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1、,2.1,数列的概念与简单表示法,主要内容,数列的分类,数列的定义,数列的通项公式,数列的递推公式,数列的表示,斐波那契数列简介,3.1的正整数次幂：1,1,1,1,1.由小到大的正偶数排成一列 2，4，6，8，,观察,4.三角形的石子数,1,3,6,10,15,5.正方形的石子数,1,4,9,16,25,6.如图表示堆放的钢管，共堆放了6层.自上而下各层的钢管数排列成一列数：,5，6，7，8，9，10,像前面的例子中，按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第二项,，第n项，.,定义,数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项
2、）.,数列的一般形式,或：a1，a2，a3，,问：下面二列数是否为同一数列？1，2，3，4，5 5，4，3，2，1,结论：因其排列次序不同，故不是同一数列.,数列的分类,1.项数有限的数列叫做有穷数列.2.项数无限的数列叫做无穷数列.,其中：（2）（4）是有穷数列（1）（3）是无穷数列,3.递增数列:从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；,4.递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；,数列的分类,如：2，3，4，5，,如：,an1an 对任意正整数n都成立,an1an 对任意正整数n都成立,5.常数数列：各项都相等的数列；,6.摆动数列：各从第2项起，有
3、些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.,如：1，1，1，1，（各项都是1）,如：,2，3，2，3，,an1=an，对任意的正整数n都成立.,观察,下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？,1）全体自然数构成数列 0，1，2，3，,2）19962002年某市普通高中人数（单位：万人）构成数列 82，93，105，119，129，130，132,3）无穷多个4构成数列 4，4，4，,4）目前普通的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位，元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02,0.01,5）-1的1次幂，2次幂，
4、3次幂，4次幂构成数列-1，1，-1，1，,再看数列 4，5，6，7，8，项：4 5 6 7 8 序号:1 2 3 4 5,y=x+3 定义域：N*,x,y,数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，n)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.,反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),f(n),.,例如：函数y=7x+9与y=3x，当x依次取1，2，3，时，其函数值构成的数列各有什么特点？,问题？,如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表
5、示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.我们可以根据数列的通项公式写出数列.,通项公式的定义,n=1，2，3，,首项 a1=f(1),思考？,通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪方面的性质?,例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：,1）,2）2，0，2，0.,3）7，77，777，7777,4）1，7，13，19，25，31,（1）,（2）,练习1 根据数列an的通项公式，写出它的前5项：,解：（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列 的前5项为,（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得么数列 的前5项为
6、,1，2，3，4，5.,练习2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：,1）1，0，1，0,关于通项公式,通项公式的优点：简明、全面地概括了项数与项的关系；可以通过通项公式求出任意项的值.,1.不是每一个数列都能写出其通项公式(如数列3）,2.数列的通项公式不唯一 如：1,1,1,1,特别说明,数列的表示,1.通项公式 an=f(n),2.列表,3.图象,n2,数列的图象是一系列孤立的点（n，an),优点：不需要计算就可以直接看出与项相对应的关系,列表法：,图象法,优点：能直接形象地表示出随着项数的变化，相应项变化的趋势，直观明了.,例2.如图三角形称为谢宾斯基（Sierp
7、inski)三角形.在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.,解:如图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为，3，27则所求数列的前项都是的指数幂，指数为序号减所以，这个数列的一个通项公式是,在直角坐标系中的图象见后图,数列的递推公式,如果一个数列的首项a，从第项起每一项等于它的前一项的倍再加，即,那么,像这样给出数列的方法叫做递推法,被称为递推公式,递推公式也是数列的一种表示方法,一阶递推公式,二阶递推公式,斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，,F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n2）
8、,是二阶递推式.,斐波那契数列：,F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n2）,此递推式是二阶递推式.,1，1，2，3，5，8，13，21，,解：a1=1,例.已知 求证：an是单调递增数列.,分析：证明数列的单调性，可作差或作商比较,证法1.作差,因为,所以,对任意正整数n都成立,所以an是单调递增的数列.,所以 an+1an，即an是单调递增数列.,练习,小结,1.数列的定义；2.数列的通项公式；3.数列和函数的关系；4.数列的表示 5.数列的递推公式,作业,练习P.1,2，习题P组，组全部,斐波那契数列简介,“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonard
9、o Fibonacci，生于公元1170年，卒于1250年.籍贯大概是比萨）.他被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年，他撰写了算盘全书(Liber Abacci)一书.他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学.,斐波那契数列（又译作“斐波拉契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如上图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正
10、方形的边长也是1，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21等等的正方形.这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列.,斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.,一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来.如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？,我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：,第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;,两个月后，生下一对小兔后，兔子数共有两对;,三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三
11、对;,“兔子数列”,依次类推可以列出下表：,经过月数：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11,兔子对数：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144,表中数字1，1，2，3，5，8构成了一个数列.这个数列有个十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项.,斐波那契数列,斐波那契（Fibonacci）数列的递推关系式：,f(1)=1,f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n2,f(n)即为斐波那契数列.,斐波那契数列的特征：从第三项起每一项等于它相邻的前2项的和.,斐波那契数列举例,1多米诺牌（可以看作一个21大小的方格）完全覆盖一个n2的棋
12、盘，覆盖的方案数等于斐波那契数列.,2.从蜜蜂的繁殖来看，雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰.人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是斐波那契数列的第n项F（n）.,3钢琴的13个半音阶的排列完全与雄蜂第六代的排列情况类似，说明音调也与斐波那契数列有关.,5自然界中一些花朵的花瓣数目符合于斐波那契数列，也就是说在大多数情况下，一朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,(有6枚是两套3枚;有4枚可能是基因突变).,4如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，那么历年的树枝数，也构成一个斐波拉契数列,
