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1、人教版必修4三角函数教材分析与教学建议,路桥中学 陈伟丽,一、定 位二、教材特点三、知识结构四、纲标对比五、教学建议,目录,一、定 位,三角函数是基本初等函数，它是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用.在本模块中，通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力.,二、教材特点,1、加强几何直观,强调数形结合思想.,4、突出信息技术的工具性.,3、利用知识的发生发展过程提出问题,引导思考，训练思维，提高能力.,2、突出三角函数在刻画周期变化
2、现象中的地位和作用、过程和方法.,三、知识结构,四、纲标对比,纲标对比：,纲标对比：,加强：三角函数作为刻画现实世界的数学模型；借助单位圆理解三角函数的概念、性质；新增利用现代教学技术辅助教学的安排；通过建立三角函数模型解决实际问题等。削弱：删减任意角的余切、正割、余割，三角函数的奇偶性，已知三角函数求角，反三角函数符号等。降低同角三角函数的基本关系式、诱导公式等的教学要求等。（获得必要的基础知识，运算的技巧难度降低要求）,教学要求变化：,课标不要求的题：,无：已知sinx=3/5，求cotx.已知cosx=1/3，求x.有少量：cosx0,求x取值集合，无：解不等式2cos2x cosx-1
3、 0.有少量：求y=tan3x的定义域，无：求y=lgcos(2x-1)的定义域.,借助单位圆（作用加强）1.定义1弧度的大小2.在坐标系中定义三角函数（1）突出三角函数概念的本质；（2）简化定义形式，体现数学的从简精神；（3）加强与几何的联系，便于应用。任意角 点P的纵坐标正弦 任意角 点P的横坐标余弦3.画三角函数图象（同原教学）4.导出三角函数的图象、基本性质、同角三角函数关系式、诱导公式（同原教学）,三角函数的所有内容都可以借助单位圆的直观进行讨论,为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数,定义：任意角与单位圆的交点为P(x，y)，则x=cos，y=sin.对应关系明确，函数的意义直观而具
4、体，“周期函数”的特点一目了然.三角函数性质：正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述，例如（1）P(x，y)在单位圆上|x|1，|y|1，即正弦、余弦函数的值域为1，1；（2）|OP|2=sin2+cos2=1；,（3）对于圆心的中心对称性 sin(+)=sin，cos(+)=cos；（4）对于x轴的轴对称性 sin()=sin，cos()=cos；（5）对于y轴的轴对称性 sin()=sin，cos()=cos；（6）对于直线y=x的轴对称性 sin()=cos，cos()=sin；,（7）圆的旋转对称性：和（差）角公式 圆的反射对称性：和（差）化积公式,五、教学
5、建议,课程内容与课时（共16课时）,教学中要注意在学生已有生活经验的基础上，通过较丰富 的实例展示角扩充的必要性。在直角坐标系中，引入象限角概 念，为用代数方法研究角提供了基础.要认识象限角的分类，通过比较、发现，导出同终边角的集合表示。要揭示引入实数 度量角的必要性，弧长公式和扇形面积计算公式只需要会做简 单应用。本节内容涉及概念较多，在教学方法上建议：先由教师提出一些问题,提供学生自学时间，在此基础上，可通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.,1.1任意角和弧度制,在直角坐标系中,通过计算机辅助，突出三对比值与终边 上点的位置无关，与角的终边有关引入单位圆,借助几何支 持，定义三种
6、三角函数通过探究导出三种三角函数的值在 各象限的符号运用三角函数定义导出两个同角三角函数基本关系 明确三种三角函数在单位圆中的几何表示 认识任意角的终边上任意一点的横、纵坐标与余、正弦函 数的关系.恒等式的化简、证明，只需围绕三种三角函数，难度要控制,1.2 任意角的三角函数,一是突出几何图形对发现结论的影响，即我们是如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现结论的.二是在诱导公式的运用中隐含着化归与转化的思想.,1.3 诱导公式,正弦、余弦函数按照从函数的定义到作函数图象再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，三角恒等变换不再穿插其中，这一顺序与研究其他函数的顺序一致，使得三角函数
7、的研究更加简洁另外，把周期性作为第一条性质，目的是为了体现它的重要性。正切函数先利用诱导公式、单位圆讨论性质，然后再利用性质作图象，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数性质。,1.4 三角函数的图象与性质（本章重点之一）,1.5 函数y=Asin(x+)的图象,（1）探索对ysin(x+)的图象的影响；（2）探索对ysin(x+)的图象的影响；（3）探索A对yAsin(x+)的图象的影响；（4）上述三个过程的合成。具体到抽象归纳思想,1.6 三角函数模型的简单应用,例1.用已知的三角函数模型解决问题；例2.将复杂的函数模型转化为基本初等函数解决问题；例3.根据问题情景建立精确的三
8、角函数模型解决问题；例4.通过数学建模，利用数据建立拟合函数解决实际问题：由给出的潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题.,人教版必修4三角恒等变形教材分析与教学建议,一、定 位,本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。,教育价值,(1)有助于学生体会数学与实际生活的联系，以及数学在解决实际问
