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1、,2012.10,主讲人：张燕,机械类专业必修课,机械与动力工程学院,教学内容,1、课程准备,7、系统的性能指标与校正,2、绪 论,4、系统的时间响应分析,3、系统的数学模型,5、系统的频率特性分析,6、系统的稳定性分析,3.1 时间响应及其组成、典型输入信号3.2 一阶系统的时间响应3.3 二阶系统的时间响应3.4 二阶系统的性能指标3.5 高阶系统地时间响应3.6 系统的误差分析及计算3.7 单位脉冲函数在时间响应中的作用,第三章 系统的时间响应分析,教学内容,3.1 时间响应及其组成、典型输入信号,建立系统数学模型后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分析
2、是重要的方法之一。时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，时间响应不仅取决于系统本身特性，而且与外加的输入信号有较大的关系。,时域分析的目的：在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。,时域法的特点：时域法是最基本的分析方法，是学习复域法、频域法的基础。（1）直接在时间域中分析系统，直观，准确；（2）可以提供系统时间响应的全部信息；（3）基于求解系统输出的解析解，比较烦琐,一、时间响应及其组成,概念说明：,系统的响应及其组成：就是指描述系统的微分方程的解及其组成，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。,系统的时间响
3、应响应组成及一阶系统,微分方程解的组成：,特解,齐次微分方程通解,系统的时间响应响应组成及一阶系统,由理论力学与微分方程解的理论可知：,微分方程解的表现形式：,将 y2(t)代入系统的微分方程中，可得：,为系统的无阻尼固有频率。,于是，式 的完全解可写成如下形式：,为求常数A和B，将上式对 t 求导可得：,联立以上二式可解得：,特解，与输入有关,通解，与输入无关,y(t)=y0,求得方程的解：,由微分方程初始条件引起的响应,由作用力引起的响应,自由响应,强迫响应,还不是完全意义上的自由响应，其振幅还是受F的影响,自由响应的振动频率与自身特性有关,强迫响应的振动频率与外加作用力的振动频率相关,由
4、作用力引起的自由振动,零输入响应：无输入时系统初态引起的自由响应。,零状态响应：在零初始条件下（输入为零的时刻、系统的初态也为零），由输入引起的响应。,系统的时间响应响应组成及一阶系统,牢记！,控制工程的研究内容主要是零状态响应！,2、系统时间响应的一般组成,对系统微分方程x(t)各阶导数取 0，则：,系统初态引起的自由响应,输入x(t)引起的自由响应,系统的时间响应响应组成及一阶系统,系统响应的一般表达为：,n与si同系统的初态和输入无关，而取决于系统的结构和参数的固有特性。,系统的时间响应响应组成及一阶系统,注意：在定义系统的传递函数时已规定零初始条件，故由初态引起的零输入响应为零，从而对
5、Y(s)=G(s)X(s)进行拉氏反变换得到的y(t)就是零状态响应。,在定义传递函数时，其前提条件之一便是：系统初始状态为0,拉氏反变换,看看利用传递函数求解响应的过程？,此处所求 是在系统零状态下的解，即前面讲的零状态解,注意：本书所讲时间响应内容没有特别标明之外，均为零状态响应,输入存在导数项的响应求取：,对系统动力学微分方程的一般形式求导：,存在导数的输入的响应是各阶导数输出的叠加。,系统的时间响应响应组成及一阶系统,讨论：系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态无关；由y(t)=L-1G(s)X(s)所求得的输出是系统的零状态响应对于线形定常系统，若x(t)引起的输出为y
