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1、课程设计题目第一题:计算国土面积图3.8是某国的地图，为了计算它的国土面积，首先对地图作如下测量：以由西向东方向为轴，由南到北方向为轴，选择方便的原点，得到了表3.6、表3.7的地图测量数据，比例尺为30毫米（数据单位）：100公里（实际单位）。试由测量数据采用插值的方法产生一张需要的地图，计算该国国土的近似面积，与它的精确值156.6500万平方公里比较。 表3.6、表3.7见附件。表3.6 下边疆采样坐标xy17299182982028831273412625825466234722207220769191571756016671160104150130137146121160117163
2、10616883179641966322356258502825230746315383303235221377213771639214428344624350146524605337555595542114550138561139574133590133599139610157635162644174649188669200671207677205678206696216720218723225表3.7 上边疆采样坐标xy72322572222071024068725667625665924164724563023761924562325462627363330960830859631558
3、131555829053728151127048427046427245627844929043429342530141130339430836829735130333231132933731234228435328135826336525135624934724434624033224731423329722229021729720929818930118030316930716531416532515032813833213833713233612734112233810233286328653226431654314323142830717299MATLAB求解不规则图形面积 摘 要：本
4、文建立在数值分析的理论基础上，对原有的数据进行三次样条插值，运用梯形公式求解面积，能够在MATLAB环境中运行，给出了理论分析、程序清单以及计算结果。更重要的是，还有详细的对算法的框图说明。关键词：MATLAB 不规则图形面积 三次样条插值 复化梯形公式问题提出图3.8是某国的地图，为了计算它的国土面积，首先对地图作如下测量：以由西向东方向为轴，由南到北方向为轴，选择方便的原点，得到了表3.6、表3.7的地图测量数据，比例尺为30（数据单位）：100公里（实际单位）。试由测量数据采用插值的方法产生一张需要的地图，计算该国国土的近似面积，与它的精确值156.6500万平方公里比较。 表3.6、表
5、3.7见附件。问题解决1用MATLAB软件描点绘出地图的大概轮廓及三次样条插值作图 原始数据点所成图像 三次样条插值所成图像 观察图形，对三次样条插值后的图和原始数据图的比较，可得三次样条插值后的图更加接近真实数据所形成的图形。图中，地图的面积记为s，国土面积记为S，上边疆与X轴围成的面积记为s2，下边疆与X轴围成的面积记为s1。从下面图中可以得出，s=s1-s1，再通过比例转化得S。观察图形发现4个特殊段与X轴围成的面积，分别记为s11（55x72）、s12（542x555）、s21（619x633）、s22（240x247）,对特殊段的处理见下。 地图面积s 图s2 图s1原始图像和三次样
6、条插值的绘图代码可以参照附录2编写。2对特殊段面积的计算 s11(57x72) s12（542x555） s21（619x633） s22(240x247)将特殊段分割出去，对分割出的数据进行三次样条插值(1)，再用复化梯形公式（2）求出特殊段s11,s12,s21,s22的值。由于这四个特殊段面积的计算方法类同，所以这里就以s11的计算为例。s11的计算：A2=xlsread(第一题数据,下边疆, A11:B13);x2=A2(:,1);y2=A2(:,2);x21=max(x2):-0.001:min(x2);y2i1=interp1(x2,y2,x21,spline);s11=-trap
7、z(x21,y2i1); %由于x21的值是降序的所以符号取反的结果才是面积s11计算结果为： s11 =2.7150e+003 s12 =1.3585e+003 s21 =3.8407e+003 s22 =2.2610e+0033计算s1和s2 s1中包含s11和s12的图 s2中包含s21和s22的图 由于s1和s2的计算方法类同，所以这就以s1的计算为例。对分段的数据进行三次样条插值（除特殊段以外，具体分割见附录1 下边疆），每段都运用复化梯形公式并求出和记为s10。观察图形可得出，s10与s1相比就只多算了两个特殊段的面积s11，s12，所以s1=s10-s11-s12。 计算s1的关
8、键代码：s10=trapz(x10,y1i)+trapz(x30,y3i)+trapz(x40,y4i) +trapz(x60,y6i);%用复化梯形公式求除特殊段以外的各段与X轴围成的面积并求和 计算结果为：s1 =7.4597e+004s2 =2.1257e+0054计算S从以上的过程已经得出s=s2-s1，还要将s按比例转化所得就是国土面积S。s=s2-s1；S=s*100/9；S计算结果为： S =1.5331e+006（平方公里）5.计算相对误差t相对误差的求解公式为： 计算结果为：t =0.02136误差分析误差的产生主要来源于数据点的个数有点少以及数据点之间不够均匀，这样三次样条
9、插值后的数据作图就会与实际地图和地形相比有较大的误差。7分析和总结 由于t的值较小，所以以上的计算结果S=1.5331e+006平方公里可以作为国土面积的近似值。在以后的不规则图形面积的计算中，此方法可以考虑选择使用。由于梯形公式只有一次代数精确度（3），所以会产生计算的结果不够精确。但要很精确求出不规则图形面积，就必须测量出更多的数据点以及选用代数精确度更高的算法，才能够更加减少插值和计算上的误差。至此，国土面积计算完成。注释：（1）三次样条插值：参照 参考文献2 4650页（2）复化梯形公式：参照 参考文献2 9091页（3）代数精确度：参照 参考文献2 88页参考文献：1李玉莉等，MAT