9、题中的作用。(2)有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程。(3)有助于发展学生的运算能力和推理能力。,二、教材特点,1削枝强干，精简内容。2突出数学思想方法，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导。3以问题为引导，加强过程与联系，切实改进学生的学习方式，提高学生的数学能力。,三、知识结构,四、纲标对比,纲标对比,课程内容削弱的方面,两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出等。对三角恒等变换，标准要求以推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基本训练，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒
10、等变形。,五、教学建议,课时分配,3.1.1两角差的余弦公式 约1课时3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式 约1课时 3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 约1课时 小结复习 约1课时3.2简单的三角恒等变换 约3课时 小结复习 约1课时,3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式,和（差）角公式的逻辑联系图,重点和难点,重点：通过探索和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。难点：两角差的余弦公式的探索和证明。,教学基本要求,了解学习两角和与差三角函数公式的必要性。理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路。能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它
11、三角函数公式。能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。,教学发展要求,理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理正确的拆分。能对公式进行简单的逆用。,控制好拆分角度的难度。题型的变化不宜过多。,说明,3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式,本章内容的重点之一是两角差的余弦公式的推导及在推导 过程中体现的思想方法，同时它也是难点。为了突出重点、突 破难点，教学中可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结 合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角 关系等建立正弦、余弦值的等量关系。前一章中已经明确指出，向量的数量积是解决距离与
12、夹角问题的工具，在两角差的余弦 公式的推导中能够体现它的作用。,3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式,教学时应当注意下面四个要点：在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想 向量知识；充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系，为向量方法的运用做好准备；探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节，在补充 完善细节的过程中，需要运用分类讨论思想，突破两角差的余弦公 式的推导这一难点后，其他所有公式都可以通过学生自己的独立探 索而得出。本章不仅关注使学生得到差（和）角公式，而且还特别关注公式 推导过程中体现的数学思想方法。,3.2简单的三角恒等变换,知识结构
13、,重点和难点,重点:是引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基础训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。难点:认识三角变换的特点。并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。,教学基本要求,能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。,教学发展要求,了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。理解三角变换的基本特点和基本功能。了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。,说明,积化
14、和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆。,3.2简单的三角恒等变换,从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点。相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换。由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上，而且还表现在角及其函数类型上，因此三角恒等变换常常需要先考虑式子中各个角之间的关系，然后以这种关系为依据来选择适当的三角公式进行变换，这是三角恒等变换的主要特点。教学中应当引导学生以一般的数学（代数）变换思想为指导，加强对三角函数式特点的观察，在类比、特殊化、化归等思想方法上多作引导，同时要注意体会三角恒等变换的特殊性。,欢迎批评指正,谢 谢！,
