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1、人教五下第四单元分数的意义和性质 教 材 分 析沙墩镇小学教研室 刘凤文,教学目标,1.知道分数是怎样产生的，理解分数的意义，明确分数与除法的关系。2.认识真分数和假分数，知道带分数是一部分假分数的另一种书写形式，能把假分数化成带分数或整数。3.理解和掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。4.理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数，能找出两个数的最大公因数与最小公倍数，能比较熟练地进行约分和通分。5.会进行分数与小数的互化。,本单元内容的结构及其地位作用,各小节内在联系,重难点:建立单位“1”的概念，理解分数 的意义。,1、了解分数的发展史：通过谈话自然引入，让学生通过调查、把自己知道的说
2、给大家听。使学生有满足感，产生对学习分数的兴趣，感受到分数产生的必要性。2、理解单位“1”：（1）单个物体为单位“1”：这个环节中，首先教师给学生提供充分的感性材料（一张圆形纸、长方形纸、一片饼干、一根线等），小组合作，任选其中一种材料，得到自己所喜欢的分数，并相互介绍一下，你是怎样得到这个分数的？（2）把一个整体作为单位“1”：这既是本节课的重点，又是本节课的难点。可以设计“猜图形”的活动。展示一幅画，上面只有一颗“”，图中露出部分是一个整体的四分之一。这个整体应该是什么样子呢？你能把它画出来吗？学生画好后展示，让学生判断并说明判断的依据。通过学生的交流和讨论，使学生的思维从单个物体的平均分
3、跨越到多个物体的平均分。再通过举例从全班同学、全校同学、全中国同学到全世界同学，范围不管有多大，都可以用单位“1”来表示中感受到单位“1”可以很大很大，也可以很小很小。3、理解“分数的意义”：这一环节是本节课的重点之一。（1）让学生把12根小棒进行平均分，份数自己选择，并取出其中的一份，让不同情况的学生进行展示。有的1份就是1根，有的1份是2根，也有的一份是3根，出现这一情况而后引起争议：同样是一份，为什么表示的根数却不同呢？从而得出：同一个整体，平均分的份数不同，每一份所表示的数量也不同。（2）让生从12根小棒中随意取出几根，将这些小棒平均分成两份，并取出其中的一份。这里的1份，有的可能只表
4、示了半根，也可能表示的是3根，或者是2根半再次引起争议，在不断的摆事实、讲道理、动手实践中进一步得出：由于整体不同，同一个分数所表示的具体数量也不同。（3）让生在同桌交流中，尝试概括分数的意义。,分数的意义备课感悟,分数的意义是一个非常抽象的概念，把这个抽象的概念说清楚讲明白，如果不通过大量的例子来说明是很难理解的。不能将“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数”这句严密、枯燥、抽象的话语塞给学生，而是让学生在玩学具的过程中理解单位“1”，教学中的说一说、分一分、画一画、写一写、折一折、涂一涂为学生提供了高频率、多维度、深层面的体验。,注意歧义。,尽量挖掘题目所蕴含的资源
5、，不要只停留在表面，应有引申、有提高。可以先让学生独自选择涂色，再全班交流。通过交流，使学生看到，随着分母的增大，几分之一所表示的苹果个数，从1/2的6个到1/12的1个，相应地在减少。,重点难点：1.理解、归纳分数与除法的关系。2.用除法的意义理解分数的意义。,1.学习例1。（1）如果把1块饼平均分给3个同学，每人又该得到几块呢？130.3（块）（2）1除以3除不尽，结果除了用循环小数，还可以用什么数表示？通过练习，激活了学生原有的知识经验，（即两个数相除的商有可能是整数）也有可能是小数。进而提出当13得不到一个有限的小数时，又该如何表示？这一问题激发了学生探索的积极性，创设解决问题的情境，
