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1、精选优质文档-倾情为你奉上运用数学思想解决有理数问题桂平市石咀二中 梁智华在数学的学习中，掌握一些必备的数学思想可以帮助我们更加理性地学习、驾驭数学，更好的解题. 下面针对有理数中涉及的数学思想作简单举例分析。希望对大家能有所帮助。一、分类讨论思想.在有理数及其运算中，涉及分类讨论思想的知识点较多，比如：有关数轴、绝对值、偶次幂的题目往往涉及多种情况，要具备分类讨论思想，才能将题目回答完整。例1、在数轴上与点3距离5个单位长度的点是_。解答的时候往往比较多的学生只是注意到点3的右边的点，而忽略了另一个点，应该分在点3的左边或右边来解求才完整。a a0-a a0例2、已知a-5=3，b+3=5,
2、求a+b的值。析解：此题主要考查绝对值的意义. 因为a= 所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数，所以此题需要分为以下四种情况讨论求值：解：（1）、当a-50，b+30时，a+b=10（2）、当a-50，b+30时，a+b=0（3）、当a-50, b+30时，a+b=4（4）、当a-50, b+30时，a+b=-10例3、如果、是非零有理数，求的值.析解：同样此题也是主要考查绝对值的意义。因为、是非零有理数，所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数. 此题可分为以下四种情况求值：（1）、当、的绝对值都取本身时，原式为3.（2）、当、的绝对值有两
3、个取本身时，原式为1.（3）、当、的绝对值有一个取本身时，原式为.（4）、当、的绝对值都取相反数时，原式为.例4、已知x=3，, 且xy 0 ， 求xy的值。偶次幂与绝对值一样都是非负数，所以同样要分类进行讨论，再结合所给的条件进行解决问题。二、数形结合思想.数形结合思想在函数中应用比较广泛，在有理数的内容里，主要是在数轴方面的应用。数轴是数形结合最重要的工具，通过数轴可以求两点间的距离，可以用来比较数的大小或者化简式子。例1、有理数、在数轴上的位置如图所示：化简.c b a0析解：这是一道数形结合的题目。此题的难点是对的化简，可用两种方法化简。法一：由数轴可知，因此， ，注意这里要把“”当作
4、一个整体，它的绝对值是它的相反数，化简，可看作=. 同理，。法二：可看作数轴上表示c、b的两点间的距离，因此。原式=。三、方程思想.方程思想是重要的数学思想. 不管是一般的数学问题、还是实际应用题或者是以后解答几何题，只要存在相等关系就可以列出方程，解决问题.例1、 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，计算：3cd2a2bm的值。析解：由互为相反数的两数的和为零可得，由互为倒数的两数乘积为1可得，由，可得或，因此3cd2a2bm=3cd-2(a+b)+m=31-20+3=6或3cd2a2bm=3cd-2(a+b)+m=31-20-3=0注意在代值时，应把、分别当作一个整体.例2、若，那么 .析解：由于任何数的绝对值及偶次幂都是非负数，非负数之和为零，则各个非负数必定都为零，所以可得,，解得,，因此=-8四、整体思想.整体思想与方程思想一样是学习数学必备的思想，它应用于数学的方方面面，在有关有理数的知识中同样处处用到整体思想。如上的例题中都用到了整体思想。同样在多项式的求值的时候也要用到整体思想。例1、已知x+y+3的值为5，求多项式2x+2y-4的值。析解：由于2x+2y=2(x+y),所以由x+y+3=5可知x+y=2,所以2x+2y-4=2(x+y)-4=22-4=0专心-专注-专业