6、(t)，则x(t)引起的输出为y(t)。,系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡性不同的特征根对应的自由响应：(a):Resi0 系统收敛,实部相同，虚部越大，振荡越剧烈,虚部相同，实部越小，收敛越慢,实部为零，只有虚部，振荡不收敛虚部减小，振荡减弱,虚部为零，实部相等，不振荡,(b):Resi0 系统发散,虚部为零，实部相等，不振荡,若所有的特征根都具有负实部，系统的自由响应项收敛于0（系统稳定）此时，自由响应称为瞬态响应,若存在特征根的实部为正，其余为负，则系统的自由响应项发散（系统不稳定）,若存在特征根的实部为零，其余为负，则系统的自由响应项等幅振荡（系统临界稳定）,在此还要强调：R
7、es i是大于还是小于零，决定系统稳定还是不稳定；Res i绝对值大小，决定系统的快速性；而I ms i则在决定系统的振荡情况，影响系统响应的准确性。,总结：,振动性质,振动来源,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,稳定性质,瞬态响应,稳态响应,信号分类：,确定性信号：能够用明确的数学关系式描述的信号。,非确定性信号：不能用数学关系式描述的信号。,特点：可分为周期、非周期信号与准周期信号。,特点：幅值、相位变化不可预知，只服从统计规律。,系统的时间响应响应组成及一阶系统,在分析和设计系统时，为了能够方便地评价其性能的优劣，需要规定一些典型输入信号。从而通过比较系统对典型输入信号的时间响
8、应来判定系统的动态性能。,二、典型输入信号,t0,典型输入信号：,正弦信号(e),随机函数(f),系统性能评价原理：,系统的时间响应响应组成及一阶系统,典型输入信号的选择原则：能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。,教学内容,3.2 一阶系统的时间响应,定 义：可用一阶微分方程描述的系统。,特征参数：一阶系统时间常数T。,T表达了一阶系统本身与外界作用无关的固有特性。,主要原因是引起此响应的输入是瞬态作用,特性
9、分析：,过渡过程：响应衰减到初值2之前的过程。,调整时间：过渡过程历经的时间ts=4T。,T越大，ts越长，系统惯性越大；一阶系统可称为一阶惯性系统。,系统的时间响应响应组成及一阶系统,特性分析：,响应说明：,单调上升的指数曲线；,重要特征点：A点t=T,xou(t)=0.632；0点t=0,斜率为1/T。,包含了一阶系统固有特性的有关信息,不同时间常数下的时间响应,一阶系统的性能指标：调整时间ts,一阶系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的关系？,结论：,如果一个输入A是另一个输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；如果一个输入A是另一个输入B的积分，则输入A所引起的输出
10、就是输入B所引起输出的积分，但是如果积分是不定积分，则还需要确定积分常数。,单位脉冲,单位阶跃,如何用实验法求一阶系统的传递函数G(s)？,如稳态值B(t)为k,0.632B(t)时的时间t=T,则传递函数为：,对系统输入一单位阶跃信号,测出响应曲线,稳态值,0.632倍的稳定值或t=0时的斜率求得时间常数,即能求得传递函数,可求得w(t),可求得xou(t),w(t)=xou(t),L-1Xou(s)=L-1G(s)*1/s=xou(t),系统的时间响应响应组成及一阶系统,例1：已知系统的单位脉冲响应函数为：,求：(1)求系统的传递函数;(2)确定系统的单位阶跃响应达到稳态值的95%所需要的
11、时间,解：（1）因为系统的单位脉冲响应是系统传递函数拉氏反变换，故,（2）由于单位阶跃函数是单位脉冲函数的积分，因此单位阶跃响应就是单位脉冲响应的积分；,则稳态值：,设，单位阶跃响应达到稳态值95%时的时间t=ts，则有：,解得：ts=14.1s,例2：p113,3.5解：令 t=1，则：解得：T=0.256min,所以：当t=1min，e(t)=2.53oC,例3：p113,3.9解：由于单位反馈系统，其前向通道传递函数与开环传递函数相等，所以闭环传递函数为：因此，该系统为一阶系统，其中：时间常数为：系统增益为：因此，其单位阶跃响应为：,从上面可知，当K值增大时，系统的响应快速性变好；当T值