10、LAB函数速查手册， 北京：化学工业出版社， 20102袁东锦，计算方法数值分析， 南京：南京师范大学出版社， 20073蒲俊 吉家锋 伊良忠，MATLAB6.0数学手册，上海浦东：浦东电子出版社， 2002附录：1对附件数据的分段下边疆: A03:B10; A11:B13;%(特殊段s11) A13:B31; A32:B39; A39:B40;%(特殊段s12) A40:B56;上边疆: A03:B11; A11:B14;%(特殊段s21) A14:B40; A40:B41;%(特殊段s22) A41:B49; A50:B52; A53:B64;2求国土面积及相对误差的完整代码A1=xlsr
11、ead(第一题数据,下边疆,A03:B10);A2=xlsread(第一题数据,下边疆,A11:B13); A3=xlsread(第一题数据,下边疆,A13:B31);A4=xlsread(第一题数据,下边疆,A32:B39);A5=xlsread(第一题数据,下边疆,A39:B40);A6=xlsread(第一题数据,下边疆,A40:B56); %导入下边疆的实验数据并分好计算的数据段x1=A1(:,1);x2=A2(:,1);x3=A3(:,1);x4=A4(:,1);x5=A5(:,1);x6=A6(:,1); y1=A1(:,2);y2=A2(:,2);y3=A3(:,2);y4=A4
12、(:,2);y5=A5(:,2);y6=A6(:,2); %给相应的变量赋值x10=min(x1):0.001:max(x1); %对每一段数据点按连结顺序进行点横坐标的加密处理x20=max(x2):-0.001:min(x2); x30=min(x3):0.001:max(x3);x40=min(x4):0.001:max(x4);x50=max(x5):-0.001:min(x5);x60=min(x6):0.001:max(x6);y1i=interp1(x1,y1,x10,spline); %对数据进行三次样条插值y2i=interp1(x2,y2,x20,spline); y3i=
13、interp1(x3,y3,x30,spline);y4i=interp1(x4,y4,x40,spline);y5i=interp1(x5,y5,x50,spline);y6i=interp1(x6,y6,x60,spline);x=x10 x20 x30 x40 x50 x60;y=y1i y2i y3i y4i y5i y6i;%对三次样条插值后的数据按连结顺序合并s10=trapz(x10,y1i)+trapz(x30,y3i)+trapz(x40,y4i) +trapz(x60,y6i);%用梯形公式求除特殊段以外的各段与X轴围成的面积并求和s11=-trapz(x20,y2i);%
14、对特殊段面积s11的计算s12=-trapz(x50,y5i);%对特殊段面积s12的计算s1=s10-s11-s12;%计算下疆界与X轴围成面积的精确值plot(x,y)hold on;A1=xlsread(第一题数据,上边疆,A03:B11);A2=xlsread(第一题数据,上边疆,A11:B14); A3=xlsread(第一题数据,上边疆,A14:B40);A4=xlsread(第一题数据,上边疆,A40:B41);A5=xlsread(第一题数据,上边疆,A41:B49);A6=xlsread(第一题数据,上边疆,A50:B52);A7=xlsread(第一题数据,上边疆,A53:
15、B64);%导入上边疆的实验数据并分好计算的数据段x1=A1(:,1);x2=A2(:,1);x3=A3(:,1);x4=A4(:,1);x5=A5(:,1);x6=A6(:,1);x7=A7(:,1); y1=A1(:,2);y2=A2(:,2);y3=A3(:,2);y4=A4(:,2);y5=A5(:,2);y6=A6(:,2);y7=A7(:,2); %给相应的变量赋值x10=min(x1):0.001:max(x1); %对每一段数据点按连结顺序进行点横坐标的加密处理x20=max(x2):-0.001:min(x2); x30=min(x3):0.001:max(x3);x40=m
16、ax(x4):-0.001:min(x4);x50=min(x5):0.001:max(x5);x60=min(x6):0.001:max(x6);x70=min(x7):0.001:max(x7);y1i=interp1(x1,y1,x10,spline); %对数据进行三次样条插值y2i=interp1(x2,y2,x20,spline); y3i=interp1(x3,y3,x30,spline);y4i=interp1(x4,y4,x40,spline);y5i=interp1(x5,y5,x50,spline);y6i=interp1(x6,y6,x60,spline);y7i=in
17、terp1(x7,y7,x70,spline);x=x70 x60 x50 x40 x30 x20 x10;y=y7i y6i y5i y4i y3i y2i y1i;%对三次样条插值后的数据按连结顺序合并s20=trapz(x10,y1i)+trapz(x30,y3i)+trapz(x50,y5i)+trapz(x60,y6i)+trapz(x70,y7i);% 用梯形公式求除特殊段以外的各段与X轴围成的面积并求和s21=-trapz(x20,y2i);%对特殊段面积s21的计算s22=-trapz(x40,y4i);%对特殊段面积s22的计算s2=s20-s21-s22;%计算上疆界与X轴围成面积的精确值s=s2-s1；S=s*100/9； %计算实际国土面积Splot(x,y)grid on;t=abs(1.5665e+006-S)/1.5665e+006;%计算相对误差t
