《《正弦定理和余弦定理》新课程高中数学第一轮知识点总复习课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《正弦定理和余弦定理》新课程高中数学第一轮知识点总复习课件.ppt（19页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第七节 正弦定理和余弦定理,基础梳理,典例分析,题型一 正弦定理和余弦定理的应用,分析 已知两边和其中一边的对角的解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A.,【例1】在ABC中，已知a=,b=,B=45，求A、C和c.,解 方法一:B=4590,且ba,问题有两解.由正弦定理，得sin A=A=60或A=120.(1)当A=60时，C=180-A-B=75,c=(2)当A=120时，C=180-A-B=15,c=故A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.,方法二:由余弦定理有即整理得 解得c=或c=.又cosA=当a=,
2、b=,c=时,由可得cosA=-,故A=120;当a=,b=,c=时，由可得cosA=,故A=60.故A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.,学后反思 对于解三角形，若已知两边和其中一边的对角，要注意解的个数，往往需要分类讨论.用正弦定理，则对角进行分类讨论；用余弦定理，则对边进行分类讨论.,举一反三,1.已知在ABC中，a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角C的正弦值.,解析:acb,角A为最大角.由余弦定理有cosA=A=120，sin A=,再根据正弦定理，有sin C=,题型二 三角形的面积问题,分析 三角形外接圆的直径是和正弦定理联系在一起的，已经知道了A=6
3、0,只要再能求出边a,问题就解决了，结合已知条件求边a是解决问题的关键.,解 由题意知，=bcsin A,所以c=4.由余弦定理知：a=再由正弦定理2R=即ABC外接圆的直径是.,举一反三,学后反思 要注意正弦定理的统一形式：(其中R为三角形外接圆的半径），这个定理还可以写成abc=sin Asin Bsin C,或 等形式.,2.（2009北京）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,B=,cos A=,b=.(1)求sin C的值；（2）求ABC的面积.,解析（1）角A、B、C为ABC的内角，且B=，cos A=,(2)由（1）知.又B=,b=,在ABC中，由正弦定理得.于是ABC
4、的面积S=12absin C=.,题型三 判断三角形的形状,【例3】在ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状.,分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，依正弦定理、余弦定理和面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型.,解 方法一:由正弦定理，设=k0，a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代入已知条件得ksin Acos A+ksin Bcos B=ksin Ccos C,即sin Acos A+sin Bcos B=sin Ccos C.根据二倍角公式得sin 2A+sin 2B=sin 2
5、C,sin(A+B)+(A-B)+sin(A+B)-(A-B)=2sin Ccos C,2sin(A+B)cos(A-B)=2sin Ccos C.A+B+C=A+B=-C,sin(A+B)=sin C0,cos(A-B)=cos C,cos(A-B)+cos(A+B)=0,2cos Acos B=0cos A=0或cos B=0,即A=90或B=90,ABC是直角三角形.,方法二:由余弦定理知cosA=cosB=cosC=代入已知条件得a+b+c=0,通分得展开整理得 即 或.根据勾股定理知ABC是直角三角形.,学后反思（1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.（2
6、）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C,举一反三,答案：C,3.ABC中，,判断三角形的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形,解析：由正弦定理得,sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.又因为A,B(0,),所以A=B或A+B=90.,题型四 正、余弦定理的综合应用,【例4】(12分)ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且（1）求角A的大小；（2）若a=,求bc的最大值；（3）求 的值.,分析（1）由 的结构形式，可联想余弦
7、定理，求出cos A,进而求出A的值.（2）由a=及,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的.,解(1)cosA=1A=120.2(2)由a=,得.3又 2bc(当且仅当c=b时取等号）,3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号），.4即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.6(3)由正弦定理，得.7.12,学后反思(1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角.(2)正、余弦定理均能实现边角转化，在解题时一定要注意根据条件的形式，选择转化方式.,举一反三,4.在ABC中
8、，A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件 和,求A和tan B的值.,解析：由余弦定理cosA=,因此A=60.在ABC中，C=180-A-B=120-B.由已知条件，应用正弦定理,得解得cot B=2,从而tan B=.,易错警示,【例】在ABC中，若C=3B,求 的取值范围.,错解,错解分析 上面解答忽视了隐含条件B的范围.C=3B,A=-4B0,即0B,0sin B 1.,考点演练,正解 A+B+C=,C=3B，A=-4B0，0B,0.又 13-4 3，1 3.,(2010东营模拟）在ABC中，BC=a,AC=b,a、b是方程 的两根且2cos(A+B)=1,则AB=
9、.,解析:设AB=c,11.在ABC中，已知sin C=2sin(B+C)cos B,判断ABC的形状.,解析：方法一：由sin C=2sin(B+C)cos B,得sin C=2sin Acos B.再结合正、余弦定理，得,整理得,所以ABC是等腰三角形.,方法二：由sin C=2sin Acos B,得sin(A+B)=2sin Acos B,整理得sin(A-B)=0,从而A=B,所以ABC是等腰三角形.,解析：（1）,.由ABAC=3，得bccos A=3,bc=5.SABC=bcsin A=2.(2)由（1）知，bc=5,又b+c=6,b=5,c=1或b=1,c=5.由余弦定理，得,a=.,
