《2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第五单元第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第五单元第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数.ppt（41页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数,基础梳理,1.角的概念的推广(1)任意角的定义角可以看成平面内一条射线绕着它的端点 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做 正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做 负角；一条射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做 零角.(3)角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是 第几象限角.(4)一般地，与角终边相同的角的集合为|=k360+,kZ.,2.弧度制(1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角;用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫做 弧度制.在弧度制下1弧度记
2、作1 rad.2 rad=360,(2)设长度为r的线段OA绕端点O旋转形成的角为（为任意角，单位为弧度），旋转过程中点A所经过的路径看成是圆心角所对的弧，设弧长为l，则有，即l=|r.特别地，若取r=1，则有l=|，若|2，则有圆心角为的扇形的面积为.,3.任意角的三角函数定义设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离为 那么,5.三角函数值在各象限的符号,+,+,-,-,sin,-,+,-,+,cos,-,+,+,-,tan,4.单位圆与三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数（如图）.,sin=MP,cos=OM,tan=AT.,分析 由于是第二象限的角，可以
3、利用终边相同的角的表达式表示出的范围，进而求得,2的范围，判定其所在的象限.解 由是第二象限的角,得k360+90k360+180（kZ).(1)k180+45 k180+90(kZ).当k=2n(nZ)时，n360+45 n360+90(nZ),则 是第一象限角;,典例分析,题型一 象限角问题【例1】若是第二象限的角，则 是第几象限的角？是第几象限的角?2是第几象限的角.,当k=2n+1(nZ)时，n360+225 n360+270(nZ),则 是第三象限角.综合,可知，是第一或第三象限角.（2）360+30 360+60,kZ.当k=3n,nZ时,n360+30 n360+60,nZ,则
4、是第一象限角;当k=3n+1,nZ时，n360+150 n360+180,nZ,则 是第二象限角；当k=3n+2,nZ时，n360+270 n360+300,nZ,则 是第四象限角.综合，可知，是第一、第二或第四象限的角.（3）2k360+18022k360+360,kZ.故2是第三、第四象限角或是终边落在y轴的非负半轴上.,学后反思 知道所在的象限，所在的象限也可由象限等分法得到.下面以 为例说明，如图所示：将每一个象限二等分（若是 则三等分，），从x轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字1，2，3，4，1，2，3，4，若是第一象限角，则 在标有数字1的区域内，若是第二象限角，则 在标有数
5、字2的区域内，依次类推，则很容易确定 所在的象限.,举一反三,1.若=60+k360(kZ),则 为第象限角.,解析:=30+k180(kZ).当k=2n(nZ)时，为第一象限的角；当k=2n+1(nZ)时，为第三象限的角.答案:一或三,题型二 扇形弧长、面积公式应用【例2】一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.分析运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积为当r=5时，l=10，=2(弧度),S取到最大值，此时最大值为25 cm2.故当扇
6、形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm2.,学后反思求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外，也可直接设出两个参数，利用均值不等式求最值.,举一反三2.已知一扇形的中心角是,所在圆的半径为r.（1）若=60，r=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值C（C0），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？,解析：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓.,(2)方法一：扇形周长C=2r+l=2r+r,当且仅当=,即=2(=-2舍去)时，扇形面积有最大值.,方法二：由已知得2r+l=C,(l
7、C),当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.,题型三 三角函数的定义【例3】(14分)已知角的终边经过点3x+4y=0上,求sin、cos、tan的值.分析 本题求的三角函数值.依据三角函数的定义，可在角的终边上任取一点P（4t,-3t）(t0),求出r,由定义得出结论.,解 角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),2则x=4t,y=-3t,r=5|t|,4当t0时，r=5t,8当t0时，r=-5t,12综上可知，t0时，sin=-,cos=,tan=-;t0时，sin=,cos=-,tan=-.14,学后反思 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有
8、关，当终边确定时三角函数值就相应确定.但当终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解.,举一反三,3.已知角的终边在直线y=x上，求sin,tan的值.,解析：设点P（a,a）(a0)是角终边y=3x上一点，则tan=.若a0，则是第一象限角，r=2a,sin=若a0，则是第三象限角，r=-2a,sin=,题型四 求函数的定义域【例4】求下列函数的定义域.分析 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围.,解(1)如图1,(2)如图2，3-4sin2x0,sin2x-sin x,学后反思求定义域的问题，其实质是解不等式，当
9、不等式中含有三角函数时，可以利用三角函数线或三角函数的图象来求解.,举一反三4.当x取什么值时，有意义？解析：由题意知,tan x0,xk(kZ).又xk+(kZ),x k(kZ),当xx|x k,kZ时，有意义.,【例】已知 则2-的范围为.错解 由 所以-0,即02,由+,得-,易错警示,由+,得-2-,错解分析 上述解题过程分别求出、的范围，所采用的做法是不等价的，扩大了范围.正解 设2-=A(+)+B(-)(A,B为待定系数)，则2-=(A+B)+(A-B).比较两边系数,得,解得 所以2-=(+)+(-).,10.若点P从（1，0）出发，沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达Q点，求Q点
10、的坐标.,考点演练,11.已知是第二象限角，试判断sin(cos)cos(sin)的符号.,解析：xQ=1cos=-,yQ=1sin=.Q点的坐标为,解析:在第二象限，-1cos 0,0sin 1,cos 作为角在第四象限，sin 作为角在第一象限，sin(cos)0,cos(sin)0,sin(cos)cos(sin)0.,12.如图，=30,=300,OM、ON分别是、的终边.（1）求终边落在阴影部分（含边界）的所有角的集合；（2）求始边在OM位置，终边在ON位置上的所有角的集合.解析：(1)300=-60+360,|-60+k36030+k360,kZ.（2）-=300-30=270,|
11、=270+k360,kZ.,第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,1.函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“”.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作.,(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点.处的.相应地，切线方程为.,3.函数
12、f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 而，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作.,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4.基本初等函数的导数公式,f(x)=.,f(x)=.,k,0,1,2x,cos x,sinx,5.导数运算法则(1)f(x)g(x)=;(2)Cf(x)=(C为常数);(3)f(x)g(x)=;,f(x)g(x),Cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解当x无
13、限趋近于0时，趋近于2,y|x=1=2.学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三1.已知，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解(1)y=()sin x+(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2),举一反三2.求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程
14、为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解(1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函
15、数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三3.以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析：物体在 时刻的瞬时速度为.,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.,分析(1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.,解（1)y=x2,2在点P（2，4）处的切线
16、的斜率k=y|x=2=4,3曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为即点P（2，4）在切线上，即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0,x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标
17、(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三4.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析：设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2，则.解得,即点P(1,0),点P到直线2x-y+3=0的距离为,曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.,题型五 复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过
18、程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）,举一反三5.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解 在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.,
19、正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.,考点演练,10.已知函数 的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.,解析：f(x)过点（2,0）,解得a=-8,同理，g(2)=4b+c=0.f(x)=6x2-8,在点P处切线斜率.又g(x)=2bx,2b2=16,b=4,c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.,11.设函数f(x)满足，a,b,c为常数，|a|b|，求f(x),解析:将 中的x换成，可得将其代入已知条件中得,12.(2008宁夏)设函数(a,bZ),曲线y=f(x
20、)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.,解析:(1)f(x)=.于是,解得,(2)证明:已知函数 都是奇函数，函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由 可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.,（3）证明：在曲线上任取一点,由 知，过此点的切线方程为.令x=1,得,切线与直线x=1的交点为.令y=x,得,切线与直线y=x的交点为.直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围三角形面积为所以所围三角形的面积为定值2.,
