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1、第二讲几何真题模考1. 图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积=_。【分析】 观察图形组合特征，阴影部分为直角三角形，若知两直角边长，则问题可解。连接，梯形的面积=平方厘米，面积=平方厘米，所以，面积=平方厘米。因为，所以，=，厘米，所以，阴影部分的面积=平方厘米。2. (2003年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛附加题第1题)有一个三角形的面积为1，如图，且，求三角形的面积.【分析】 先分别求出、的面积，再用面积减去这三个三角形面积即为的面积。连接。因为， ，所以，同理可得，所以，。3. 一块正方形玻璃，一边截去15厘米，另一个非平行边截去
2、10厘米，剩下的长方形玻璃比原来的面积减少1750平方厘米，那么原来的正方形的边长是_。【分析】 法一：将截去的两个部分拼成一个长等于正方形边长，宽等于 15+10=25厘米的长方形（需补上一个1510的小长方块），其面积等于1750+1510=1900平方厘米。所以，其长=190025=76厘米，则原来正方形边长是76厘米。法二：设原正方形边长是厘米，由题意得： -（-15）（-10）=1750，-+25-150=1750，解得=76。所以，原正方形边长是76厘米。4. 如图，设扇形的面积是半圆面积的倍，则角的度数是_。【分析】 设半圆的半径为1，则半圆面积为2=，扇形的面积=。因为扇形的面
3、积=，所以，=，所以，即角的度数是60。5. 是边长为的正方形，分别以、为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是_。【分析】 运用充斥原理。观察可发现：计算四个半圆的面积和，阴影部分重叠计算一次，所以，四个半圆的面积和减去正方形面积即为阴影部分面积。所以，阴影部分面积=24-=（-1）=1.57。6. 如图，将边长为1的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶点顺时针转动到达，再继续这样转动到达，则点走过的路程的长_。【分析】 图中圆弧即为点走过的路程，分为两段，均为圆心角为、半径为1的扇形的圆弧。所以，两个扇形圆弧长之和=212=，即点走过的路程的长是。7. 如图，以、为圆心的两个半
4、圆的直径都是2厘米，阴影部分的周长(精确到0.01)_。【分析】 阴影部分周长等于长加上两段圆弧的长。因两段圆弧的长均等于圆心角为、半径为1的扇形的圆弧，所以，阴影部分周长=1+22=1+3.09厘米。8. (2003年一零一中学入学摸底考试第18题)有一块宽为18厘米的长方形铁皮，在四角各剪去边长为5厘米的正方形后，将它焊成一个无盖的盒子已知这个盒子的容积是480立方厘米(铁皮厚度忽略不计)，原来这块铁皮的面积是多少？【分析】 由题意可知，焊成的无盖盒子的宽是18-5-5=8厘米，高是5厘米，容积是480立方厘米，所以可求出无盖盒子的长是480（85）=12厘米，原来这块铁皮的长是12+5+
5、5=22厘米，所以，原来这块铁皮的面积是2218=396平方厘米。9. 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是_。【分析】 沿着长边等距离切5刀，可切为5+1=6块；沿着宽边等距离切4刀，可切为4+1=5块；沿着高边等距离切刀，可切为n+1块。由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面（或2面、或3面）的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共（6-2）（5-2）（+1-2）=12（n-1）个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，12（-1）=24，解得。10. 三个完全一样的长方体，
6、棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面。涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【分析】 每个长方体的棱长和是2883=96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是964=24厘米。因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数（奇数项，则中间数=平均数），所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米。要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少。所以，涂一面的
7、长方体应涂一个87面，有87=56个；涂两面的长方体应涂两个87面，有872=112个；涂三面的长方体应涂两个87面、一个97面，有（8-1）72+（9-2）7=147个，所以，切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56+112+147=315个。考点拓展【例1】 一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个。求原来长方体的体积与表面积。【分析】 先求出长方体的高，再求其体积和表面积。设长方体的高为h厘米，则按题意截成的一面有色的小正方体有（12-2）（10-2）2+（12-2）（h-2）2+（h -2）
