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1、 第五讲 最大公因数与最小公倍数 （精品教案）基本概念：1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。 一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。2、公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如：12的倍数有12，24，36，48
2、，60，72， 18的倍数有18，36，72，90， 12和18的公倍数有：36，72其中36是12和18的最小公倍数。 一般地，我们用a,b表示自然数，a,b的最小公倍数，如12，18=36。3、最大公约数与最小公倍数的求法A最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除法（4）小数缩倍法（5）公式法 前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。 当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。B最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：（1）分解质因数法（2）短除法（3）大数翻倍法（4）a
3、b=（a,b）a,b上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。典型例题与练习例1、437与323的最大公约数是多少？例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪 块。 （北京市第一届迎春杯数学竞赛刊赛试题）【分析】：根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。所以原长方形的长要分90615段，宽要分426段，至少能剪17105（块）解：（）求90和42的最大公约数 2 90 42 3 45 21 15 7 （90，42
4、）60（2）求至少剪多少块正方形铁板 90615 456 7 157105（块）答：至少可以剪105块正方形铁板。说明：用短除法求小数的最大公约数比较容易。练习用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？2、38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。问：评出的优秀学生最多有几人？ 例4、10个自然数之和等于1001，求这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？练习1、66个自然数的和是6666，这66个数的最大公约数最大能是多少？2、3个数的和是1111，这3个数的最大公约数可能是多
5、少？ 例5、甲、乙、丙三人定期向王老师求教。甲每隔6天去一次，乙每隔8天去一次，丙每隔9天去一次。如果6月17日他们三人都在王老师家见面，那么下一次三人都在王老师家见面的时间是几月几日？例6、有甲、乙两个互相衔接的齿轮，甲轮有437齿，乙轮有323齿，甲的某一齿与乙的某一齿从第一次接触到第二次接触，需要各转几周？例7、加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成48个，第二道工序每个工人每小时可完成32个，第三道工序每个工人每小时可完成28个。在每道工序至少安排多少工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压或停工待料。例8、有一堆苹果共五千多个，按10个装一袋，装到最后少一个；9个装一
6、带，最后还少1个；按8个，7个，2个装一袋，总是少1个。这堆苹果到底有多少个？例9、能同时被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大六位数是多少？例10、三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于 。 （1998年小学数学奥林匹克预赛B卷第4题）解： 168=237，因此这三个连续自然数是6，7，8。和为6+7+8=21.练习：1、用长5厘米、宽3厘米的长方形铁片，摆成一个正方形（中间没有空隙），至少要用多少块这种长方形铁片？2、有一些糖果平均分成若干包，每包10粒余9粒，每包12粒余11粒，每包15粒余14粒。这些糖果最少有多少粒？ 3、有一种自然数，它加1
7、是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数。则这种自然数中除1以外，最小数是多少？4、同时能被3，5，7和13除余1的最小五位数是多少？5、求被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数。6、小明的储蓄罐里存有2分和5分的硬币，他把这些硬币倒出来，估计有五六元钱，小明把这些硬币分成钱数相等的两堆，第一堆2分和5分的硬币个数相等；第二堆2分和5分的钱数相等。你知道小明存了多少钱吗？7、一次会餐，每两人合用一只饭碗，三人合用一只菜碗，四人合用一只汤碗。会餐共用了65只碗，问：参加会餐的人数是多少？ 8、在一条长96米的路两侧，计划每隔4米栽一棵树。
8、画好“记号”后发现 距离过近，改为每隔6米栽一棵树，还要重新做多少个“记号”？9、把一批苹果分给幼儿园大小两个班，平均每人可分得6个。如果只分给大班，每人可分得10个，如果只分给小班，每人可分得几个苹果？例11、甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168 ，最大公约数是4，求乙数。例12、已知甲、乙两数的最大公约数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数。练习1、两个数的最大公约数为12 ，最小公倍数为180，且大数不是小数的倍数，求这两个数。2、已知甲、乙两数的比为5：3，并且它们的最大公约数与最小公倍数的和是1040。求甲数和乙数。例13、求，的最大公约数。例14、求，的最小公倍数.例15、三
9、条圆形跑道，圆心都在操场中心的旗杆处，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈跑道上沿同样的方向跑步。开始时三人都在旗杆的正东方向。里圈、中圈、外圈跑道分别长公里，公里，公里。甲、乙丙三人的速度每小时分别为3公里，4公里，5公里。三人同时出发后，几小时第一次同时回到出发点？综合练习53，27和42三个数被同一个数除，所得商的和为9，余数和为14，求各自的商及余数。课堂验收1、动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒。那么把花生同时分给三群猴子，平均每只猴子可得多少粒？2、两个数的积是576
10、6，它们的最大公约数是31，这两个数是几？3、四个连续自然数的最小公倍数是5460，这四个数和是（ ）。（北京市第十一届迎春杯数学竞赛刊赛试题）答：54600=235713 12+13+14+15=54家庭作业1、工人加工零件，第一批毛坯1788个，第二批毛坯1680个，第三批毛坯2098个。现平均分给工人，分别剩下7个、3个、5个。问：加工的工人最多有多少？2、排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，最少需要多少人参加团体操的排练？3、两个数的最大公约数是20，最小公倍数是560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？4、苹果每个重千克，梨每个重千
11、克，橘子每个重千克。如果苹果、梨、橘子的总重量都相等，苹果、梨、橘子最少各有多少个？5、大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同。大亮每步场54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圃的周长。6、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？7、七个不同的三位数的最大公约数中，最大的是几？8、在一根长棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总和被锯成多少段？9、老师在黑板上写下三个数：108，396，A,让同学们求它们的最小公倍数。小马虎误将108当作180进行计算，结果竟然与正确答案一致。A最小等于几？