6、研究分数与除法的关系。(3）指名让学生把思路告诉大家。就是把1块饼看成单位“1”，把单位“1”平均分成三份，表示这样一份的数，可以用分数来表示,这一份就是1/3块。老师根据学生回答。板书：1 3=1/3（块）（4）如果取了其中的两份，就是拿了多少块？2.学习例2。(1）如果把3 块饼平均分给4个同学，每人分得多少块？（板书：3 4）(2）3 4 的计算结果用分数表示是多少？请同学们用圆片分一分（两种分法）。(3）加深理解。老师：3/4块饼表示什么意思：把3块饼一块一块的分，每人每次分得1/4块，分了3次，共分得了3个1/4块，就是3/4块。把3块饼叠在一块分，分了一次，每人分得3块，就是3/4
7、块。现在不看单位名称，再来说说3/4表示什么意思？(表示把单位“1“平均分成4 份，表示这样3 份的数；还可以表示把3 平均分成4份，表示这样一份的数。）,（4）巩固理解如果把2块饼平均分给3个人，每人应该分得多少块？刚才大家都是拿学具亲自操作的，如果不借助学具，你能想像出5块饼平均分给8个人，每人分多少块吗？从刚才的研究分析，你能直接计算79的结果吗？（5）归纳分数与除法的关系。观察讨论：除法和分数有怎样的关系？学生充分讨论后，老师引导学生归纳出：可以用分数表示整数除法的商，用除数作分母，被除数作分子，除号相当于分数中的分数线。老师讲述：分数是一种数，除法是一种运算，所以确切地说，分数的分子
8、相当于除法的被除数，分数的分母相当于除法的除数。思考。要注意什么问题？（除数不能是零，分数的分母也不能是零。）用字母表示分数与除法的关系。老师：如果用字母a、b 分别表示被除数和除数，那么除数与分数之间的关系怎样表示呢？明确：两个整数相除，商可以用分数表示，反过来，分数能不能看作两个整数相除？（可以，分数的分子相当于除法中的被除法，分母相当于除数。）本课感悟：1、直观演示是学生理解分数与除法的关系的前提。2、借助学具分饼、想象分的过程、抛开情境给出除法算式三个环节的呈现层次清楚，逻辑性强，为学生概括分数与除法的关系提供了足够的操作经验。3、数学知识不是孤立的，而是密切联系的，只有把知识放在一个
9、完整的系统中，学生的研究才是有意义的。,真分数与假分数的内容教材编排的意图，除了让孩子们了解真分数与假分数的概念外，更重要的是让学生跳出前面在分数认识中形成的“分数表示部分与整体的关系”这一思维，形成分数也表示两个量之间的份数关系。可以使学生比较全面地理解分数概念，也有利于培养学生关于分数的数感。在教学假分数时应该对假分数的意义做明确的定义和解释，必须让学生结合例题中的图例来直观理解。如果只是让学生比较假分数的分子分母关系与真分数有什么不同。这样做虽然学生面对一个分数的时候很快能够分辨出它是真分数还是假分数，但学生只知其然而不知其所以然，在实际应用的时候还是会出错。作为教师，还必须明确，从分类
10、的基本要求来看，为了做到不重复、不遗漏，按照分数是否大于或等于1，只能分成真分数、假分数两类。如果分成真分数、假分数和带分数三类，则由于带分数实际上就是大于1的假分数的另一种表示形式，就会使分类出现重复。即,教学重点 使学生理解分数的基本性质。教学难点 让学生自主探索，发现和归纳分数的基本性质，以及应用它解决相关的问题。,一、创设情境、生成问题分月饼二、探索交流、解决问题1、用圆片代替月饼，分一分、涂一涂，验证一下。说说你是怎么分的？观察这些圆的阴影部分，你有什么发现？2、教师小结：“刚才大家都观察得很仔细，这组分数的分子分母都不同，它们的大小却一样，那么，分子分母发生怎样变化的时候，它的大小
11、不变呢？同位讨论，初步得出结论。3、你能再举出类似的例子吗？小组内用学具折一折。4、形成分数的基本性质。（1）观察、分析；（2）用商的变化规律来说明。本课感悟：1、加强直观操作活动，帮助学生理解分数大小相等的算理。2、用逐步向学习目标逼近的方式学习数学，先引导学生用自己的话概括规律，再将这个规律与书上的结论进行比较，通过比较学生可以发现归纳的规律并不精确，然后重点讨论为什么要“0除外”，使学生全面、准确地掌握分数的基本性质。接下来再沟通商不变的规律与分数的基本性质的内在联系，加深学生对分数的基本性质的理解。,教学重点：认识公因数和最大公因数，掌握找两个数的公因数和最大公因数的方法。教学难点：能
