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1、1,材 料 力 学,2023年3月3日,第七章应力状态和强度理论,2,第七章 应力和应变分析 强度理论,本章内容:7.1 概述7.2 平面应力状态的应力分析.主应力7.3 空间应力状态的概念7.4 应力与应变间的关系7.5 空间应力状态下的应变能密度 7.6 强度理论及其相当应力7.7 莫尔强度理论7.8 各种强度理论的应用,3,7.1 概述,1 问题的提出,低碳钢的拉伸实验和铸铁压缩实验,低碳钢的拉伸实验,铸铁的压缩实验,问题：为什么铸铁压缩时会沿 45 截面断裂？,4,低碳钢和铸铁的扭转实验,低碳钢的扭转实验,铸铁的扭转实验,问题：为什么铸铁扭转时会沿 45 螺旋面断开？,所以，不仅要研究
2、横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。,铸铁,5,2 应力的三个重要概念,应力的点的概念,应力的面的概念,同一物体内不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,6,应力的面的概念,过同一点的不同方向的截面上的应力各不相同，此即应力的面的概念。所以，讲到应力，应指明是哪一点在哪一方向面上的应力。,应力状态的概念,过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。,7,应力状态的概念,过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。,8,3 一点应力状态的描述,单元体,单元体的边长 dx,dy,dz 均为无穷小量；,单元体的特点,9,单元体的边长 dx,dy,dz 均为无穷小量
3、；,单元体的特点,单元体的每一个面上，应力均匀分布；单元体中相互平行的两个面上，应力相同。,4 主应力及应力状态的分类,主应力和主平面,切应力为零的面称为主平面；,10,4 主应力及应力状态的分类,主应力和主平面,切应力为零的面称为主平面；,主平面上的正应力称为主应力；主平面的外法线方向称为主方向。主应力用1,2,3 表示(1 2 3)。,应力状态分类,单向应力状态,11,应力状态分类,单向应力状态,平面应力状态(二向应力状态),空间应力状态(三向应力状态),简单应力状态,复杂应力状态,12,5.平面应力状态和空间应力状态的实例,（1）平面应力状态的实例,例7-1 薄壁圆筒,已知：p,D,t。
4、,端部总压力,求 和,13,求,求,取研究对象如图。,14,求,计算FN力,即：内压力在y方向的投影等于内压乘以投影面积。,15,所以,16,可以看出：轴向应力 是环向应力的一半。对于薄壁圆筒，有：,所以，可以忽略内表面受到的内压p和外表面受到的大气压强，近似作为平面应力状态处理。,17,（2）三向应力状态的实例,滚珠轴承,18,例7-2 已知：蒸汽锅炉，t=10mm,D=1m,p=3MPa。,解：,求：三个主应力。,前面已得到,19,例7-3 已知：球形容器，t,D,p。,解：,求：容器壁内的应力。,取研究对象如图。,与薄壁圆筒的情况类似，有：,所以：,20,1.解析法,平面应力状态的表示,
5、应力状态分析,在已知过一点的某些截面上的应力时，求出过该点的任一截面上的应力，从而求出主应力和主平面。,切应力的下标,作用面的法线,切应力的方向,7.2 平面应力状态的应力分析.主应力,21,平面应力状态的表示,切应力的下标,作用面的法线,切应力的方向,正负号规定,正应力,拉为正,压为负,22,切应力,使单元体顺时针方向转动为正；反之为负。,截面的方向角,由x正向逆时针转到截面的外法线 的正向的角为正;反之为负。,23,方向角为的截面上的应力,以单元体的一部分为研究对象。,由平衡条件,24,25,由切应力互等定理，xy与 yx 大小相等。,26,最大正应力和最小正应力,令：,可以看出：当=0
6、时，,取极值的正应力为主应力。,27,令：,可以看出：当=0 时，,取极值的正应力为主应力。,若 0 满足上式，则 0+90也满足上式，代入公式可得：,28,若 0 满足上式，则 0+90也满足上式，代入公式可得：,正应力的不变量,29,正应力的不变量,截面上的正应力为:,+90 截面上的正应力为:,任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数.,30,最大切应力和最小切应力,令：,若 1 满足上式，则 1+90也满足上式，代入,公式可得：,31,若 1 满足上式，则 1+90也满足上式，代入,公式可得：,切应力的极值称为主切应力 主切应力所在的平面称为主剪平面 主剪平面上的正应力,32,切应力