8、（10-2）2=88+36h个，因为，一面有色的小正方体有448个，所以，88+36h=448，解得h=10。 长方体体积=121010=1200立方厘米。长方体表面积=（1210+1210+1010）2=680平方厘米。小结：立体图形涂色问题中，表面涂色的长方体或正方体切割成小正方体后，只有三面涂色的小正方体是顶点上的八个，共8个；只有两面涂色的小正方体是十二条棱上（不含顶点上的）的小正方体；只有一面涂色的小正方体是每个面上（不含四周，即棱上或顶点上的）的小正方体；没涂色面的小正方体是每个面上去掉一层后的小正方体，即长、宽、高上的个数各自减去2后的连乘数。【例2】 如图，四边形中， ，,，已
9、知四边形的面积等于4，则四边形的面积=_。【分析】 运用三角形面积与底和高的关系解题。连接、，因为，所以，在中，在中，在中，在中，。因为，所以，=-。又因为，所以，。【例3】 如图，在正方形中，、分别在与上，且，连接，相交于点，过作，得到两个正方形和正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，则_。【分析】 连接、。设正方形边长为3，则，所以，=+=8，=+=18。因为，=818=144=，所以，=12。由梯形蝴蝶定理，得 =8181212=4966，所以， =。因为=332=，=222=，所以，=-=，所以， =。因为正方形的边长等于底边对应的高，所以，=21=，=3=。因为=，=，所以，=9
10、4。【例4】 入图，在中，为中点，为上一点，且.已知四边形的面积为。那么三角形的面积为_。【分析】 连接，因为，所以，=，。又据燕尾定理知，所以，所以，。所以，。因为，=35，且，所以，35=，解得。【例5】 (如图)有孔（贯穿）正方体的表面积(含孔内各面) 是A258 B234 C222 D210【分析】 观察有孔正方体特点，先求出有孔正方体外表面面积，再加上孔内表面面积总和，即可求出有孔正方体表面积。 有孔正方体外表面面积：556-26=138。 本题关键是计算孔内表面面积，观察一组相对面之间的孔，每个孔均分别与另两个方向的一个孔“相交”，所以，其每个孔内表面面积是13-4+2+2=16，
11、但是两个“相交”的孔，不仅互相破坏了对方的内壁，两个孔位被重叠的部分也出现了重叠，所以，有孔正方体孔内表面面积综合是：1623-62=84。所以，有孔正方体表面积=138+84=222。【例6】 把正方体的六个面分别划分成9个相等的正方形，然后用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同。问：用红色去染的小正方形的个数最多是几个？【分析】 要求出染红色的小正方形最多几个，则需让每个面上的染红小正方形尽可能多，且只需考虑。按染色规则，一个面最多可染红色小正方形5个（图1），与其相对的面也有染红小正方形5个。因为有公共边的正方形染的颜色不同，所以，与这两个面相邻的四个面中
12、有两个相对的面最多可染红色小正方形4个（图2），另两个相对的面最多可染红色小正方形2个（图3）。所以，染红色的小正方形最多是：（5+4+2）2=22（个）。红红 红红红红 红红红红红（图1） （图2） （图3）注：可假设图1为前后面，图2为上下面，图3为左右面。（相对面红色涂法相同）课后练习1. 如图，一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，那么这个油桶的容积是 ：（=314） 【分析】 据题意，油桶两底面用铁皮即为图中两个黑圆大小，油桶身子（周围侧面）用铁皮即为图中黑色长方形大小。观察图可知：长方形铁皮的长等于油桶底面直径加上底面周长，油桶的高等于长方形铁皮
13、的宽，即等于底面直径的2倍。设油桶底面半径为分米，则得2+2=16.56，解得=2，所以，油桶的高等于222=8分米，油桶底面面积等于=1256平方分米，所以，油桶容积等于12.568=100.48立方分米（升）。2. 三角形的面积为24，长12，长10，试求梯形的面积.【分析】 因为，所以，所以，的高等于，即，所以，。3. 有一块边长20米的正方形的空地，计划在正中修一个圆形画坛和一个十字形道路(花坛直径与道路同宽)，其余地方都是草坪若使路宽是边长的，则道路所占面积约是多少？(精确到十分位，3.14)【分析】 正方形空地面积减去圆形花坛面积和四块正方形草坪面积就是道路所占面积。因为花坛直径与
14、道路同宽，所以，花坛直径=20=5米，正方形草坪的边长=202=米。正方形空地面积=2020=400平方米，圆形花坛面积=19.625平方米，每块正方形草坪面积=56.25平方米，所以，道路所占面积=400-19.625-56.254=155.375平方米。4. 一块矩形场地被一条路隔成甲、乙两块，甲乙的面积之比为3:8，尺寸如图，甲的面积是。【分析】 矩形场地面积=2211=242，隔离带面积=211=22，所以，甲、乙面积之和=242-22=220。因为甲、乙面积之比=38，所以，甲的面积=220=60。5. 在图中，红色部分的面积_(填“”、“”、“”)阴影部分的面积。【分析】 因为，大圆直径等于小圆直径的2倍，即，所以，大圆面积=4，小圆面积=，所以，大圆面积=4个小圆面积。因为=-4+，=4，所以=。