12、减小时，系统的响应快速性变好。,教学内容,3.3 二阶系统的时间响应,系统的时间响应二阶系统,说 明：一般控制系统。,微分方程：,传递函数：,特征参数：无阻尼固有频率n，阻尼比。,n 称为无阻尼固有频率,称为阻尼比,它们是二阶系统本身固有的与外界无关的的特征参数。,一、二阶系统分析,系统的时间响应二阶系统,其特征方程为：,特征根为：,二阶系统的特征根因 的不同而不同。可分四种情况进行说明。,欠阻尼系统,二阶系统方程特征根的讨论：,a)0 1,b)=0,无阻尼系统,c)=1,临界阻尼系统,d)1,过阻尼系统,二、二阶系统的单位脉冲响应,根据传递函数的定义，可知：,其响应由阻尼比来划分,二阶系统的
13、单位脉冲响应：,a)0 1 欠阻尼系统,是减幅的正弦振荡曲线，越小，衰减愈慢，振荡频率d 愈大。其衰减的快慢取决于n,二阶系统的单位脉冲响应：,b)=0 无阻尼系统,是等幅的正弦震荡曲线,二阶系统的单位脉冲响应：,c)=1 临界阻尼系统,无振荡递减曲线,二阶系统的单位脉冲响应：,d)1 过阻尼系统,因此，w(t)可视为两个并联的一阶系统的单位脉冲响应函数的叠加；思考：这两个一阶系统的时间常数是什么？和一阶系统中的T有什么特点？,二阶系统的单位阶跃响应,根据传递函数的定义，可知：,二阶系统的单位阶跃响应：,a)0 1 欠阻尼系统,式中，第一项为稳定项，第二项是瞬态项,是减幅正弦振荡函数,它的振幅
14、随时间的增加而减小。,二阶系统的单位阶跃响应：,b)=0 无阻尼系统,二阶系统的单位阶跃响应：,b)=1 临界阻尼系统,二阶系统的单位阶跃响应：,b)1 过阻尼系统,当1.5，两个衰减的指数项中，es1t 的衰减要比es2t 快得多，因此过渡过程的变化以es2t 项起主要作用。,系统的时间响应二阶系统,系统的时间响应二阶系统,二阶系统单位阶跃响应分析：,1时，过渡过程为衰减振荡,并且随着阻尼比的减小,其振荡越强烈,当=0 时,达到等幅振荡。,=1和 1时，过渡过程为单调上升,且在=1时过渡过程最短。,=0.40.8时，振荡适度、过渡过程较短且比=1 时更短。,控制系统设计所需的理想参数,决定过
15、渡过程特性的是响应的瞬态响应部分；合适的参数n和决定了合适的过渡过程。,教学内容,3.4 二阶系统的性能指标,系统的时间响应二阶系统,四、二阶系统响应的性能指标,1)相关约定：,阶跃输入产生容易，基于其响应系统可求得对任何输入的响应。,实际输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入是实际中最不利的输入情况。2)由于完全无振荡的单调过程的过渡时间太长，所以，除了那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，其目的是为了获得较短的过渡时间。,系统性能指标根据系统对单位阶跃输入的响应来界定，原因如下：,系统的时间响应二阶系统,因此，在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼（通常取=0.40.8）状态下工作
16、。所以，下面有关二阶系统响应的性能指标的定义及计算公式除特别说明外，都是针对欠阻尼二阶系统而言的，更确切地说，是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程而言的。,a)上升时间tr,响应曲线第一次达到稳态值所需的时间定义为上升时间。,由图可知，当tt r时，xo(t r)1，由单位阶跃响应的表达式得：,系统的时间响应二阶系统,即：,可得：,令：,上升时间是输出第一次达到稳态值的时间，故取：,b)峰值时间 tp,响应曲线达到第一个峰值所需要的时间定义为峰值时间。,令：,则：,依定义，取：,则：,c)最大超调量 Mp,定义如下：,依据定义：,代入时间响应，得：,即：,超调量只与阻尼比有关。当=0.