7、的极值称为主切应力 主切应力所在的平面称为主剪平面 主剪平面上的正应力,将 1 和 1+90 代入公式可得：,即：主剪平面上的正应力为平均正应力。,33,将 1 和 1+90 代入公式可得：,即：主剪平面上的正应力为平均正应力。,主平面与主剪平面的关系,由 0 和 1 的公式可得：,即：主平面与主剪平面的夹角为45。,34,例7-4 已知：圆轴受扭转。,解：,求：应力状态及分析铸铁件受扭时的破坏现象。,最大切应力,取单元体ABCD,纯切应力状态,35,取单元体ABCD,纯切应力状态,主应力,主方向,或,36,主应力,主方向,或,主应力排序,铸铁件破坏现象,37,例 7-5 已知:A点应力=-7
8、0MPa,=50MPa。,解：,求：A点主应力和主平面，及其它点的应力状态。,A点单元体,取x轴向上为正,38,取x轴向上为正,主应力,39,主应力,主方向,或,其它几点的应力状态,40,单向压缩,其它几点的应力状态,单向拉伸,纯剪切,平面应力状态,41,主拉应力1迹线,主应力迹线,主压应力3迹线,42,2.图解法,1 应力圆(莫尔圆)方程,由公式,平方相加，得,43,这是以、为变量的圆的方程。,44,2 应力圆的画法,D,D,C,45,3 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系,(1)点面对应,应力圆上某一点的坐标值对应着,单元体某一方向面上的正应力和切应力;,46,(2)基准相当,(3)
9、转向一致,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,D点和x面是基准;,47,(3)转向一致,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,(4)角度成倍,半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。,48,4 应力圆的应用,确定主应力、主方向,应力圆与横轴的交点 A1、B1处，剪应力为零。它们的横坐标即为主应力。从半径CD转到CA1的角度即为从x轴转到主平面的角度的两倍。,49,主应力即为A1,B1处的正应力。,主方向,50,确定面内最大切应力,主剪面对应于应力圆上的G1和G2点。面内最大切应力的值等于应力圆的半径。,51,d,a,c,单向应力状态的应力圆,52,53,B,E,纯切应力状态的应力圆,5
10、4,例 7-6已知：x=80MPa,y=-40MPa,xy=-60MPa,yx=60MPa。,解：,求：用应力圆求主应力和主方向。,作应力圆:,由,D点,由,D点,画出应力圆,55,由,D点,由,D点,画出应力圆,56,圆心坐标,半径,57,主平面,从D点(x轴)逆时针转45至A1点，,圆心坐标,半径,E,由几何关系,58,E,主平面,从D点(x轴)逆时针转45至A1点，,由几何关系,59,例7-7 已知：x=0,y=-40MPa,xy=0。,解：,求：斜截面de上的正应力和切应力。,作应力圆:,由,O点,由,B1点,画出应力圆,60,由,O点,由,B1点,画出应力圆,圆心坐标,半径,61,圆
11、心坐标,半径,单元体上0=-60的面所对应的点为E点,D,62,7.3 空间应力状态的概念,空间应力状态,三个主应力均不为零的应力状态。,63,特例,至少有一个主应力的大小方向为已知。,平面应力状态即为这种特例之一。,64,空间应力状态的应力圆,设三个主应力均已知。,平行于s1的方向面其上之应力与s1无关，于是由s2、s3可作出应力圆 I,平行于s2的方向面其上之应力与s2无关，于是由s1、s3可作出应力圆 II,平行于s3的方向面其上之应力与s3无关，于是由s1、s2可作出应力圆 III,任一方向面上的应力位于阴影区内。,65,最大切应力,t,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：
12、,66,200,300,50,tmax,平面应力状态作为空间应力状态的特例,67,平面应力状态作为三向应力状态的特例，应注意：,(1),可能是1,也可能是2或3.,(2),按三个主应力的代数值排序确定1,2,3。,(3),68,任一方向的应变,比较,简介：平面应变状态分析,69,主要结论,主应变方向与主应力方向相同 主应变 e1、e2、e3与主应力 s1、s2、s3 一一对应 与应力圆类似，存在应变圆，与应力圆有相同的特点，不同点是g 的坐标有系数 1/2,70,实验应力分析：应变片与应变花,71,7.4 应力与应变间的关系,单向应力状态下的胡克定律,或,纯剪切应力状态下的剪切胡克定律,或,横