12、比较灵活地选择方法求出两个数的公因数和最大公因数。教学准备：为每个小组准备了一张长16厘米、宽12厘米的长方形纸来代替储藏室的地面，还有一些小正方形。片段1：师：我为每个小组准备了一张长16厘米、宽12厘米的长方形纸来代替储藏室的地面，还有一些小正方形。同学们可以用老师提供的学具去摆一摆，也可以自己画一画、算一算，选择自己喜欢的方法，想一想，哪些正方形符合王叔叔的要求？小组讨论。生讨论。师：谁来说一说你采用的方法，得出了什么结论？生1：我们小组通过摆一摆的方法，得出了边长是1、2、4的正方形符合王叔叔的要求。生2：我们小组也是通过摆一摆的方法，也认为边长是1、2、4的正方形可以选择。师：谁还有
13、不同的摆法？生3：我们小组用的是画的方法。不过结论跟他们一样。生4：我们小组用的是算的方法。12除以1、2、4都没有余数，16除以1、2、4也没有余数。师：通过摆一摆.画一画，算一算，就得出了可以选择边长为1、2、4的正方形符合王叔叔的要求。如果我们选择边长为1的正方形地砖，沿着长边可以铺几块？沿着宽边又可以铺几块生：沿着长边可以铺16块，沿着宽边可以铺12块。师：如果选择边长是2的呢？师：如果选择4的呢？如果我们只考虑长边铺满，还可以铺多少分米的地砖？生：8和16。如果我们只考虑铺宽边呢？生：3、6和12。师：那为什么你们都没有选择边长8、16、3、6、12，却只选择边长是1、2、4呢？生：
14、如果我们选择8的话，只能铺满长边，却不能铺满宽边。选其他的数字也一样。生：只有1、2、4是12和16的因数。生：要符合王叔叔的要求，必须选择边长既是12的因数，又是16的因数。师：同学们真了不起，发现了里面含有的因数和倍数的知识。接下去我们进一步用因数的知识来探索为什么选择边长是1.2.4的正方形。学生在动手操作中可能会出现不同的解决问题的方法，正如课程标准中提到的“不同的学习不同的数学，获得不同的发展。”关键是借助操作，让学生进一步体会到正方形的边长是长方形长的因数，又是宽的因数，从实际问题转入数学问题。,片段2：师：谁来说一说16的因数？（板书16的因数：1，2，4，8，16）12的因数？
15、（板书：12的因数：1，2，3，4，6，12）谁能用一句简洁的话来说明1，2，4与12和16的关系？生：1.2.4是12和16的公因数。师：什么叫公因数？生：就是12和16公有的因数。师：对，公因数就是几个数公有的因数。现在谁能很快的说出12和16的公因数吗？（生：1.2.4）师：这几个公因数中，最大的那个是几？（生：4）师：这个4就叫做12和16的最大公因数。片段3：师：我们通过给王叔叔铺地砖解决边长的问题，认识了公因数和最大公因数。如果王叔叔要用尽量少的地砖去铺，他应该选择边长是多少分米的正方形？生：应该选择4分米。因为4是12和16的最大公因数。师：谁来说一说，怎么去找最大公因数？生说：
16、先分别找出两个数的公因数，再看两个数的公因数中哪个数最大，那个数就是最大公因数。师：你用的这种方法叫列举法，除了这一种方法，集合也是找最大公因数的方法。（师出示集合，让学生了解用集合的方法找两个数的最大公因数。）本课感悟：（一）借助操作活动，经历概念的形成过程。（二）给学生自主探索、学习的机会。（三）在现实情境中学习新知。,教材答疑,不教学分解质因数了，应该怎么办？根据课程标准对因数和倍数内容的调整，本册教材不再正式教学“质因数”“分解质因数”，只作为阅读性材料进行介绍。这种改变在教学中给教师带来了一些困扰，这些困扰集中在“短除法教，还是不教？”这一问题上，由此带来的直接问题就是不教短除法，怎
17、样求几个数的最小公倍数和最大公因数问题。以前用短除法求最大公因数、最小公倍数，教师更多的精力集中在计算的方法上，学生并不是十分清楚为什么要用短除法，短除法背后的道理是什么。针对这种情况，教材根据课标“能找出两个数的公因数和最大公因数”这一理念，对最大公因数、最小公倍数的求法进行了调整，以理解概念为基础呈现了两种直观、明了、易懂的“找”最大公因数、最小公倍数的方法，加深了学生对概念的理解，降低了学习的难度，体现了算法多样化的思想，同时可以培养学生根据具体情况调整自己策略的能力。正是因为这种改变，质因数、分解质因数等内容也就失去了存在的基础。教师不必担心不教学分解质因数而影响求最大公因数和最小公倍