17、40.8 时，相应的超调量Mp=25%1.5%。,d)调整时间 ts,过渡过程中，输出满足下列不等式所需的时间定义为调整时间,即：,所以：,系统的时间响应二阶系统,系统的时间响应二阶系统,二阶系统的特征参数n和 决定系统的调整时间，和最大超调量；反过来，根据 t s 和Mp要求，也能确定n和。,e)振荡次数N,定义：过渡过程中，输出xo(t)穿越其稳态值的次数的一半。,基于欠阻尼单位阶跃响应函数：,系统的振荡周期为：,系统的时间响应二阶系统,当00.7时，代入ts 近似表达式，有：,二阶系统性能讨论：,增大n，可以提高二阶系统的响应速度，减少上升时间tr、峰值时间tp和调整时间ts；,增大，可
18、以减弱系统的振荡，降低超调量Mp，减少振荡次数N，但增大上升时间tr和峰值时间tp；,系统的响应速度与振荡性能之间往往存在矛盾。必须合理选择系统参数，使之满足性能要求。,总结：上升时间：峰值时间：最大超调量：调整时间：振荡次数：,0.02,0.05,系统的时间响应二阶系统,五、二阶系统计算实例,实例分析1,二阶系统方框图如右图所示，其中，=0.6，n=5s-1。求其性能指标t p、Mp和t s。,系统的时间响应二阶系统,(2)求M p,系统的时间响应二阶系统,系统的时间响应二阶系统,(2)求m,由响应曲线可知：t p=2s,(3)求c,所以：=0.6,总结：上升时间：峰值时间：最大超调量：调整
19、时间：振荡次数：,0.02,0.05,系统的时间响应二阶系统,实例分析3,图为随动系统方框图。当系统输入单位阶跃函数时，Mp 5%，试：(1)校核各参数是否满足；(2)在原系统增加一微分反馈,求其时间常数。,（1）将传递函数写成标准形式：,系统的时间响应二阶系统,由于：,故不能满足要求。,(2)增加微分反馈后，传递函数为：,为了满足Mp 5%，计算得=0.69。,此例表明，加入微分环节后，相当于增大了阻尼，但并不改变系统的固有频率。,实例分析4：p114，3.12解：由于，所以，,显然，该系统是一个简单的二阶系统，其中，n=3，=1/6。则：,教学内容,3.5 高阶系统的时间响应,定义：用高阶
20、微分方程描述的系统称为高阶系统。,一、高阶系统及其讨论,高阶系统传递函数如下：系统的特征方程为：特征方程有n个特征根，设其中n1个为实数根-pj，n2对为共轭复数根，应有n=n1+2n2个特征根；,（nm）,因此，特征方程可以表示为：即：系统的传递函数有n1个实极点-pj及n2对共轭复数极点.,设，系统传递函数有m个零点-zi(i=1,2,m)，则系统的传递函数为：,单位阶跃作用下：,部分分时展开：,对上式进行Laplace反变换，得，单位阶跃响应为：,式中：因此，高阶系统的响应可以看成是多个一阶环节和二阶环节响应的叠加。,式中，第一项为稳态分量，第二项为指数曲线（一阶系统），第三项为振荡曲线
21、（二阶系统）。因此一个高阶系统可以看成多个一阶环节和二阶环节响应的迭加。而这些环节的响应，决定于它们的极点pj、n k、k及系数Aj，Dk，即与零、极点的分布有关。,讨论：,教学内容,3.6 系统误差分析与计算,误差定义：理想输出与实际输出的差。,误差组成与分析：,在过渡过程中，瞬态误差是误差的主要部分，但它随时间逐渐衰减，稳态误差逐渐成为误差的主要部分。,误差产生的原因：,内因：系统本身的结构。,外因：系统输入量及其导数的连续变化。,1)系统的误差e(t)与偏差(t),误差是以系输出端为基准定义,拉氏变换：,偏差是以输入端为基准定义,拉氏变换：,偏差与误差的关系 偏差控制原理：当Xo(s)X
22、or(s)时，E(s)0，它力图使Xo(s)接近Xor(s)；当Xo(s)=Xor(s)时，E(s)=0。,则，当Xo(s)=Xor(s)时，偏差E(s)为：所以，,代入偏差计算表达式：,当H(s)=1时，偏差与误差相同,2)误差e(t)的一般计算,输入与干扰同时作用于系统，系统方框图如下：,系统分别在只有输入和干扰作用下的输出函数为：,系统输出：,系统误差：,为无干扰时误差对于输入的传递函数。,为无输入时误差对于干扰的传递函数。,由上可以看出，系统误差不仅与系统的结构和参数有关，而且还与系统输入和干扰的特性有关。,系统的时间响应高阶系统及误差理论,3)系统的稳态误差与稳态偏差,系统稳态误差：
