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1、电路计算机辅助设计基于C#的线性网络方程的LU分解法基于C#的线性网络方程的LU分解法1 引言线性网络方程是模拟电路常需要处理的问题，也是各个线性系统需要面对的。线性网络方程组的解关系到工程的各个方面，因而研究它的解的算法很有必要。LU分解法是一种线性网络方程求解的一种算法，它的效率比较高，具有工程可实践性。2 算法框图LU的算法框图如图1所示。图1 LU分解法算法框图从框图可以看出，LU分解法的难点在于各阶顺序主子式的判定和进行LU分解求解方程。采用求解各阶数据主子式的行列式值，我采用了划三角矩阵的办法求解。其中最后做成的可视化界面的.exe 中，只校验了n阶行列式。图2为软件的主界面图。图
2、2 软件主界面图3 LU分解法算法描述LU分解法的分解通式为： (3.1) (3.2)式(3.1)与(3.2)交替进行分解。正是由于该特性，所以可以将LU矩阵压缩在一个n*n的矩阵中，从而减少了存储空间开销。由Ly=b，可以解除参数矩阵y的值。 (3.3)由Ux=y,可以得出最后的解矩阵x为： (3.4)4 仿真结果4.1 LU分解正误仿真先进行系数矩阵是否为零判定，再给出解结果，测试数据如下：测试数据一:n=6;系数矩阵为：1 3 4 5 2 33 4 2 1 5 63 2 2 3 4 34 3 2 1 3 45 2 1 2 3 2 3 4 2 1 3 2向量吧为：3 2 4 2 3 2结果
3、为x向量0.266187050359712 -0.683453237410071 0.978417266187049 0.0791366906474829 0.949640287769783 -0.474820143884892 此结果用matlab验证符合。与matlab效率比较以上述6阶结果为例进行效率比较，由于C#各种控件响应耽误测试时间，所以只以裸算法进行效率比较。经过实践，由于阶数太低，行列式计算时间复杂度为n3（与高斯消元法相似）,各阶行列式验证时间复杂度1+23+n3=n2(n+1)2/4,LU分解法的时间复杂度为n2加上回代的2n，所以总复杂度约为n4，所以20阶计算量大约为1
4、60000，C#测不出时间（都为0），所以无法给出效率比较。通过上网查阅，可以知道LU分解法有超过9种算法，本设计所用算法，为Crout分解，其分解适用于手算，且没有处理其他情况，而matlab采用更为复杂的分解，适用于计算机处理，效率应该低于本例的Crout分解，这里只能给出定性比较。5 算法时间空间复杂度分析由4.2节分析LU分解法如果只验证n阶行列式,复杂度为n3+n2+2n，即O（n3）,如果使用高斯消元法，则验证n阶行列式与消元过程类似，只需加上回代的n2，总体来说小于LU分解法+验证。所以考虑利用验证n阶行列式的算法选择，可能选择高斯消元法效率比LU分解法高，但单从解方程角度，LU
5、分解法的效率小于高斯消元法。对于行列式的验证，化三角矩阵的算法比直接求解n!*(nlogn)，行分解n!*(nlogn)方法，效率高的多。但如果不求值的验证方法，或许有比化三角求值方法效率更高的判定方法，这样LU分解法效率就可以体现。此外对于LU分解法，Crout分解法的L矩阵对角元素不能为零，或是很小的数，否则计算会出现趋近于无穷大的值导致数据溢出出错。数学上，可以用选主元的方法避免，但工程上多是进行重新对电路建模来处理，暂时不知道如何来做可以比选主元效率更高，有待研究。至于空间复杂度，主要是两个动态申请的系数矩阵和LU矩阵，复杂度为O(n2)。6 心得与体会由于是第一次使用开发可视化软件，所以上手起来有一定难度，就选择了难度相对低的C#语言进行开发，花了一些时间学习，好在有一些Matlab GUI编辑经验，学起来容易一些。我的编程过程是，先对算法进行校验，再做到可视化中去，这样的编程流程对开发降低了很大难度。C#语言功能强大，且容易实现可视化，上手比C+容易，适合新手进行学习开发，是一个比较好的开发工具。关于最后写报告的一些理论分析，还是做了不少准备，从中也学到了很多。总而言之，该门课程，总体还是很有收获的，对SPICE的了解也更进一步。