13、向变形与泊松比,72,广义胡克定律,空间应力状态,可看作是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合。,叠加原理,用叠加原理的条件：,(1)各向同性材料；,(2)小变形；,(3)变形在线弹性范围内。,x方向的线应变 x,x引起的部分:,73,x方向的线应变 x,x引起的部分:,y引起的部分:,z引起的部分:,叠加得：,74,叠加得：,同理可得：,剪应变为：,这六个公式即为广义胡克定律。,75,用主应力表示的广义胡克定律,从前三式中可解出三个主应力,76,从前三式中可解出三个主应力,77,体积胡克定律,单元体,变形前体积,变形后体积,略去高阶微量,单位体积的改变,78,变形前体积,变形后体积,略去高阶微
14、量,单位体积的改变,体积应变,将广义胡克定律,代入上式得,79,单位体积的改变,体积应变,将广义胡克定律代入上式得,又可写成,记,体积弹性模量,体积胡克定律,80,例 7-8 已知:受扭圆轴，d,E,测得 45。,解：,求：外加扭矩的值。,在测点取单元体,纯切应力状态,切应力为,要求出45方向的应变，需先求出 45方向的应力。,45方向为主应力方向,81,切应力为,45方向为主应力方向,由广义胡克定律,测扭矩的方法,82,例7-9 边长a=0.1 m的铜质立方体置于刚性很大的钢块中的凹坑内，钢块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外加荷载F=300 kN时，铜块内的主应力，最大切
15、应力，以及铜块的体应变。已知铜的弹性模量E=100 GPa，泊松比0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。,83,解：1.铜块水平截面上的压应力为,(b),2.铜块y 在作用下不能横向膨胀，即x=0,z=0,铜块的x截面和z截面上必有x和z存在,84,2.铜块y 在作用下不能横向膨胀，即x=0,z=0,铜块的x截面和z截面上必有x和z存在,(b),由广义胡克定律及ex0和ey0的条件有方程：,解得：,85,解得：,(b),由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以x，y，z都是主应力，且,3.铜块内的最大切应力为,86,3.铜块内的最大切应力为,(b),4.铜块的体应变为,87,7.5 空
16、间应力状态下的应变能密度,1 单向应力状态下的应变能密度,功能原理,2 空间应力状态下的应变能密度,变形能与加载方式无关,为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律,88,2 空间应力状态下的应变能密度,为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律,代入上式，化简得,89,3 体积改变应变能密度和形状改变应变能密度,+,体积改变,形状不变；,体积不变,形状改变,90,3 体积改变应变能密度和形状改变应变能密度,+,体积改变,形状不变；,体积不变,形状改变,91,体积改变应变能密度,92,形状改变应变能密度,或,93,例 7-10 已知:纯剪切应力状态。,解：,求：导出E,G,之间的关系。,第3章已求出纯
17、剪切时,用本节公式求纯剪时的应变能,纯剪切时,94,用本节公式求纯剪时的应变能,纯剪切时,第3章已求出纯剪切时,95,强度理论研究材料失效的判据，从而建立强度条件。,7.6 强度理论及其相当应力,不同材料在相同的加载情况下，破坏(失效),的形式不同。,塑性材料：,屈服失效。,脆性材料：,断裂失效。,96,相同材料在不同的加载情况下，破坏(失效),的形式不同。,塑性材料：,当有深切槽时，发生断裂。应力集中导致根部出现三向应力状态。,97,脆性材料：,98,对单向应力状态和纯剪切通过实验建立强度条件,对复杂应力状态无法通过实验建立强度条件,强度理论 根据部分实验结果，提出的假说。从而可根据单向应力
18、状态的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。,99,强度理论分为两类：,1.四种常用的强度理论,（1)最大拉应力理论(第一强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,失效准则,适用于断裂失效情况,适用于屈服失效情况,单向拉伸失效时,复杂应力状态时，令,100,（1）最大拉应力理论(第一强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,失效准则,强度条件,相当应力,单向拉伸失效时,复杂应力状态时，令,101,相当应力,适用对象,脆性材料受拉，塑性材料受三向拉伸且 s1、s2、s3 相近。,缺点,没有考