23、系统进入稳态后的误差，即,依Laplace变换中值定理：,同理，系统的稳态偏差定义为：,总结误差是以系输出端为基准定义偏差是以输入端为基准定义理想输出和输入之间的关系误差和偏差的关系,系统的时间响应高阶系统及误差理论,4)与输入有关的稳态偏差,依据反馈控制系统：,根据稳态偏差定义及终值定理：,稳态偏差与系统特性和输入信号特性有关,a)稳态偏差的求取,系统的时间响应高阶系统及误差理论,b)系统稳态偏差分析,设系统的开环传递函数GK(s)为：,为串联积分环节的个数，或称系统的无差度.,记：,则有：,因此，开环传递函数GK(s)可表示为：,系统的时间响应高阶系统及误差理论,0，1，2时分别称为0型、
24、型、型系统。愈高，稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此，一般系统不超过型。,（1）当输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差为：,式中：,位置无偏系数,系统的时间响应高阶系统及误差理论,对于0型系统,为有差系统，且K愈大，稳态偏差愈小。,型，型系统,为位置无差系统。,当系统开环传递函数中有积分环节存在时，系统阶跃响应的稳态值将是无差的。而没有积分环节时，稳态是有差的。为了减小误差，应当适当提高放大倍数，但过大的K值将影响系统的稳定性。,系统的时间响应高阶系统及误差理论,（2）当输入为单位斜坡信号时，系统的稳态偏差,式中：,速度无偏系数,系统的时间响应高阶系统及误差理论,对于0型系统,对于型系统,对于型
25、系统,可见，0型系统不能跟随斜坡输入，因为其稳态偏差为无穷大，型系统可以跟随斜坡输入，但存在稳态偏差，同样可通过增大K值来减小偏差；型系统或高阶系统对斜坡输入响应的稳态是无差的。,系统的时间响应高阶系统及误差理论,（3）当输入为加速度信号时，系统的稳态偏差,因为:,所以,式中：,加速度无偏系数,系统的时间响应高阶系统及误差理论,对于0型系统,对于型系统,对于型系统,可见，0、I型系统不能跟随单位加速度函数输入，因为其稳态偏差为无穷大，II型系统可以跟随单位加速度函数输入，但存在稳态偏差，要无差则应采用III型或高于III型的系统。,系统的时间响应高阶系统及误差理论,系统的时间响应高阶系统及误差
26、理论,稳态偏差的总结,无偏系数的物理意义：它表示稳态的精度。无偏系数愈大，精度愈高。,增加系统的型别，系统的准确度提高。当采用增加开环传递函数中积分环节的数目的办法提高系统型别时，系统的稳定性变差。,根据线性系统的叠加原理，当输入信号为上述信号的线性组合时，输出量的稳态误差是它们分别作用时稳态误差之和。,对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。,系统的时间响应高阶系统及误差理论,5)与干扰有关的稳态偏差,系统在干扰作用下的稳态偏差反映了系统的抗干扰能力，此时不考虑给定输入作用。,系统偏差为：,干扰引起的输出：,系统的时间响应高阶系统及误差理论,干扰引起的稳态偏差为：,G1(s)和G2(s)可写
27、成如下形式：,其中：,系统的时间响应高阶系统及误差理论,不失一般性，考虑H(s)1和N(s)1/s。则,(1)当G1和G2都不含积分环节时，即1=2=0，稳态偏差为：,K1、K2对系统稳态偏差的影响是相反的，增加K1，偏差减小，而增加K2，偏差增大。,(2)G1有一个积分环节，G2中无积分环节时，即1=1，2=0，稳态偏差为：,系统的时间响应高阶系统及误差理论,(3)G1中无积分环节G2中有一个积分环节时，即1=0，2=1，稳态偏差为：,因此，为了提高系统的准确度，增加系统的抗干扰能力，必须增大干扰作用点前的回路放大倍数K1，以及增加这一段回路中积分环节的数目。而增大干扰作用点之后到输出之间的
