,改用比较审敛法.,例8.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,例9.讨论级数,的敛散性.,解:,则对于任何n,均有,一般的，当正项级数的一般项,是因子的乘积形式且,中含有,时，用比值法较方便。,比值法失效；,如何使用比值审敛法判别正项级数的敛散性？,定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,数,且,注：根值审敛法的实质与比值
7、审敛法相同，都是把,给定的的级数与等比级数相比较.,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,例10.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理5可知:,级数收敛;,级数发散;,所以级数发散。,例11,极限不存在，因此，无法使用比值判敛法.,解法一：,根据根值审敛法知所给级数收敛.,问题：能否用比值审敛法判别？,并且其和为,此级数也可以看作是由两个收敛的等比级数,的对应项相加所得的级数.,根据级数的线性性质，当然是收敛的.,解法二：,解法三：,时，用根值判敛法比较方便。,如何使用根值审敛法判别正项级数的敛散性？,或是一些因子的乘积，,其内含有,根值判别法法失效
8、；,能用比值判别法判别的正项级数，都能用根值法,判别，反之，不一定.,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6.(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,二、交错级数及其审敛法,证:,是单调递增有界数列,又,故,（第一章习题1-2第6题结论）,故级数收敛于S,且,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收
9、敛.,三、绝对收敛与条件收敛,定理7.绝对收敛的级数一定收敛.,证:设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,定理7表明：,上述定理的作用：,任意项级数敛散性问题,正项级数敛散性问题,使得一大类级数的收敛判定问题，转化为正项级数的收敛问题.,例12.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,例13.判别下列级数的敛散性，如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛:,解:,故级数条件收敛.,因此原级数绝对收敛.,Leibnitz 判别法，即,解:,因此原级数非绝对收敛.,满足Leibnitz 判别法，,所以原级数条件收敛.
10、,解:,所以原级数发散.,分析：这是交错级数，但不满足，无法用Leibniz判别法.,故加括号后级数发散，,所以原级数发散.,解:加括号,例14.证明:,分析：只需证 收敛即可.,解:,其和分别为,*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,(P265 定理9),说明:证明参考 P265P268,这里从略.,*定理9.(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.,(P267 定理10),绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,数项级数收敛性判断流程图,比较法,比值法,定义法,根式法,是,是,是,否,否,否,否,小结,
