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1、精选优质文档-倾情为你奉上习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域：（1）；（2）2.求下列各极限：（1）；（2）；（3）.（4）令，原式（5）令，则原式习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数：（1）；（2）；（3）.（4）设，其中可导，证明解 左边右边2.求下列函数的，和.（1）；（2）. 习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分：（1）； （2）. （3）.解 ，所求的全微分为（4）解 ， 2.求函数，当，时的全增量和全微分。3.设，求解 故 习题9-4 多元复合函数的求导法则1.设，而，求，.2.设，而，求.3.设，而，求.4.求函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）
2、5.设，而，为可导函数，证明.6.设，其中具有二阶导数，求，.习题9-5 隐函数的求导公式1.设，求.2.设，求及.3.设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足.4.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1），求，.（2），求解 方程组两边分别对求偏导数得习题9-6 多元函数微分学的几何应用1.求曲线在与相应的点处的切线及法平面方程。2.求曲线，在点处的切线及法平面方程。3.求曲线，在点处的切线及法平面方程。4.求椭球面上平行于平面的切平面方程。5.在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面，并写出这法线方程解 设所求点为，, ， 法向量， 由题意知 ，得 法线方程： 习题9-7 方向
3、导数与梯度1.求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。2.求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。3.求函数在球面上点处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。4.设，求及.5.求函数在点处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。6.求函数在沿着方向的方向导数解： 习题9-8 多元函数的极值及其求法1.求函数的极值。2.求函数在适合附加条件下的极大值。3.在平面上求一点，使它到，及三直线的距离平方之和为最小。4.将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？5.求函数的极值解: 令 ，且 所以为函数的极小值点，极小值为6.求表面积为6而体积最大
4、的长方体的体积.解 设长方体的长,宽,高分别为,则问题归结为在满足条件=6时求长方体的体积的最大值. 它的拉格朗日函数为令,有 解方程组有 长方体的最大体积为1. 复习题九1.求函数的定义域，并求2.设，求，.3.求下列函数的一阶和二阶偏导数：（1）；（2）.4.设，其中具有二阶连续偏导数，求.5.设，试求和.6.求螺旋线，在点处的切线及法平面方程。7. 已知具有连续偏导数且确定函数，试计算解: 8. 已知二元函数在区域内满足（1）具有连续偏导数；（2），（常数）；证明 在区域内均为常数证 (1)当时, 从而均为常数. (2)当时,由,两边关于分别求偏导数得又,则上述方程组变为 其系数行列式所
5、以 且, 从而均为常数. 9.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用（万元）及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式：（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若广告费用为万元，求相应的最优广告策略。解：(1)利润函数为 令 为唯一的驻点 （万元） 当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利润为万元，此即为最佳广告策略.(2)利润函数为求广告费用为万元的条件下的最佳广告策略，即为条件：下，的最大值令令，这是唯一的驻点， 又由题意知一定存在最大值，故（万元）为最大值. 10.试证曲面上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为定值证明: 设为曲面上任意一点 令 ; ; 切平面方程： 切平面在三坐标轴上的截距分别为所以截距和为 专心-专注-专业