28、这一段回路的放大系数K2或增多这一段回路中积分环节的数目，对减少干扰引起的误差是没有好处的。,系统的时间响应高阶系统及误差理论,实例分析1,已知两个系统如图所示，当系统输入信号xi(t)46t3t2时，试分析两个系统的稳态误差。,（1）先将系统开环传递函数写成标准形式 v=1，K=10/4；v=2，K=10/4,系统的时间响应高阶系统及误差理论,（2）计算稳态误差,单位阶跃输入：,单位斜坡输入：,加速度输入：,系统的时间响应高阶系统及误差理论,随动控制系统如图所示，输入信号r(t)at（a为任意参数）。试证明通过适当地调节Ki 的值，该系统对于斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。,实例分析2,系
29、统的时间响应高阶系统及误差理论,解：系统闭环传递函数,稳态误差的拉氏变换为：,由拉氏变换的终值定理：,要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为0，必须满足（1KKi）0，即Ki1/K。,系统的时间响应高阶系统及误差理论,掌握系统误差与偏差的基本概念及数学表达；,三、本讲小结,掌握误差与偏差的求解方法。,作业：,教材：3.16,3.17,教学内容,3.7 单位脉冲响应在时间响应中的作用,单位脉冲(t-)的定义为：而(t)是(t-)在=0时的特例。根据前面的分析，单位脉冲响应函数为：即：,利用叠加原理，可以通过w(t)求出任意输入时的响应。当线性系统输入任一时间函数xi(t)时，可将0t时刻的连续信号
30、分割为N段，每段时间=t/N。当N时，0。因此，xi(t)可近似看作是由N个脉冲信号组成，如下图所示。对于系统输入xi(t)，就相当于在N个不同时刻对系统输入N个脉冲信号。在t=时刻，输入的脉冲强度为xi(t)，则，系统的输出函数为xi(t)w(t-),系统在t时刻对xi(t)的响应应等于系统在0t时刻内对所有脉冲输入的响应之和，如下图所示，即：当0时，,这与由传递函数的定义所导出的结果完全相同。,系统的时间响应高阶系统及误差理论,本章总结,系统稳定性与特征根实部的关系；,本章重点,一、二阶系统的定义和基本参数，单位脉冲响应、单位阶跃响应，二阶系统的性能指标的定义与计算；,系统误差的定义，误差
31、与偏差的概念及关系，稳态误差求法。,本章难点,二阶系统单位脉冲响应和单位阶跃响应曲线的形状与振荡情况，性能指标与参数间的关系；,系统的输入、结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。,习题课,系统的时间响应高阶系统及误差理论,随动控制系统如图所示，输入信号r(t)at（a为任意参数）。试证明通过适当地调节Ki 的值，该系统对于斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。,实例分析2,系统的时间响应高阶系统及误差理论,解：系统闭环传递函数,稳态误差的拉氏变换为：,由拉氏变换的终值定理：,要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为0，必须满足（12KKi）0，即Ki1/2K。,这是一个二阶系统，因此：所以：,有阻尼固有频率为：,（1）,（2）对于单位阶跃输入，系统的传递函数为：则：令：,如果一个输入A是另一个输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；由此可知，系统的稳态值,根据最大超调量的定义：解得：tp=1.01s因此，所以：,当t=ts，即，（3）当不加入（1+Khs）时，此时，该系统为一简单的二阶系统，其中 此系统为欠阻尼系统,最大超调量：过渡过程时间：若故，系统加入（1+Khs）后，其最大超调量下降，过渡时间减少，因而系统的动态性能有所改善。,2.16,
