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1、第六章 弯曲应力,6.1 引言,梁弯曲时，横截面上存在何种应力？,内力,应力,P,P,Pa,CD段：,纯弯曲：只有弯矩，无剪力。,AC、DB两段：,横力弯曲：既有弯矩，又有剪力。,等截面直梁，如图所示：,引例,梁纯弯曲时，横截面上只有正应力而无切应力。,梁作横力弯曲时，横截面上既有正应力又有切应力。,6.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,从三方面考虑：,变形几何关系,物理关系,静力学关系,一、变形几何关系,用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:,1、实验现象,（2）各横向线仍保持为直线，并在相对旋转了一个角度后，各纵向线与横向线间仍保持正交。,（1）纵向线变为彼此平行的弧线，梁上部的
2、纵线缩短，下部的纵线伸长，同一层（高度）的纵向线变形相同，即曲率相同。,（3）矩形横截面上宽下窄。,2、两个假设,（1）梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某轴旋转了一个角度。这就是梁在纯弯曲时的平面假设。,（2）单向受力假设：认为纵向纤维之间无挤压作用，于是各纵向纤维均处在单向受拉或单向受压的状态。,3、推论,梁在弯曲变形时，靠近凹边的纵向纤维缩短，靠近凸边的纤维伸长，根据变形的连续性，其中必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,即保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。,中性层与横截面的交线称为中性轴。,4、几何分析,：变形后中性层的曲率半径。,4、几何分析
3、,求距中性层为 y 处的纤维(bb)的变形：,变形后：,变形前：,即：,由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，=0,：变形后中性层的曲率半径。,二、物理关系,由假设（2）知,各纵向纤维为单向拉压，所以在弹性范围内有：,说明：,到这一步，我们可推知正应力随y的变化规律，但还不能确定其值。,y 在梁的纵向对称面内，为横截面的对称轴；,z 为横截面的中性轴。,三、静力学关系,垂直于截面的正应力只可能合成为截面上三个内力：,轴力FN：,对y 轴的力偶矩My：,对z 轴的力偶矩Mz：,由于梁纯弯曲时横截面上仅存在弯矩Mz，而无其他内力分量，所以：,由FN=0,得：,中性轴过形心,由My=
4、0,得：,由于y 轴是截面的对称轴，故惯性积Iyz=0，上式自然满足。,由Mz=M,得：,纯弯曲梁的正应力公式,一、变形几何关系,二、物理关系,三、静力学关系,总结：,说明：,(2)适用于直梁或小曲率曲梁。,(1)适用于材料处于线弹性的情形。,(3)用该公式计算正应力时，应考虑M和y的正负号。,(4)公式不仅适用于矩形截面，而且适用于其它一些截面，如：T字形梁，工字形梁，圆截面梁等。,(5)纯弯曲梁横截面上正应力分布：,(M 0),(M 0),(6)最大正应力取值：,压应力,(中性轴为截面的对称轴时，最大应力发生在上下边缘处。),当中性轴不是截面的对称轴时，最大正应力计算：,惯性矩 Iz 和抗
5、弯截面模量Wz的计算：,6.3 横力弯曲时横截面上的正应力,一、横力弯曲时的正应力,（1）平面假设不成立；,（2）纵向纤维间存在互相挤压现象；,与纯弯曲比较：,精确的研究表明：,当梁的跨度（l）与梁的高度（h）相比足够大（l 5h）时，由于截面上剪力的存在引起的误差略去不计（5%）。,横力弯曲时正应力近似为：,横力弯曲时最大正应力为：,Wz 为抗弯截面模量,二、梁的正应力强度条件,说明：,对抗拉和抗压许用应力相等的材料（如低碳钢等），只需让绝对值最大的应力不超过许用应力即可。,对抗拉和抗压许用应力不等的材料（如铸铁），则需分别校核最大拉应力和最大压应力。,三、梁强度计算的三类问题：,（a）强度
6、校核；,（b）梁的截面设计；,（c）梁的许用载荷计算；,例：图示钢制矩形截面简支梁，已知：P=6kN，截面宽度 b=30mm，高度 h=60 mm，试求梁竖放和横放时梁内最大正应力，并分别画出应力沿截面高度的分布图。,解：,求支承反力，作弯矩图；,竖放时：,横放时：,比较两者可见：,竖放比横放受力合理。,例,图示悬臂梁，自由端承受载荷F=15KN作用，试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。,解,1.确定截面形心位置,选参考坐标系,2.计算截面对中性轴的惯性矩,3.计算最大弯曲正应力,截面B-B的弯矩大小为：,在截面B的上下边缘处，分别作用有最大拉应力与最大压应力,例：已知l=1.2
7、m,=170MPa，18号工字钢，不计自重。,求：P 的最大许可值。,解：,作弯矩图，由图可得：,则：,故：,查表，,由：,故B截面为 危险截面：,例：图示铸铁梁，其截面为T形，截面尺寸如图。铸铁的许用拉应力t=30 MPa，许用压应力c=160 MPa，试校核该梁的强度。,解：,（1）计算支反力，画弯矩图,（2）确定截面形心位置，计算对中性轴的惯性矩 Iz。,以 z1 轴为参考轴,上下边缘距中性轴的距离为,计算截面对于中性轴的惯性矩：,（3）判断危险截面与危险点，校核梁的强度,可能的危险截面：,C、B截面。,对B 截面：,对C 截面：,对B 截面：,对C 截面：,小结：,（1）对抗拉和抗压强