18、数的熟练程度。如果学生能够很好地掌握2、5、3的倍数的特征，通过一定程度的训练，同样可以达到熟能生巧的程度。当然，在实际教学中，如果学生很好地理解了概念，教师结合学生的实际情况，通过“你知道吗”中的阅读材料，让学生了解短除法也是一种很有效的求最大公因数、最小公倍数的方法，也是可以的，但不必作为统一要求。,教学重点：掌握约分的方法。教学难点：很快看出分子、分母的公约数，并能准确地判 断约分的结果是不是最简分数。,约分一课教学 有感：1、本课教学比较容易创设生动有趣的情趣，调动学生的学习积极性，使学生乐学、好学，较好地培养学生对数学学习的情感。2、在设计中，应充分考虑到学生已有的知识基础分数基本性
19、质和最大公因数的求法。本课无需在此处多费时间，合理的安排了知识迁移，较好地帮助学生理解“约分”的含义，使知识深入浅出，便于学生理解和掌握。3、为学生提供充分探究和发现的时间与空间，从约分含义的理解到约分方法的学习，教师始终立足于培养学生的学习能力、教会学生学习方法的基础上，相信学生的潜能。可以说整个学习过程中，学生是学习的主体，教学的重点和难点都是在学生的发现、探究、讨论中解决。4、教师关键处的点拨和发人深省的提问充分体现了教学主导的作用，既引导学生的发现，又不限制学生的思路；既能放手培养学生的发散思维，又能在发散思维之后，求同存异，提升学生对约分的认识，使课堂充满生机。5、练习的设计应体现清
20、晰的层次性，寓教于乐，使学生对约分的认识更新鲜了。,三组分数都可以通过约分，化成最简分数，再比较大小。,需要逆思考。,与前面教学求两个数的最大公因数相类似，这里不再像过去那样，先将两个数分别分解质因数，并使学生理解，两个数全部公有质因数与两个数各自特有质因数的积就是它们的最小公倍数。然后再将两个数分别分解质因数的短除法合起来，导出求两个数最小公倍数的短除法。而是根据标准的有关要求，采用“找”的方法，找出两个整数的公倍数和最小公倍数。这一改进，不仅大大降低了学习的难度，因为不再需要讲解两个数的公有质因数、特有质因数与它们的最小公倍数的关系，而且也符合学生学习通分的实际需要。因为就是在过去，学生在
21、通分时也基本上是用口算找出几个分母的最小公倍数，极少有学生用分解质因数或短除法求公分母。,第3题：可以引导学生将找出两个数的最大公因数与最小公倍数的一般方法与特殊情况联系起来加以比较、总结：如果两个数成倍数关系，那么其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。如果两个数只有公因数1，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是两个数的积。一般情况，可以先写出一个数的因数或倍数，再从中找另一个数的因数或倍数，区别是最大公因数从大到小找，最小公倍数从小到大找。如果学生还能进一步总结更简便些的方法，也是可以的。如：用较小数的因数，从大到小依次去除较大的数，看哪个因数也是较大数的因数；
22、或者用较大数的倍数，从小到大依次去除以较小的数，看哪个倍数也是较小数的倍数。第9题：供学有余力的学生选做的练习题。可以这样思考，先从小到大写出36的所有约数：1，2，3，4，6，9，12，18，36，然后从中依次观察，哪两个数的最小公倍数是36。答案有两类，一类是36和它的另一个因数，如36和1，36和236和18；另一类有4和9，4和18，9和12，12和18。可以不要求学生写出所有答案。练习十七最后的“你知道吗？”可以让学生自学。教师可以酌情给予指点，两个数公有质因数与各自特有质因数的积是这两个数的最小公倍数。,教学重点：使学生理解最小公倍数的意义，初步学会求两个数的最小公倍数。教学难点：