19、虑 s2 和 s3 的影响，且无法应用于,没有拉应力的情况。,（2）最大伸长线应变理论(第二强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,强度条件,102,（2）最大伸长线应变理论(第二强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,失效准则,单向拉伸失效时,复杂应力状态时，令,103,适用对象,脆性材料受压。,失效准则,强度条件,相当应力,缺点,对脆性材料受拉与试验符合不好。,单向拉伸失效时,复杂应力状态时，令,104,（3）最大切应力理论(第三强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要
20、最大切应力达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。,失效准则,单向拉伸失效时,复杂应力状态时,强度条件,105,失效准则,强度条件,适用对象,塑性材料的一般受力状态。,相当应力,缺点,偏于安全；没有考虑 s2 的影响。,（4）形状改变比能理论(第四强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要形状改变应变能密度达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。,失效准则,106,(4)形状改变比能理论(第四强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要形状改变应变能密度达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。,失效准则,单向拉伸失效时,代入上式得,107,失效准则,单向拉伸失效时,代入上式得,复杂应力状态时,令上式
21、在复杂应力状态时成立，得,108,失效准则,复杂应力状态时,令上式在复杂应力状态时成立，得,强度条件,相当应力,109,适用对象,塑性材料的一般受力状态。,缺点,计算相当应力较麻烦。,强度条件,相当应力,第三强度理论和第四强度理论的图形,110,第三强度理论和第四强度理论的图形,在平面应力应力状态下，第三强度理论和第四强度理论的图形为,形状改变能密度,111,小结,强度条件可统一写为,第一强度理论和第二强度理论适用于脆性材料.,脆性材料受拉,第三强度理论和第四强度理论适用于塑性材料.,脆性材料受压,112,几种常见应力状态的相当应力,(1)单向拉伸,即：在单向拉伸应力状态下，各相当应力相同。,
22、113,(2)纯剪切,114,(3)平面弯曲时一般位置处的应力状态,115,116,7.7 莫尔强度理论及其相当应力,基本观点,对于某一给定的应力状态如果由1与 3所作应力圆与上述极限包络线相切或相交，则表示材料要发生强度破坏。,按照材料在某些应力状态下破坏时的主应力 1,3可作出一组应力圆极限应力圆，这组极限应力圆有一条公共包络线，即极限包络线。,117,失效准则,其中：,需要注意的是，以上各式中sc是指绝对值，s1,s3是指代数值。,118,失效准则,强度条件,适用对象,相当应力,缺点:,它没有考虑不同应力状态下材料强度破坏的类型可能不同,119,例7-11 试全面校核图a,b,c所示焊接
23、工字梁的强度，梁的自重不计。已知：梁的横截面对于中性轴的惯性矩为 Iz=88106 mm4；半个横截面对于中性轴的静矩为S*z,max=338103 mm3；梁的材料Q235钢的许用应力为s 170 MPa，t 100 MPa。,120,解:1.按正应力强度条件校核,满足正应力强度条件。,2.按切应力强度条件校核,121,2.按切应力强度条件校核,满足切应力强度条件。,3.按强度理论校核Mmax和FS,max同时所在横截面上腹板与翼缘交界处的强度,122,3.按强度理论校核Mmax和FS,max同时所在横截面上腹板与翼缘交界处的强度,123,3.按强度理论校核Mmax和FS,max同时所在横截面上腹板与翼缘交界处的强度,点a处的主应力为,124,点a处的主应力为,第三强度理论校核a点的强度。,所得的相当应力r3178.1MPa已略超过许用正应力=170 MPa,但超过不到5%，在工程计算中允许的范围内。,第四强度理论校核a点的强度。,满足强度要求。,125,谢 谢 大 家!,