8、度不等的材料，需同时校核最大拉应力和最大压应力。,（2）对抗拉和抗压强度不等的材料的梁，危险截面不一定在 Mmax 的截面。,综上，梁的强度不足。,例：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？,解：,由公式,可以看出，该梁的承载能力将是原来的 2 倍。,例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为t和c，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（为截面形心）,CL8TU9,解：,例：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。,解：由题意可知,即,例：简支梁AB，在截面下边缘
9、贴一应变片，测得其应变=610-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。,CL8TU13,解：,C点的应力,C截面的弯矩,由,得,一、弯曲时截面上的切应力,对横力弯曲，截面上内力,弯矩,剪力,截面上正应力的合成结果,截面上切应力的合成结果,梁的强度一般由其弯曲正应力控制，但有些情况需考虑梁的剪切强度，如：短粗梁、腹板很薄的工字梁。,1.矩形截面梁,切应力分布假设：,(1)截面上任点的切应力与剪力FS平行；,(2)切应力沿宽度 b 方向均匀分布。,6.4 弯曲切应力,由切应力互等定理，顶面pr上有与侧面相等的剪应力，其合力为：,由微段的平衡：,梁中dx微段的受力：,应力分布：,再用
10、平行于中性层且距离为y的平面pr在微段中截出一部分 prnn1，,由微段的平衡：,应力分布：,而,故,注意 的计算,可以推导出：,由切应力互等定理：,为横截面距中性轴为 y 的横线以下部分的面积对中性轴的静矩,其中：,（1）FS横截面上的剪力,（2）IZ整个截面对中性轴的惯性矩,（3）b横截面在所求点处的宽度,（4）,横截面任一点切应力计算公式：,矩形截面上任一点的切应力公式,当l h时,最大剪应力比最大正应力小得多。且当l 10h时,max 5%max,最大正应力与最大剪应力的比较,如右图:,所以有:,2.工字形截面梁,腹板部分的切应力：,其中：,腹板部分的切应力关于截面高度成抛物线分布。,
11、由于b 比 B 小得多，所以,即认为腹板部分的切应力近似均匀分布。,3、圆截面梁,（2）同一层在y方向上的分量y为常数.,1、与FS的方向不一致，如外边缘上的方向与切线一致。,假设,（1）同一层上各点的作用线都通过同一点p。,其中:FS 横截面上的剪力,Iz 圆截面对中性轴的惯性矩,d 剪应力所在的弦长,Sz*剪应力所在弦的上方或下方面积 对中性轴的静矩.,max,2.公式,由上面的假设，对y而言，就与对矩形截面所作的假设完全相同。于是，圆截面梁的剪应力公式可表示为：,max一定在中性轴(y=0)上,其方向和剪力一致,且,误差5%.,说明：,或：,梁的横截面上任一点的正应力,梁的横截面上任一点
12、的切应力,例,梁截面如图所示，剪力FS=15KN，并位于梁的x-y平面。试计算该截面的最大弯曲切应力，以及腹板与翼缘交接处的弯曲切应力。截面的惯性矩Iz=8.84 10-6m4。,解：,1.最大弯曲切应力,最大弯曲切应力发生在中性轴上。,中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为：,故最大弯曲切应力,2.腹板与翼缘交接处的弯曲切应力,腹板与翼缘交接线一侧的部分截面对中性轴的静矩为：,腹板与翼缘交接线处的弯曲切应力,二、弯曲切应力强度校核,说明：,对于细长梁的截面设计，由正应力强度条件确定的截面尺寸一般都能满足剪应力强度条件。,短粗梁，或集中力作用与支座附近时,木材顺纹方向的剪切强度低，须校核剪应力,
13、薄壁截面梁（如：工字形截面梁）；,梁由几部分经焊接、胶合等而成，其焊缝、胶合面处剪切强度；,但对于下列情况需用梁的剪切强度校核计算：,例：试求图示“T”字形截面梁的最大切应力。,解：,（1）由剪力图确定危险截面；,（2）求 Iz、,（3）求max,例：已知P=50KN，a=0.15m，l=1m，=160MPa，=100MPa，梁由工字钢制成。试选择工字钢型号。,解：,（1）由剪力图和弯矩图确定危险截面,（2）由正应力强度条件选择截面,查附表，选用10号工字钢,（3）校核切应力强度,查附表，对10号工字钢,故：,（4）重新选择截面,查附表，改选用12.6号工字钢,则：,满足切应力强度条件，最后选
14、用12.6号工字钢,控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，,提高梁强度的两个途径：,减小Mmax；,增大W。,一、合理安排梁的受力情况,1.合理布置梁的支座,6.5 提高弯曲强度的措施,2.合理设置载荷作用位置,3.加副梁,二、选择合理的截面形状,所谓“合理”是指用最少的材料获得最大的WZ，即截面积A较小，而抗弯截面模量Wz较大。,可用 来衡量截面的合理性，越大越好,几种上下对称截面形状的合理性比较：,合理性方向,合理,对抗拉与抗压强度不等的材料，截面形状的合理性：,设计成上下不对称的截面形状，且使中性轴偏向受拉侧。,如：铸铁,三、等强度梁的概念,梁各截面上的最大正应力都相等，且都等于许用应力，这种梁称为等强度梁。,要求等强度梁W（x）沿轴线的变化规律为,AB为等强度梁,截面为矩形,设截面高度h=常数，而宽度为b(x),考虑到剪切强度要求,车辆用叠板弹簧,第六章结束了！,谢谢大家！,