23、使学生学会并理解求两个特殊数的最小公倍数的方法。,学生大多只能拼出最小的正方形，所以教师还有必要引导学生思考：再大一些，正方形的边长还可以是多少？然后利用集合圈的演示引入公倍数、最小公倍数,(1）学生先独立思考，用自己的想法试着找出6 和8 的最小公倍数。(2）小组讨论，互相启发，再全班交流。(3）可能出现以下几种方法：方法一：先分别写出6 和8 各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。方法二：先写出8 的倍数，再从小到大圈出6 的倍数，第一个圈出的就是它们的最小公倍数。方法三：先写出6 的倍数，再看6 的倍数中哪些是8 的倍数，从中找出最小的。方法四：从小到大写出8 的倍数，边写边判断是不
24、是6 的倍数，第一个是6 的倍数的，就是8 和6 的最小公倍数。,第9*题，供学有余力的学生选做。涉及三个分数的通分，关键是找到公分母。其中第一组三个分数的分母成倍数关系，比较容易；第二组只要求12和18的最小公倍数即可，因为12的倍数一定是6的倍数；第三组因为6是3的倍数，所以只要考虑4和6的最小公倍数就行了。第10*题，需要综合应用分数大小比较和分数基本性质两方面的知识。由于1/6和1/5的分子都是1，分母是相邻的自然数，所以在1/6和1/5之间不能直接写出一个分子是1的分数。可以应用分数的基本性质把这两个分数的分子、分母分别扩大若干倍。方法一：化成同分母分数。方法二：化成分子分母比较大但
25、分子仍相同的分数。,教学重难点：理解通分的意义，掌握通分的方法。,例4的教学：1、提问：这两个分数有什么特点?像这样分子和分母都不相同的分数，怎样比较大小？2、学生思考并回答。（1）化成同分母分数比较。（2）化成同分子分数比较。3、老师指出：这两种思路，都能把新问题转化成已学过的问题，都是可以的。今天，我们重点研究化成同分母分数的方法。4、学生试做，汇报解答过程。提问：（1）用什么数做公分母？（2）怎样把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数？指出：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫做通分。（板书课题：通分）提问：你能说一说怎样通分吗？（学生用自己的语言归纳）5、小结；通分时，
26、先求出原来分母的最小公倍数作公分母，再看原来分数的分母变成公分母要乘上几，分子也要乘上相同的数。提问：为什么用两个分母的最小公倍数作公分母？用其他较大的公倍数作公分母可以吗？,教学重点：分数、小数的互化。教学难点：部分分数化小数时要在十分位等添“0”。,教学例2：（1）提问：这6个数中，有分数、有小数，要比较这些数的大小，该怎么办？学生想到的方法可能有两种：一是把分数化成小数，二是把小数化成分数。提问：哪种方法比较简便？为什么？（2）让学生尝试把分数化成小数。老师提问：分母不是10,100,1000的分数，该怎样化成小数呢？学生在小组内讨论并试着解决，再请代表汇报交流。可能出现两种方法：A把的
27、分子和分母同时乘上相同的数，转化为分母是10，100，1000的分数，再改写成小数。B利用分数与除法的关系，用分子除以分母得出小数。（3）再让学生将分数化成小数。认知障碍：有些分数分子除以分母除不尽。指出：像这样的分数化成小数时，只能用分子除以分母这种方法，一般情况下，分子除以分母除不尽时，要根据需要按“四舍五人”法保留几位小数。这道题要求保留两位小数。（4）小结：分数化成小数时有几种方法？引导学生概括出，一般方法是：用分子分母（除不尽时按要求保留几位小数）。特殊方法：分母是10,100,1000时，直接写成小数。分母是10,100,1000 的因数时，可化成分母是10,100,1000的分数，再写成小数。,解答方法的灵活运用。“你知道吗？”可以让学有余力的学生自己阅读，教师酌情予以指导。前面教学例2时，把7/25先化成28/100，再化成小数，其实已经蕴涵了最简分数能够化成有限小数的规律。也就是说，如果一个最简分数的分母是10，100，1000，的因数，那么这个分数就能化成有限小数。这和“如果一个最简分数的分母只含有质因数2或5，那么这个分数就能化成有限小数”是一回事。,第一环节 回顾整理，建构网络 1、课前整理指导：本单元学习了哪些知识点？它们有什么联系？2、组内优化3、组间交流4、优化再建（二次整理）,老师们辛苦了！,
